Квантовая статистика Ферми Дирака, Электронный газ (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями)

1МОСКОВСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н. Э. БАУМАНАЛ. К. Мартинсон, Е. В. СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРаздел «Квантовая статистика Ферми – Дирака. Электронный газ»Москва, 2004В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений квантовой статистики, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач и приведены условиязадач для самостоятельного решения. Представленный материал предполагает проработку раздела курсаобщей физики «Элементы квантовой механики». Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУим.Н.Э.Баумана. Работа имеет методический характер.1.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦКвантовая механика существенно отличается от классической механики в подходе к анализу поведения систем, состоящих из одинаковых частиц. В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц, например, двух электронов, двух нейтронов, двухфотонов и т. д.1122Рис. 1С классической точки зрения каждая из частиц характеризуется своей траекторией, и,если известны положения частиц в начальный момент, а также их траектория, можно определить положения частиц в любой последующий момент времени.

Если частицы пронумеровать,то всегда можно указать, где находится частица 1, а где – частица 2 (рис. 1). Таким образом, склассической точки зрения одинаковые частицы принципиально отличимы одна от другой, или,как говорят, индивидуализированы. Если поменять координаты и скорости обеих частиц, то получится, вообще говоря, новое состояние системы.В квантовой механике частицы наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами.

Состояние системы частиц описывается волновой функцией, зависящей от обобщенныхкоординат частиц q1 и q2 и времени tψ =ψ(q1, q2, t).Здесь qi – набор трех пространственных координат и спиновой координаты (т. е. проекции спина на некоторое направление) для i-й частицы.Поскольку функция ψ имеет вероятностное толкование, то обнаружив в какой-либо момент времени одну из частиц, принципиально невозможно указать, будет ли это частица 1 или2частица 2. Поэтому в квантовой механике при перестановке двух одинаковых частиц не возникает нового состояния системы. Оно остается абсолютно тем же, что и до перестановки. С точки зрения квантовой механики одинаковые частицы принципиально неразличимы, тождественны; можно говорить о состоянии системы одинаковых частиц только в целом, а не о состояниикаждой частицы в отдельности.Это положение формулируют в виде принципа тождественности одинаковых частиц: всистеме одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами двух любых частиц.

Это очень важный квантово-механический принцип.Он логически не вытекает из основных положений квантовой механики, но и не противоречитим. Его справедливость подтверждается всей совокупностью экспериментальных данных.Проанализируем вид волновой функции системы, состоящей из двух одинаковых частиц.Отвлекаясь от ее зависимости от времени, волновую функцию можно записать в видеψ=ψ (q1, q2).Переставив местами частицы 1 и 2, мы получим функцию ψ (q2, q1).

Эту операцию мож! , который мено рассматривать как действие на функцию ψ (q1, q2) оператора перестановки Pняет частицы местами:!ψ ( q ,q ) = ψ ( q ,q ) = Pψ ( q ,q )P121212Переставив эти частицы еще раз, получаем! 2 ψ ( q ,q ) = P!ψ ( q ,q ) = ψ ( q ,q ) = P 2 ψ ( q ,q ) .P12211212Отсюда следует, чтоP2=1, а P= ± 1.Таким образом, для квантово- механической системы, состоящей из тождественных частиц, возможны два вида волновых функций.1. Симметричная волновая функцияψS (q1, q2)= ψS (q2, q1).Эта волновая функция при перестановке частиц не меняется.2. Антисимметричная волновая функцияψA (q1, q2)=- ψA (q2, q1).Эта волновая функция при перестановке частиц меняет знак.Полученные результаты можно обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тождественных частиц. При этом симметрия или антисимметрия волновой функции имеетместо при перестановке любых двух одинаковых частиц.Частицы, состояние которых описывается симметричными волновыми функциями, называются бозе- частицами, или бозонами.

Такое название они получили потому, что состоящиеиз них системы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся фотоны, πмезоны, К- мезоны и другие частицы с нулевым или целым спином.Частицы, состояние которых описывается антисимметричными волновыми функциями,называют ферми- частицами, или фермионами. Такое название связано с тем, что системы, состоящие из этих частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятсяэлектроны, протоны, нейтроны и другие частицы с полуцелым спином.Эта связь между спином частицы и статистикой справедлива и для сложных частиц, которые состоят из элементарных, например, атомных ядер, атомов, молекул и т.

д. Сложные частицы, состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами, а из четного числа –бозонами. Например ядро атома 42 He , т. е. α-частица, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Спин этого ядра равен нулю, т. е. оно является бозоном. Бозоном будет и сам атом 42 He внормальном состоянии. А ядро легкого изотопа гелия – атома 32 He - состоит из нечетного числа(трех) частиц со спинами 1/2: двух протонов и одного нейтрона. Спин этого ядра будет полуцелым, следовательно, оно является фермионом. Фермионом будет и сам атом 32 He .3Свойство антисимметрии волновых функций системы ферми- частиц приводит к оченьважному ограничению на их состояния, известному как принцип Паули: в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии.

Это означает, что если в системе фермионов какая-либо частица находится в некотором определенномсостоянии, то никакая другая частица этой системы не может находиться в этом же состоянии.Таким образом, фермионы являются частицами- индивидуалистами.Принцип Паули сыграл очень важную роль в обосновании периодической системы элементов Менделеева, а также в объяснении атомных и молекулярных спектров.Что же касается бозонов, то свойство симметрии волновых функций не накладывает наих состояния никаких ограничений.

В одном и том же состоянии может находиться произвольное число одинаковых бозонов, т. е. бозоны, в отличие от фермионов, являются частицамиколлективистами.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ – ДИРАКАРазличие в поведении ферми- и бозе- частиц приводит к тому, что статистика свойствквантовых систем, состоящих из одинаковых фермионов, и систем, состоящих из одинаковыхбозонов, будут существенно отличаться друг от друга.Для фермионов закон распределения частиц по состояниям с различной энергией Е имеет вид1< n >Ф − Д =.(1) E − EF exp  +1 kT Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, EF - энергия Ферми (уровень Ферми).

Функция <n>Ф-Д называется функцией распределения Ферми – Дирака, она определяет среднее числочастиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е. Поскольку <n>Ф-Д ≤ 1, то говорят,что распределение (1) определяет вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято частицами при температуре Т.Энергию Ферми EF можно определить как энергию таких состояний, вероятность заполнения которых частицами равна 1/2. Действительно, из (1) следует, что1< n >Ф − Д ( EF ,T ) = .2Энергия Ферми системы фермионов зависит от концентрации частиц n и от температуры Т.

Вобщем случае эта зависимость оказывается достаточно сложной, однако при kT <<EF она упрощается и принимает вид π2  kT 2 (2)EF = EF ( 0 ) 1 −  . 12  EF (0 )  Здесь EF (0) – значение энергии Ферми при абсолютном нуле температуры, которое определяется выражением2"2(3)EF ( 0 ) =3π2 n 3 ,2m0где m0 – масса частицы.Мы будем, как правило, рассматривать системы, для которых EF(0)>>kT. При этом, согласно (2), зависимостью энергии Ферми от температуры можно пренебречь и считать, чтоEF=EF(0). Однако следует иметь в виду, что в некоторых физических явлениях, таких, например, как термоэлектрические явления, слабая зависимость энергии Ферми от температуры играет определяющую роль.На рис. 2 приведена зависимость функции распределения Ферми – Дирака от энергии Е.При абсолютном нуле температуры (кривая 1) <n>Ф-Д имеет вид ступенчатой функции()41 при E < EF (0 )< n >Ф − Д = .0 при E > E F (0 )(4)При Т=0 все квантовые состояния (энергетические уровни) вплоть до уровня Ферми EF (0) пол<n>Ф-Д∼kT111/220EF(0)EРис.

2ностью заняты частицами, а все квантовые состояния с энергией E>EF (0) – свободны. Поэтомуэнергию Ферми при абсолютном нуле температуры EF(0) можно определить как максимальнуюэнергию частиц данной системы при Т=0.При температуре, отличной от нуля, зависимость функции распределения Ферми – Дирака от энергии Е представлена на рис. 2 кривой 2. За счет нагрева системы часть частиц, энергия которых при Т=0 была меньше EF (0), приобретает энергию E > EF (0). Это приводит к тому,что вблизи EF (0) возникает область частично заполненных квантовых состояний, т. е. область, вкоторой0< nФ− Д< 1.Именно в области, энергетическая ширина которой порядка нескольких kT, происходит переходот заполненных уровней к пустым.