Волновые свойства частиц, Гипотеза Де Бройля (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями)

Московский Государственный технический университет им. Н.Э. БауманаЛ.К.Мартинсон, Е.В.СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРАЗДЕЛ«ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ, ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ».Содержат краткий обзор основных понятий и соотношений теории, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач и приведены условия задач для самостоятельного решения.Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э.Баумана.ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯВ 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что все материальные объекты в природе обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами.

Погипотезе де Бройля корпускулярно-волновой дуализм является всеобщим свойствомматерии, и поэтому любая частица (электрон, протон, нейтрон и др.) обладает волновыми свойствами. При этом наличие у частицы волновых свойств принципиальноизменяет характер ее движения в способ описания такого движения.По гипотезе де Бройля волновые свойства свободной частицы, движущейся поинерции в отсутствие внешних силовых полей, описывает плоская волна де Бройля,частота ω и длина волны λБ которой связаны с корпускулярными характеристикамичастицы - энергией Е и импульсом р.

Эта связь дается соотношениямиЕh 2π !(1).ω = , λБ = =!ррНаправление распространения волны де Бройля совпадает с направлениемдвижения частицы, а групповая скорость волны uГР и скорость движения частицы vодинаковы. Для доказательства этого напомним, что групповая скорость волны определяется из закона дисперсии ω=ω(k), связывающего круговую частоту волны иdω2π, по формуле uГР =.волновое число k =dkλ2π 2π p p= , поэтому=h!λБdω d( !ω ) dEuГР ===.dk d( !k ) dpДля плоской волны де Бройля k =В релятивистской механике энергия и импульс частицы связаны соотношениемE2=p2c2+m02c4,где m0- масса покоя частицы, а с - скорость света в вакууме.

Возьмем дифференциалот левой и правой частей этого равенства:12EdE=с22рdр.ОтсюдаdE pc 2pc 2p=== =v2dpEmcmТаким образом,uГР=v.В классической механике этот же результат получается, если воспользоваться класp2сическим выражением для энергии свободной частицы E =.2m0В теории волновых процессов уравнение плоской монохроматической волны,распространяющейся в направлении оси x,Ψ ( x ,t ) = A( ω t − kx )часто записывают в комплексной формеΨ ( x ,t ) = A exp{ − i( ω t − kx )} ,учитывая, что гармоническая функция соsα является действительной частью комплексной функции ехр(-iα), где i = −1 - мнимая единица.Уравнение плоской волны определяет амплитуду волны А, ее круговую часто2π. Начальная фаза волны в приведенных выраженияхту ω и волновое число k =λвыбрана равной нулю.Так как для волны де Бройля ω =pE, a k = то уравнение плоской волны деh!Бройля можно записать в видеiΨ ( x ,t ) = Aexp{ − ( Et − px )}!(2)Плоская волна де Бройля описывает волновые свойства свободно движущейсячастицы, имеющей энергию (кинетическую) Е и импульс р.

Сравнивая квадраты амплитуд волн де Бройля в различных областях пространства, можно оценить вероятности нахождения частицы в этих областях. Вероятность обнаружения частицы вданной области пространства тем больше, чем больше квадрат амплитуды волны деБройля, т.е. ее интенсивность.Волны де Бройля, которые часто называют волнами материи, как и волны любой природы, могут отражаться, преломляться, интерферировать друг с другом, испытывать дифракцию при взаимодействии с неоднородностями. В этом смыслеможно говорить, например, о дифракции частиц и наблюдать такие дифракционныеэффекты в различных экспериментах с неоднородными средами. Один из первыхопытов по дифракции электронов на кристалле (рис. 1) был выполнен в 1927 г.

К.Дэвиссоном и Л. Джермером. В опыте Дэвиссона-Джермера ускоренные в электронной пушке 1 электроны попадали на кристалл никеля под некоторым углом скольжения θ. Регулировкой величины ускоряющей разности потенциалов в электронной2e-12Aθdатомные плоскостиКРИСТАЛЛРис. 1пушке изменялись кинетическая энергия и импульс вылетающих электронов и, следовательно, их длина волны де Бройля. По току детектора 2 в опыте измерялось число отраженных от кристалла электронов.Было обнаружено резкое увеличение числа отраженных от кристалла электронов в тех случаях, когда для электронных волн да Бройля выполнялось условиеВульфа - Брэгга(3)2dsinθ=nλБ, n=1, 2, … ,соответствующее условию усиления вторичных волн, отраженных от различныхатомных слоев (плоскостей), и, как следствие, - резкому увеличению амплитуды отраженной волны де Бройля.

В формуле (3) d - расстояние между атомными плоскостями, проходящими через узлы кристаллической решетки, а целое число n - порядок максимума отражения волны де Бройля.В представленной схеме опыта основная система атомных плоскостей, в которых атомы кристалла расположены наиболее густо, была параллельна сошлифованной поверхности кристалла. В общем случае атомные плоскости могут располагаться под некоторым углом к поверхности кристалла. Тогда в формуле (3) угол θ следует рассматривать как угол скольжения пучка падающих электронов по отношению ксистеме атомных плоскостей, отражающих волны де Бройля.Кристаллическая решетка в опыте Дэвиссона-Джермера играет роль объемнойотражательной дифракционной решетки, и с точки зрения гипотезы де Бройля увеличение амплитуды отраженной волны при выполнении условия (3) означает существенный рост вероятности отражения электронов, что и приводит к наблюдаемомуувеличению числа отраженных от кристалла электронов.В аналогичных опытах наблюдались дифракционные эффекты для протонов,нейтронов и других частиц.

Эти опыты подтвердили смелую гипотезу де Бройля оналичии у частиц волновых свойств и стимулировали дальнейшее развитие волновой(квантовой) механики.3ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1. Получите выражение для длины волны де Бройля релятивистскойчастицы, обладающей кинетической энергией ЕК. При каких значениях ЕК ошибка вопределении длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле не превышаетодного процента: а) для электрона, б) для протона?Решение. В нерелятивистском случае кинетическая энергия частицы определяm0 v 2. Поэтому с учетом (1) для длины волны де Бройляется по формуле E K =2движущейся частицы получаемλБ =2π !.2m0 Ekhh==p m0 v(4)В релятивистском случае, когда скорость частицы v сравнима со скоростьюсвета в вакууме с, формула для кинетической энергии частицы, масса которой равнат0, имеет видE K = mc 2 - m0 c 2 = m0 c 2 [11 − ( v / c )2− 1]Из этого соотношения находимE v = с 1−1+ k 2 m0 c −2E , m = m0  1 + k 2 m0 c Отсюда получаем релятивистскую формулу связи импульса частицы с ее кинетической энергией2E 1p = m v = m0 c  1 + k 2  − 1 =E k ( E k + 2E0 ) .m0 c cЗдесь E0=m0c2 - энергия покоя частицы.

Полученную формулу можно преобразоватьк видуEp = 2m0 Ek 1 + k ,2E0что позволяет записать формулу для длины волны да Бройля релятивистской частицыh2π !λБ′ = =p2m0 EkEk 1+2E0 −12(5)Из формул (4) и (5) находим относительную ошибку ε при определении длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле:4−1E  2λ − λБ′= 1−1+ k ε= Б2E0 λБ ,Отсюда получаем значение кинетической энергии частицы, которое соответствуетотносительной ошибке ε :E K ( ε ) = 2E0 {( 1 − ε )−2 − 1 } .Так как для малых ε справедливо разложение (1-ε)-2=1+2ε +..., то для ε<<1можно использовать приближенную формулуEK(ε)≈4εE0Для электрона энергия покоя Е0=0,511 МэВ (Энергию частиц часто выражаютв электрон-вольтах; 1 эВ=1,6⋅10-19 Дж.

Используются также следующие единицы: 1кэВ=103 эВ, 1 МэВ=106 эВ, 1 ГэВ=109 эВ), а для протона Е0=938,2 МэВ. По условиюзадачи ε=0,01. Поэтому находим 20, 4 кэВ - для электронаE K (0, 01) = 37,5 МэВ - для протонаВплоть до таких значений кинетической энергии этих частиц при расчете длиныволны де Бройля можно использовать нерелятивистскую формулу, допуская приэтом относительную погрешность, не превышающую одного процента.Задача 2. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон,чтобы длина волны де Бройля была равна среднему расстоянию между атомами вкристаллических решетках d=10-10 м?Решение. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U, приобретает кинетическую анергию ЕК=е⋅U за счет работы сил электрического поля.

Поэтому с помощью нерелятивистской формулы (4), возможность использования которой в данной задаче будет обоснована ниже, получим для длины волны де Бройлявыражение2π !2π !λБ ==.2m0 Ek2m0 eUПо условию задачи λБ=d. Отсюда находим искомую ускоряющую разность потенциалов4π 2 !2U=.2m0 ed 2Подставляя числовые значения, получаем значение ускоряющей разности потенциалов U=150 В.Так как значение кинетической энергии электрона, прошедшего ускоряющуюразность потенциалов 150 В, составляет ЕК=150 эВ, то из оценок, полученных в задаче 1, следует, что в решаемой задаче с большой степенью точности можно было5использовать нерелятивистскую формулу (4).В заключение отметим, что ускоряющая разность потенциалов порядка нескольких сотен вольт использовалась в опытах Дэвиссона-Джермера, так как в этомслучае длина волны де Бройля электронов λБ≈d, что соответствует условию возможности наблюдения дифракционных эффектов при взаимодействии электронов с кристаллической решеткой.Задача 3.

Пучок электронов падает под углом скольжения θ на грань металлического монокристалла, для которого расстояние между отражающими атомнымиплоскостями, параллельными поверхности кристалла, равно d=1,2⋅10-10 м. Определите значение первой ускоряющей разности потенциалов, при которой наблюдаетсяинтенсивное отражение электронов от кристалла. Как изменится это значение, еслиучесть преломление электронных волн в кристалле, считая известной работу выходаэлектрона из металла АВЫХ=e⋅U, где U0=5В - внутренний потенциал металла.Решение. Свяжем с движущимся электроном плоскую волну де Бройля.