Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Учебное пособие по методам Флойда

Учебное пособие по методам Флойда, страница 3

PDF-файл Учебное пособие по методам Флойда, страница 3 Формальная спецификация и верификация программ (63979): Книга - 9 семестр (1 семестр магистратуры)Учебное пособие по методам Флойда: Формальная спецификация и верификация программ - PDF, страница 3 (63979) - СтудИзба2020-08-21СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Учебное пособие по методам Флойда", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "формальная спецификация и верификация программ" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 3 страницы из PDF

Таким образом,верна следующая лемма:Лемма 3. Пусть дана программа P. Пусть предикаты , ',  и' таковы, что формулы '   и   ' истинны. Тогда• из {}P{} следует {'}P{} и {}P{'},• из P следует 'P и P'.Следующая лемма позволяет по нескольким утверждениям очастичной и полной корректности получать новые утверждения:Лемма 4.

Пусть дана программа P. Тогда для любых предикатов, 1 и 2 выполнены следующие утверждения:• из {}P{1} и {}P{2} следует {}P{1 ∧ 2},• из P1 и P2 следует P1 ∧ 2.Верификация программы целочисленного деленияВ дальнейшем мы сформулируем методы доказательства полнойкорректности программ в общем случае, но сначала обратимся кпримеру.Для этого вернемся к программе целочисленного деления, блоксхема которойпредставлена на рисунке 2 (далее она будетобозначаться как Pdiv). Мы докажем ее полную корректностьотносительно спецификации, заданной следующими предикатами:  (x1  0) ∧ (x2 > 0)  (x1 = z1x2 + z2) ∧ (0  z2 < x2)20Входной предикат спецификации утверждает, что нас будет интересовать поведение программы только на неотрицательных значениях переменной x1 и положительных значениях переменной x2.Выходной предикат определяет, что значения выходных переменных программы должно удовлетворять определению целочисленного деления с остатком.Доказательство полной корректности будет разбито на два этапа.

Сначала мы докажем, что программа является частично корректной относительно входного предиката 0  (x1  0) ∧ (x2  0) ивыходного предиката . А затем мы докажем завершаемость программы на . Из этого, по леммам 2 и 3, будет следовать требуемоеутверждение.Заметим, что входной предикат 0, используемый при доказательстве частичной корректности, является более слабым, чем .Это связано с тем, что при значении входной переменной x2 равном 0, программа является частично корректной, но не завершается.Частичная корректность.

Поставим в соответствие начальному оператору блок-схемы входной предикат 0, завершающему оператору – выходной предикат , а ребру между оператором соединения и условным оператором – промежуточный предикат p, задаваемый формулой p(x1, x2, y1, y2)  (x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0).

Это ребро на рисунке 3 обозначено буквой B.1. Рассмотрим путь от начального оператора программы до ребра B. После выполнения начального оператора переменные принимают следующие значения:21x1x2y1y2x1x20x1Таким образом, p(x1, x2, y1, y2)  (x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0)  (x1= 0x2 + x1) ∧ (x1  0)  (x1  0). А последнее неравенство являетсяистинным в предположении, что выполнено предусловие программы 0  (x1  0) ∧ (x2  0). То есть: 0  (x1  0).2. Предположим, что предикат p истинен в точке B и рассмотрим путь B-D-B.После выполнения условного оператора значения переменныхне изменяются, то есть в точке D предикат p также будет истинен,а так как точка D лежит на ребре, помеченном символом T, то вточке D будет истинно следующее утверждение:(x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2  x2)A: 0( x1, x2 )  (x1  0)  (x2  0)START:( y1, y2 )  ( 0, x1 )p( x1, x2, y1, y2 ) BTDy2  x2( y1, y2 )  ( y1+1, y2- x2 )F(x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0)EHALT:( z1, z2 )  ( y1, y2 )С: ( x1, x2, z1, z2 )  (x1 = z1x2 + z2)  (0  z2 < x2)Рисунок 3.

Блок-схема целочисленного деления и её предикатыДокажем,чтопослевыполненияпоследующегоприсваивания предикат p также будет истинен:D: (x1  y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2  x2)22оператораp( x1, x2, y1 + 1, y2  x2 )  (x1  (y1+1)x2 + y2  x2) ∧B:(y2  x2  0)поэтому нужно показать, что истинно следующее утверждение:(x1  y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2  x2)  (x1  (y1+1)x2 + y2 x2) ∧ (y2  x2  0)(x1  y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2  x2)  (x1  y1x2 + y2) ∧ (y2 x2  0)T3. И в завершении рассмотрим последний путь: от точки B дозавершающего оператора.Предположим, что в точке B истинен предикат p. Тогда припопадании в точку E будет истинно следующее утверждение:(x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2 < x2)Докажем, что после завершающего оператора будет истиненвыходной предикат :E: (x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2 < x2)C: ( x1, x2, y1, y2 )  (x1 = y1x2 + y2) ∧ (0  y2 < x2)дляэтогонеобходимопоказать,чтоистинноследующееутверждение:(x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0) ∧ (y2 < x2)  (x1 = y1x2 + y2) ∧ (0 y2 < x2)TИз рассмотренных свойств программы следует, что для любогоконечного вычисления программы целочисленного деления призначениях входных переменных, удовлетворяющих предусловию,значения выходных переменных будут удовлетворять постусловию.Или, другими словами, что программа целочисленного деления яв-23ляетсячастичнокорректнойотносительноспецификации0 = (0, ).Завершаемость.

До сих пор мы доказали корректность программы только условно. Мы доказали, что если программа завершается, то ее результат удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям. Теперь докажем, что программа целочисленного делениядействительно завершается при значениях входных переменных,удовлетворяющих входному предикату .Во время доказательства частичной корректности программымы доказали, что если значения входных переменных удовлетворяют предикату 0, то при всяком прохождении точки B значениявходныхипромежуточныхпеременныхбудутудовлетворятьследующему условию: (x1 = y1x2 + y2) ∧ (y2  0). Из этого следует,что если значения входных переменных удовлетворяют более сильному предикату , то при всяком прохождении точки B значениепромежуточной переменной y2 будет неотрицательным.

С другойстороны, значения входных переменных не изменяются в ходе выполнения программы, поэтому предикат  является истинным влюбой промежуточной точке. Отсюда следует, что в точке B будетвыполнено следующее условие: (y2  0) ∧ (x2  0).Рассмотрим цикл B-D-B. После прохождения этого пути значение переменной y2 уменьшится на положительную величину (x2). Сдругой стороны, значение переменной y2 останется неотрицательным. И так как не существует бесконечной убывающей последовательности неотрицательных целых чисел, то цикл B-D-B не можетвыполняться бесконечное число раз, если значения входных переменных программы удовлетворяли предикату . Следовательно,24программацелочисленногоделениязавершаетсянавходномпредикате .Мы доказали, что {0}Pdiv{} и PdivT. Отсюда, по леммам 2 и3, следует Pdiv, то есть полная корректность программы целочисленного деления относительно  и .Задачи и упражнения1.3.1 Дляуказаннойнижеблок-схемыикаждойизспецификаций ответить на вопрос, является ли эта блок-схемачастично корректной относительной этой спецификации, являетсяли эта блок-схема полностью корректной относительно той жеспецификации.

Множество переменных состоит из одной входной,двух промежуточных и одной выходной переменной V = {x, y1, y2,z}. Доменом всех переменных является множество целых чисел.START:(y1, y2) ← (x, 0)THALT:z ← y2a) (x) = (x = 0)Fy1 = 0(y1, y2) ← (y1-1, x + y2)c) (x) = (x ≥ 0)(x, z) = (z = 0)b) (x) = (x = 0)(x, z) = (z = x2)d) (x) = T(x, z) = (z = 1)(x, z) = (z = x2)25(x, z) = (z > x)e) (x) = (|x| > 10)(x, z) = (|z| > 100)g) (x) = (x ≥ 0)(x, z) = (z ≥ x)f) (x) = (x > 0)1.3.2 Для каждой из указанных ниже спецификаций приведитеследующие блок-схемы или обоснуйте, почему они не существуют.Доменом всех входных, промежуточных и выходных переменныхдолжно быть множество целых чисел.

В качестве функций,приписанных операторам блок-схемы, можно использовать любуюфункцию, задаваемую арифметической формулой над операциямисложения, вычитания и умножения, и операциями сравнения(равно, неравно, больше, меньше и т. п.).• не являющуюся частично корректной относительно даннойспецификации;• являющуюсячастичнокорректной,нонеявляющуюсяполностью корректной относительно данной спецификации;• являющуюсяотносительночастично,даннойнонеполностьюспецификации,икорректнойприэтомзавершающуюся на максимально возможном числе входныхданных (т. е. завершающуюся при всех значениях входныхданных,удовлетворяющихпредусловию,прикоторыхсуществуют значения выходных переменных, на которыхвыполнено постусловие);• являющуюся полностью корректной относительно даннойспецификации.a) (x) = T (x, z) = Tb) (x) = T (x, z) = F26c) (x) = F(x, z) = Td) (x) = (x = 0)(x, z) = (z = 0)e) (x1, x2) = (x1 = x2)(x1, x2, z) = (x1 = z + x2)f) (x1, x2) = (x1 > x2 ≥ 0)(x1, x2, z1, z2) = (z1 > x1 > z2 > x2)g) (x1, x2) = (0 > x1 > x2)(x1, x2, z1, z2) = (x12 > z1 > x22 > z2)h) (x1, x2) = (x1 > x2 ≥ 0)(x1, x2, z1, z2) = (x22 > z1 > x12 > z2)i) (x1) = (x1 > 0)(x1, z1, z2) = (z1 = x1 * z2) ∧ (z1 < z2)j) (x1, x2) = (x1 + x2 < 3)(x1, x2, z1, z2) = (z1 + x2 > z2) ∧ (z1 < x1 + z2)1.3.3 Доказать или опровергнуть утверждение.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее