Лекция (2) (Лекции)
Описание файла
Файл "Лекция (2)" внутри архива находится в папке "Лекции". PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика сплошных сред (мсс)" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Движение идеальной жидкостиPage 1 of 12Раздел II. Течение идеальной жидкости.1. Равновесие несжимаемой жидкостиВ покоящейся жидкости vi = 0 и уравнение Эйлера и описывает условия равновесия:∂p= ρf i∂ xi.Рассмотрим простейшие примеры решения этого уравнения.а) Несжимаемая жидкость ρ = const покоится в однородном поле тяжести f i = gi .Определить давление в жидкости.В системе координат OXYZ, в которой ось OZ направлена вертикально вниз g i = {0, 0, g} ,уравнения Эйлера имеют вид:∂p∂p∂p=0=0= ρg∂y,,.∂x∂zРешение системы тривиально и имеет вид:p ( x , y, z ) = p0 + ρgz .б) Определить равновесную форму поверхности жидкости, вращающейся как твердое телос угловой скоростью ω и давление внутри жидкости. Определить силу, действующую нанебольшое тело, вращающееся вместе с жидкостью.Для определения равновесия жидкости, вращающейся в однородном поле тяжести,воспользуемся уравнением Эйлераrr rr∂v 1 r 21r+ ∇v + 2[ω ⋅ v ] = − ∇p + g∂t 2ρ.r∂v=0Мы рассматриваем стационарное течение, поэтому ∂t.
Распределение скоростей теченияr r rr r r rжидкости – твердотельное v = [ω ⋅ r ] , ускорение свободного падения постоянно - g = ∇( g ⋅ r )r p 1r∇p = ∇ и плотность жидкости постоянна ρρ.При твердотельном вращении[ωr ⋅ vr ] = [ωr [ωr ⋅ rr ]] = ωr (ωr ⋅ rr ) − rrω2 ,rr r r2 rr r2r r rr∇v 2 = ∇[ω ⋅ r ] = ∇ r 2 ω2 − (ω ⋅ r ) = 2 r ω2 − ω(ω ⋅ r ) ,и уравнение Эйлера можно привести к виду:r v2 p r r ∇ − + ( g ⋅ r ) = 0.2 ρ() {}Выберем систему координат так, чтобы поверхность жидкости, вращающейся вокругвертикальной оси OZ проходила через начало координат, так что давление в этой точке равноатмосферному: p (0) = p0 .
Интегрирование уравнения Эйлера при таком условии дает:p ( x , y, z ) = p0 +ρv 2 ( x , y, z )− ρgz,2или, учитывая зависимость величины скорости от координат:p ( x , y , z ) = p0 +ρω2 (x 2 + y 2 )− ρgz.2mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 2 of 12Для определение выталкивающей силы т. е. суммы поверхностных сил, действующих на тело,необходимо вычислить интеграл:rrF = − ∫ pdσS.Преобразуя поверхностный интеграл к объемному и выполняя интегрирование (по теоремео среднем), для малого объема получим: − ρVω2 xrrF ( x , y , z ) = − ∫ ∇pdu = − ρVω2 yV ρVg.2.
Стационарное обтекание телаРассмотрим безвихревое стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости, приrr 1ω = rot v ≡ 0которомво всем пространстве. Такое движение можно описать единственной2скалярной функцией - потенциалом скорости течения жидкости, определяющей полеr rскоростей: v = ∇ϕ . Система уравнений содержит два уравнения - непрерывности и Эйлера,которые при сделанных предположениях в отсутствие объемных сил имеют вид:∆ϕ = 0r ρv 2∇+ p = 0. 2Интеграл уравнения Эйлера (интеграл Бернулли) позволяет определить давление вжидкости по заданному распределению скоростейρv 2p+= const2Таким образом, при сделанных предположениях для полного решения задачи достаточнолишь уравнения непрерывности∆ϕ = 0 ,которое необходимо дополнить граничными условиями.Рассмотрим два примера течения несжимаемой жидкости.1) Обтекание шара стационарным потокомПусть поток жидкости движется с постоянной скоростью вдоль оси OZ.
Потенциал поляскоростей невозмущенного потока (в отсутствие шара) определим выражением:rrrϕ0 (r ) = Vr = Vr cos ϑ .( )Если в жидкости находится шар радиуса а, центр которого совпадает с началом координат,то он возмущает поток жидкости. Будем считать возмущенный поток установившимся ибезвихревым. В этом случае потенциал поля скоростей может быть представлен в видесуммы:rrrϕ(r ) = ϕ 0 (r ) + ϕ1 (r ) ,rгде ϕ1 (r ) - потенциал возмущения, создаваемого шаром.
Потенциал возмущения скоростиудовлетворяет уравнению Лапласа∆ϕ 1 = 0 .Предположим, что возмущение потенциала скорости шаром пренебрежимо мало наrбольших расстояниях, так что ϕ1 (r ) → 0 при r >> a . Поверхность шара будем считатьmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 3 of 12непроницаемой для жидкости, так что радиальная компонента скорости на поверхностишара обращается в нуль. Это приводит ко второму граничному условиюrr∂ϕ0 (r )∂ϕ1 (r )=−= − V cos ϑ∂r r = a∂r r = a.Предполагая, что возмущенное течение жидкости также как и движение невозмущенногопотока является аксиально-симметричным, для потенциала возмущения получим уравнение (всферических координатах)1 ∂ ∂ϕ ∂ 2 ∂ϕ1 sin ϑ 1 = 0r+∂ϑ ∂r ∂r sin ϑ ∂ϑ .Решение уравнения методом разделения переменныхϕ1 (r, ϑ) = R (r )Θ(ϑ)приводит к следующему уравнению для угловой части:1 ∂ ∂Θ sin ϑ = −CΘsin ϑ ∂ϑ ∂ϑ ,где С - константа разделения переменных.Решение будет регулярным при C = n (n + 1) и удовлетворять граничному условию наповерхности шара при n = 1 :Θ(ϑ) = cos ϑ .Соответственно, радиальное уравнение для возмущения имеет видd 2 dR r − 2R = 0dr dr ,и его решение может быть получено подстановкой R = Ar s .
Решение уравнения,удовлетворяющее условию убывания возмущения на бесконечности, существует при s = −2 .Таким образом, возмущение потенциала, создаваемое непроницаемым шаром заданногорадиуса имеет вид:ϕ1 (r, ϑ) = Ar −2 cos ϑ ,а константа А определяется из условия на поверхности шараr∂ϕ1 (r )= −2 Aa −3 cos ϑ = −V cos ϑ∂r r = aи равна A = Va 3 / 2 . Отсюда окончательно получаем выражения для потенциала возмущенияжидкостиVa(a r )2 cos ϑϕ1 (r, ϑ) =,2а также поле возмущения вектораскорости (в сферических координатах)r r3u = ∇ϕ1 (r , ϑ) = −V (a r ) {cos ϑ, sin ϑ 2, 0} .Это позволяет определить распределение давления на поверхности шараρV 2 9p R = p0 + 0 1 − sin 2 ϑ 2 4,где p0 – давление в невозмущенном потоке.Так как распределение давления симметрично относительно экваториальной плоскостиϑ = π 2 , то суммарное силовое воздействие потока идеальной несжимаемой жидкости вдольнаправления движения оказывается равным нулю.
То есть, воздействие движущейсяжидкости на неподвижный шар (или воздействие жидкости на шар, движущейся в ней) равноmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 4 of 12нулю. Этот результат формально можно получить, вычисляя воздействие потока наэлементарную площадку dσ на поверхности сферы. В силу аксиальной симметрии потокажидкости сила, действующая на сферу, может быть направлена только вдоль оси OZ :dFz = − p R (ϑ) cos ϑdσ .Выполняя интегрирование по всей поверхности сферы, получимFz = −2 πRπ2∫ p (ϑ) cos ϑ sin ϑdϑ = 0 .R0Этот эффект называется парадоксом Даламбера.В системе отсчета, где жидкость покоится, шар движется с постоянной скоростью.Интерпретация парадокса Даламбера в этой системе сводится к утверждению, что идеальнаянесжимаемая жидкость (при потенциальном обтекании) не оказывает сопротивлениядвижущемуся шару.Присоединенная массаВозмущение потока жидкости шаром изменяет (увеличивает) кинетическую энергию этогопотока.
Эффект увеличения кинетической энергии потока при обтекании им неподвижногоrшара легко рассчитывается с помощью полученных выражений для вектора скорости u . Дляrэтого следует учесть, что полная скорость v в любой точке возмущенного потокаr r rопределяется суммой v = V + u , и определить изменение кинетической энергии, вызванноеприсутствием шара. Однако в большинстве случаев интерпретация этого явления связываетсяс изменениями, которые вызывает в жидкости движущееся тело (в данном случае шар).Рассмотрим такую постановку задачи. Пусть в начальный момент времени в выбраннойсистеме отсчета жидкость покоится. Предположим, что в этой жидкости находитсянепроницаемый шар массой М, который начинает движение с нулевой начальной скоростьюпод действием постоянной силы.
Спустя некоторое время шар будет двигаться относительножидкости с заданной скоростью V. Предполагая, что обтекание шара в любой моментявляется потенциальным, применим к этой задаче полученные выше результаты.Для определения скорости шара можно воспользоваться теоремой об изменениикинетической энергии системы шар + жидкость: MV 2∆Tsys = ∆+ Thydr = A, 2где А – работа приложенной силы, а Thydr – кинетическая энергия возмущения жидкости. Еслив рассматриваемый момент центр движущегося шара совпадает с началом (неподвижной)системы отсчета, то распределение скоростей жидкости, обтекающей этот шар даетсяrвыражением для u :r3u = −V (a r ) {cos ϑ, sin ϑ 2,0} ,а плотность кинетической энергии возмущенной жидкости -:ρu 2 ρV 2τ==(a r )6 cos2 ϑ + 1 sin 2 ϑ224.Интегрируя это выражение по всему объему, получим кинетическую энергию возмущения:π∞ρV 216Thydr =2π ∫ sin ϑdϑcos 2 ϑ + sin 2 ϑ∫ r 2 dr (a r )24a.0Выполняя интегрирование, получим окончательно:ρV 2 2πa 3 mV 2Thydr ==232 ,mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 5 of 122 πa 3где введено обозначение3 .Поскольку энергия возмущения в жидкости определяется лишь скоростью движения шара,а масса жидкости, вовлеченной в движение, не зависит от его скорости, суммарная энергиясистемы оказывается пропорциональной кинетической энергии движущегося шара.
Учетэнергии жидкости, приведенной в движение, можно произвести, добавляя к масседвижущегося шара «присоединенную» массу m. Таким образом, кинетическая энергиясистемы шар + жидкость выражается введением присоединенной массы: M ′ = M + m .Теорема об изменении энергии системы позволяет получить эффективное динамическоеуравнение движения шара в жидкости:r rM ′&r& = F ,вид которого совпадает с уравнение Ньютона, но которое описывает движение системы шар +жидкость.m=ρmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_2.mht10/2/2005Движение идеальной жидкостиPage 6 of 122) Обтекание цилиндра стационарным потоком с циркуляциейПредположение об аксиальной симметрии обтекающего потока в ряде случаев невыполняется.
Это может являться следствием как асимметрии обтекаемых тел, так иизменения граничных условий. Рассмотрим простейшую модель – обтекание непроницаемогоцилиндра радиуса a, расположенного перпендикулярно потоку идеальной несжимаемойжидкости. Будем считать, что всюду в области, занятой жидкостью, движение потенциально,т. е. распределение скоростей описывается потенциалом скорости ϕ , удовлетворяющимуравнению Лапласа в цилиндрических координатах r, ϑ :1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ=0r +r ∂r ∂r r 2 ∂ϑ2с условием непроницаемости∂ϕ=0∂r a.Будем как и ранее считать, что возмущение потока жидкости, вносимое цилиндром, убываетна бесконечности, что дает асимптотическое поведение потенциала скоростиϕ r →∞ = V∞ r cos ϑ .Регулярное решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее сделанным предположениям,может быть получено методом разделения переменных и имеет вид:a2 ϕ 0 = V∞ r + cos ϑr .Учесть асимметрию обтекания можно путем добавления к потенциалу симметричногоΓϕ1 =ϑϕраспределения скоростей 0 потенциала циркуляции2π :Γa2 ϕ = ϕ 0 + ϕ1 = V∞ r + cos ϑ +ϑ2π .r Это приводит к асимметричному относительно горизонтальной диаметральной плоскостицилиндра распределению скоростей потока: a2 a2 Γv r = V∞ 1 − 2 cos ϑ,vϑ = −V∞ 1 + 2 sin ϑ +r r 2 πr .Такое поле скоростей является всюду безвихревым, кроме точки r = 0 .