Лекция (1) (Лекции)

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 1 of 20ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ1. Концепция сплошной средыВ предыдущих разделах курса в основном рассматривалось движение материальной точкилибо абсолютно твердого тела. Движение деформируемых твердых или жидких телпрактически не затрагивалось.

Исключением является описание свойств однородногоупругого стержня или пружины с помощью закона Гука.Понятие сплошной средыВ настоящем разделе курса мы рассмотрим некоторые простые способы описаниядвижения деформируемых тел, в которых преобладают неупругие деформации. Посколькуописание деформаций вообще представляет достаточно сложную задачу, мы ограничимсяизучением свойств сплошной среды. Сплошной средой называется физическое тело, свойствакоторого в соседних точках мало отличаются.

Это означает, что физические величиныопределяющие рассматриваемые свойства сплошной среды, близки в соседних точкахТрадиционными примерами таких тел являются жидкости или газы.Предполагается, что механические и термодинамические характеристики сплошной средымогут быть описаны физическими полями, такими как поле плотности, скорости, давления ит.д.

Напомним, что полем физической величины называется одна или несколько функцийзаданных в каждой точке пространства в каждый момент времени.На практике задание поля физической величины связано с определенной процедуройусреднения, которую мы поясним примерами.Предположим, что рассматриваемое тело можно представить в виде совокупностибольшого числа частиц постоянного состава, каждая из которых занимает некоторыйэлементарный объем. Если элементарный объем, занимаемой частицей можно выбрать такчтобы его размерами можно было пренебречь при описании движения, то такую частицуможно рассматривать, как материальную точку. В большинстве случаев этот объем следуетвыбрать достаточно малым.

Движение сплошной среды тогда может быть представлено, какдвижение очень большой совокупности таких частиц. Более подробно понятие «элементарныйобъем» рассматривается ниже.Одним из возможных методов описания является определение движения каждой из частицт.е. определение физических величин, с ними связанных. Такой подход называется описаниемЛагранжа. Применение описания Лагранжа представляет определенные удобства, посколькунепосредственно связано с возможностью использования моделей материальной точки итвердого тела.

Однако, на практике такой подход используется только для изучения движенияв течение небольших интервалов времени. Если сплошная среда движется в ограниченномобъеме в течение достаточно большого времени, то траектории частиц сильноперепутываются. Частицы, первоначально находившиеся в соседних точках пространстваоказываются разделенными. Элементарные объемы, занимаемые соседними частицами, притаком движении сильно деформируются и могут иметь значительное протяжение при маломобъеме. Это приводит к тому, что малость первоначального объема не гарантирует близостифизических свойств вещества в нем спустя некоторое время, что в свою очередь исключаетприменения аппарата дифференциального исчисления к такой среде.Полевые величины в переменных ЭйлераБолее удобным является подход Эйлера.

В этом подходе рассматриваются мысленновыделенные объемы переменного состава, положение которых задается координатами «точкинаблюдения» – любой точки, принадлежащей выделенному объему. Предполагается, чтоможно выбрать объем настолько малым, что физические величины среды внутри такогообъема не зависят от выбора «точки наблюдения». Таким образом, в каждой точкепространства в каждый момент времени можно определить величины, задающие состояниесплошной среды – физические поля. Рассмотрим в качестве примера введение поля плотностиПредположим, что деформируемое тело устроено так, что в окрестности любой точкизаданной радиус-вектором rr , существует достаточно малый объем ∆V такой, что массавещества в этом объеме ∆m пропорциональна величине этого объема и не зависит от егоформы и размеров:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 2 of 20∆m ~ ∆ V .Коэффициент пропорциональности ρ в этом выражении называется плотностью тела вrданной точке пространства в данный момент времени ρ = ρ (r , t ) .

Таким образом∆m = ρ∆V .Объем, для которого выполняется пропорциональность, называется элементарным, афизическое тело – сплошной средой. На практике пропорциональность соблюдается не длялюбой формы и не для любого малого объема. На величину объема обычно накладываетсяограничение ∆Vmin < ∆V < ∆Vmax . Для изучения вещества в обычных условиях ограничениеснизу обусловлено молекулярной структурой вещества.

Минимальный объем долженсодержать достаточно большое число молекул, чтобы можно было пренебречь флуктуациямиМаксимальный размер элементарного объема выбирается из условий достижения приемлемойточности описания.Аналогичным образом вводятся и поля других физических величин, например, скоростиили давления. Считается, что движение сплошной среды может быть задано полем скоростейr r rv = v (r , t ) , если в окрестности «точки наблюдения» rr для каждого момента времени tсуществует элементарный объем ∆V такой, что скорости всех частиц среды в этом объемеможно считать одинаковыми с заданной точностью.Модель сплошной среды имеет широкую область применения. Ее можно использоватьнапример, для изучения движения обычных жидкостей или газов.

Если элементарный объемвыбрать достаточно большим, например сравнимым или превышающим размеры солнечнойсистемы, то модель сплошной среды может быть использована и для описания движения звездвблизи ядра Галактики.2. Поле скоростей и деформации средыПоле скоростей сплошной среды описывает произвольные ее движения, включая идеформации. Поскольку движение без деформаций может быть описано моделью твердоготела, рассмотрим подробнее условия, которым удовлетворяет поле скоростей, описывающихдеформации сплошной среды.

Описание движения частиц будем вести в переменных Эйлера.Сделаем замечание о форме записи векторных величин. Далее мы будем использовать двеформы представления вектора – задание его с помощью проекций в выбранной декартовойсистеме, например x k , V k , где индекс k пробегает значения от 1 до 3, либо как абстрактныйr rгеометрический объект, отмечая векторы стрелкой r , V и т. д. Для упрощения действий свекторами в случае задания их проекциями, примем соглашение о суммировании поповторяющимся индексам.Для краткости представление векторов в первом виде будем называть тензорным, а второе- векторным. Во многих случаях использование векторных обозначений вместо тензорных(там где это возможно) оказывается предпочтительным, поскольку вид уравнений,записанных в векторной форме, не связан с конкретным выбором координат.

В частности,векторная форма может быть использована для записи уравнений в произвольныхортогональных координатах, например, цилиндрических или сферических.Для определения деформаций рассмотрим скорость частиц в двух близких точках - x k иxk + δxk . Полагая поле скоростей дифференцируемым, в линейном приближении по δxkполучим∂VVi (xk + δxk , t ) = Vi (xk , t ) + i δxk∂xk.∂Vi=0Очевидно, что в том случае, когда скорости всех точек среды одинаковы, т.е. ∂x k,mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 3 of 20∂Vi≠0деформации среды отсутствуют.

Однако и в случае ∂x kсуществуют движения, неприводящие к деформациям. Напомним, что движение тела называется деформацией, еслиизменяются расстояния между его точками. Это происходит только в том случае, когдапроекции скоростей любой пары точек на прямую, их соединяющую, не равны. Врассматриваемом случае этой прямой является вектор δxk , а проекция вектора скоростипропорциональна скалярному произведению Vi ( xk , t )δxi .

Применяя этот критерий к частицамсплошной среды, получим условие на поле скоростей, при которых деформации отсутствуютдля любых δxi ≠ 0 :Vi ( xk + δx k , t )δxi = Vi (x k , t )δxi .Полученное соотношение приводит к дифференциальному условию для поля скоростей,описывающего движение без деформаций:∂Viδxi δxk ≡ 0∂x kдля любых δxi ≠ 0 .Свертка тензораTik =∂Vi∂xk и симметричного тензора ∆ik = δxi δxk ( ∆ik = ∆ ki ), не равного нулю,обращается в нуль только в том случае, когда тензор Tik является антисимметричным, т.е.Tik = −Tki .Представляя тензор Tik в виде суммы антисимметричного тензора Aki и симметричноготензора SikTik = Aki + Sik ,гдеAki =1  ∂Vi ∂Vk−2  ∂xk ∂xi,аполучим следующий критерий для определения деформации сплошной среды.Движение сплошной среды является деформацией, если симметричный тензор1  ∂V ∂V Sik =  i + k 2  ∂xk ∂xi Ski =1  ∂Vi ∂Vk+2  ∂xk ∂xiне равен тождественно нулю.

Этот тензор называется тензором скоростей деформаций иопределяет скорость изменения расстояния между соседними точками сплошной среды.Если выбрать ориентацию осей системы координат так, чтобы в рассматриваемой точкетензор скоростей деформаций стал диагональным0  S11 0Sik =  0 S22 0  00 S33  ,то за время dt расстояние между точками, находящимися на осях, изменится:δx3′ = δx3 + S 33 δx3 dt .δx1′ = δx1 + S11 δx1 dt ,δx2′ = δx 2 + S 22 δx 2 dt ,Это приведет к изменению рассматриваемого элементарного объема δV = δx1δx2 δx3 :mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 4 of 20δV ′ = δx1′δx′2δx3′ = δV [1 + (S11 + S22 + S33 )dt ]Скорость изменения относительного объема определяется суммой диагональных компоненттензора скоростей деформаций:∂V1 ∂V 2 ∂V 3 ∂Vk1 dδV1 δV ′ − δV== S 11 + S 22 + S 33 =++=δV dtδVdt∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x k .или в векторной формеr1 dδV= div V.δV dtТаким образом, скорость изменения элементарного объема пропорциональна дивергенциивектора скорости в рассматриваемой точке.Запишем соотношения между скоростями частиц среды в соседних точках пространства,используя векторные обозначения.

Для этого сопоставим антисимметричному тензору∂Vk111  ∂V ∂V ωi = εijk A jk = εijkAki =  i − k 22∂x j , записав свертку этого2  ∂xk ∂xi  псевдовектор вихрятензора с единичным антисимметричным тензором Леви-Чивита ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1ε lmn =  ε 213 = ε 321 = ε 132 = −1остальные равны нулюТакое сопоставление взаимно-однозначно:Alm = ε lmn ωn .Последнее соотношение легко доказывается, если учесть тождество εijk ε mlk = δim δ jl − δil δ jm :ε lmn ε njk A jk =111ε lmn ε jkn A jk = (δ lj δ mk − δ lk δ mj )A jk = ( Alm − Aml ) = Alm.222Введение псевдовектора вихря позволяет записать вектор скорости среды в точке xk + δxk1  ∂V ∂VVi (xk + δxk , t ) = Vi ( xk , t ) +  i − k2  ∂xk ∂xi1  ∂V ∂Vδxk +  i + k2  ∂xk ∂xiв виде:Vi ( xk + δx k , t ) = Vi (x k , t ) + ε imk ωm δx k +δxk∂Ψ∂δxi ,11  ∂V ∂V S ik δxi δx k =  i + k  δxi δx k24  ∂x k ∂xi где.В векторных обозначениях полученное равенство имеет вид:r rr rrr rV (r + δr , t ) = V (r , t ) + [ω ⋅ δr ] + grad δr Ψ ,Ψ=rr 1ω = rotVгде.2Это соотношение называется формулой Коши-Гельмгольца.3.

Интегральные характеристики поля. ПотокиКроме дифференциальных характеристик поля часто используются и интегральныехарактеристики, применение которых делает описание более наглядным. Одной из наиболееrудобных характеристик векторного поля является линия поля. Линией векторного поля Aназывается непрерывная линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает с векторомr rполя в этой точке. Пусть линия поля задана в параметрическом виде уравнением r = r (s ), гдеmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 5 of 20rr ∂r ( s )dsdr =пропорционаленs - параметр, например, длина дуги.