Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Лекция 3. Линейная регрессия

Лекция 3. Линейная регрессия (2014 Лекции (Сенько))

PDF-файл Лекция 3. Линейная регрессия (2014 Лекции (Сенько)) (ММО) Методы машинного обучения (63136): Лекции - 10 семестр (2 семестр магистратуры)Лекция 3. Линейная регрессия (2014 Лекции (Сенько)) - PDF (63136) - СтудИзба2020-08-25СтудИзба

Описание файла

Файл "Лекция 3. Линейная регрессия" внутри архива находится в папке "2014 Лекции (Сенько)". PDF-файл из архива "2014 Лекции (Сенько)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "(ммо) методы машинного обучения" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Лекция 3Линейная регрессия,Оценки регрессионых параметров,Лектор – Сенько Олег ВалентиновичКурс «Математические основы теории прогнозирования»4-й курс, III потокСенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 31 / 38Содержание лекции1Линейная модель2Метод наименьших квадратов и его связь с методоммаксимального правдоподобия3Одномерная линейная модель4Многомерная линейная модель5Свойства оптимальных регрессий.6Трёхкомпонентное разложение обобщённой ошибки.6Методы, основанные на регуляризации.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 32 / 38Линейная регрессияРаспространённым средством решения задач прогнозированиянепрерывной величины Y по переменным X1 , . . .

, Xn являетсяиспользование метода множественной линейной регрессии. В данномметоде связь переменной Y с переменными X1 , . . . , Xn задаётся спомощью линейной моделиY = β0 + β1 X1 + . . . + βn Xn + ε,(1)где β0 , β1 , . . . , βn - вещественные регрессионные коэффициенты, ε случайная величина, являющаяся ошибкой прогнозирования.Регрессионные коэффициенты ищутся по обучающей выборкеS̃t = {s1 = (y1 , x1 ), . . . , sm = (ym , xm )},(2)где xj = (xj1 , . . . , xjn ) вектор значений переменных X1 , .

. . , Xn дляобъекта sj .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 33 / 38Линейная регрессия. Метод наименьших квадратовТрадиционным способом поиска регрессионных коэффициентовявляется метод наименьших квадратов (МНК). МНК заключается вминимизации функционала эмпирического риска с квадратичнымипотерямиQ(S̃t , β0 , β1 , . . .

, βn ) =mX[yj − β0 −j=1nXxi βij ]2(3)i=1То есть оценки β̂0 , β̂1 , . . . , β̂n регрессионных коэффициентовβ0 , β1 , . . . , βn по методу МНК удовлетворяют условию минимумафункционала эмпирического риска с квадратичными потерями(β̂0 , . . . , β̂n ) = arg min[Q(S̃t , β0 , β1 , . . . , βn )].Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 3(4)4 / 38Линейная регрессия. Метод наименьших квадратовПредположим взаимосвязь между величиной Y и переменнымиX1 , . . .

, Xn описывается выражениемY = β0 + β1 X1 + . . . + βn Xn + εN (0, σ)(5)Где ошибка εN (0, σ) распределена нормально, При ‘этом дисперсияошибки σ 2 не зависит от X1 , . . . , Xn , а математическое ожиданиеошибки равно 0 при произвольных значениях прогностическихпеременных: EΩ (εN | x) = 0, EΩ (ε2N | x) = σ 2 при произвольномдопустимом векторе x.

В этом случае метод МНК тождественен болееобщему статистическому методу оценивания параметровстатистических распределений – Методу максимальногоправдоподобия (ММП).Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 35 / 38Линейная регрессия. Метод максимального правдоподобияМетод максимального правдоподобия. Предположим, что некотороепространство событий с заданной на нём вероятностной мерой Pхарактеризуется переменными Z1 , . . . , Zd . Метод ММП позволяетвосстанавливать плотность распределения вероятностей по случайнымвыборкам, если общий вид плотности вероятностного распределенияизвестен.

Пусть плотность распределения принадлежит семействуфункций, задаваемому вектором параметров θ1 , . . . , θr , принимающемeзначения из множества Θ:e{p(Z1 , . . . , Zd , θ1 , . . . , θr ) | θ ∈ Θ}.Предположим, что у нас имеется случайная выборка объектов,описываемых векторами z 1 , . . . , z m переменных Z1 , .

. . , Zd .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 36 / 38Линейная регрессия. Метод максимального правдоподобия.Напомним, что метод МП заключается в выборе в семействеe{p(Z1 , . . . , Zd , θ1 , . . . , θr ) | θ ∈ Θ}плотности,для которой достигает максимума функция правдоподобияL(z 1 , . . . , z m , θ1 , .

. . , θr ) =mYp(z j , θ).(6)j=1Иными словами оценка θ̂ вектора параметров θ = (θ1 , . . . , θr )вычисляется какθ̂ = arg max[L(z 1 , . . . , z m , θ1 , . . . , θr )].(7)eθ∈ΘПопытаемся вычислить значения параметров (β0 , β1 , . . . , βn ) исходя изпредположения (5). Согласно (5) разность Y − β0 − β1 X1 − . . . − βn Xngодчиняется нормальному распределению с нулевым математическиможиданием и дисперсией σ 2 .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 37 / 38Линейная регрессия. Связь между МНК и ММП.Плотность распределения в пространстве переменных Y, X1 , . . . , Xnможет быть восстановлена по обучающей выборкеS̃t = {(y1 , x1 ), . . .

, (ym , xm )}, путём максимизации функцииправдоподобияmYP−(yj − β0 − ni=1 βi xji )21√expL(S̃t , β0 , . . . , βn ) =2σ 2(2πσ)j=1(8)Очевидно, точка экстремума функции правдоподобия L(S̃t , β0 , . . . , βn )совпадает с точкой экстремума функцииln[L(S̃t , β0 , . . . , βn )] = −nmXX11βi xji )2 ][ ln 2π + ln σ + 2 (yj − β0 −22σi=1j=1(9)Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 38 / 38Линейная регрессия.

Связь между МНК и ММП.Однако точка максимума ln[L(S̃t , β0 , . . . , βn )] совпадает с точкойминимума функции Q(S̃t , β0 , β1 , . . . , βn ) , оптимизируемой в методеМНК, что позволяет сделать вывод о эквивалентности ММП и МНКСенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 39 / 38Линейная регрессия.

Одномерная модель.Рассмотрим простейший вариант линейной регрессии, описывающейсвязь между переменной Y и единственной переменной X :Y = β0 + β1 X + ε. Функционал эмпирического риска на выборкеS̃t = {(y1 , x1 ), . . . , (ym , xm )} принимает видm1 XQ(S̃t , β0 , β1 ) =[yj − β0 − xj β1 ]2 .m(10)j=1Необходимым условием минимума функционала Q(S̃t , β0 , β1 ) являетсявыполнение системы из двух уравненийmm2β1 X2 X∂Q(S̃t , β0 , β1 )yj + 2β0 +xj = 0=−∂β0mmj=1(11)j=1mmm∂Q(S̃t , β0 , β1 )2 X2β0 X2β1 X 2xj yj +xj +xj = 0=−∂β1mmmj=1Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 3j=1j=110 / 38Линейная регрессия. Одномерная модель.Оценки β̂0 , β̂1 являются решением системы (11) относительнопараметров соответственно β0 , β1 . Оценки регрессионныхкоэффициентов могут быть записаны в видеPmPm1 Pmj=1 xj yj − mj=1 yjj=1 xjβ̂1 =,Pm 21 Pm2j=1 xj − m ( j=1 xj )(12)β̂0 = y − βˆ1 x1 Pm1 Pm, где y = mj=1 yj , x = mj=1 xj .

Выражение для β̂1 может бытьпереписано в видеCov(Y, X | S̃t )β̂1 =,(13)D(X | S̃tгде Cov(Y, X | S̃t ) является выборочной ковариацией переменных Y иX, D(X | S̃t ) является выборочной дисперсией переменной X.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 311 / 38Одномерная регрессияТо естьmCov(Y, X | S̃t ) =1 X(yj − y)(xj − x)mj=1mD(X | S̃t ) =1 X(xj − x)2mj=1Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 312 / 38Многомерная регрессияПри вычислении оценки вектора параметров β = (β0 , . . . , βn ) в случаемногомерной линейной регрессии удобно использовать матрицу планаX размера m × (n + 1) , которая строится по обучающей выборке S̃t .Матрицаплана имеет вид 1 x11 .

. . x1n. . . . . . . . . . . . .1x...xX =j1jn. . . . . . . . . . . . 1 xm1 . . . xmnТо есть j-я строка матрицы плана представляет собой вектор значенийпеременных X1 , . . . , Xn для объекта sj c одной добавленной слевакомпонентой, содержащей 1.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 313 / 38Многомерная регрессияПусть y = (y1 , . . .

, ym ) - вектор значений переменной Y . Связь Y спеременными X1 , . . . , Xn на объектах обучающей выборки может бытьописана с помощью матричного уравненияy = βXt + ε,где ε = (ε1 , . . . , εm ) - вектор ошибок прогнозирования для объектовS̃t . Функционал Q(S̃t , β0 , β1 , . . . , βn ) может быть записан в видеQ(S̃t , β0 , β1 , . .

. , βn ) =mX[yj − β0 −j=1nXβi x̆ji ]2 ,(14)i=1где x̆ji - элементы матрицы плана X , определяемые равенствамиx̆j1 = 1 , x̆ji = xj(i−1) при i > 1 .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 314 / 38Многомерная регрессияНеобходимым условием минимума функционала Q(S̃t , β0 , β1 , . . . , βn )является выполнение системы из n + 1 уравненийmm n+1j=1j=1 i=1XX∂Q(S̃t , β0 , . . .

, βn )2 Xβi x̆ji x̆j1 ] = 0=− [yj x̆j1 −∂β0m(15)...,...,...,...,...,...,...,...mm n+1j=1j=1 i=1XX∂Q(S̃t , β0 , . . . , βn )2 X=− [yj x̆jn −βi x̆ji x̆jm ] = 0∂βnmВектор оценок значений регрессионных коэффициентов β̂0 , . . . , β̂nявляется решением системы уравнений (15) .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 315 / 38Многомерная регрессияВ матричной форме система (15) может быть записана в виде−2Xt y t + 2Xt Xβ t = 0(16)Решение системы (16) существует, если det(Xt X) 6= 0 . В этом случаедля Xt X существует обратная матрица и решение (16) относительновектора β может быть записано в виде:β̂ t = (Xt X)−1 Xt y t .(17)Из теории матриц следует, что det(Xt X) = 0 если ранг матрицы X построкам менее (n + 1) , что происходит, если m-мерный векторзначений одной из переменных Xi0 ∈ {X1 , .

. . , Xn } на выборке S̃tявляется линейной комбинаций m-мерных векторов значений на S̃tдругих переменных из {X1 , . . . , Xn }.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 316 / 38Многомерная регрессияПри сильной коррелированности одной из переменныхXi0 ∈ {X1 , .

. . , Xn } на выборке с какой-либо линейной комбинациейдругих переменных значение det(Xt X) оказывается близким к 0. Приэтом вычисленный вектор оценок β̂ t может сильно изменяться приотносительно небольших чисто случайных изменениях вектораy = (y1 , . . . , ym ) . Данное явление называетсямультиколлинеарностью. Оценивание регрессионных коэффициентов сиспользованием МНК при наличии мультиколлинеарности оказываетсянеустойчивым. Отметим также, что det(Xt X) = 0 приn + 1 > m.Поэтому МНК не может использоваться для оцениваниярегрессионных коэффициентов, когда число переменных превышаетчисло объектов в обучающей выборке. На практике высокаяустойчивость достигается только, когда число объектов в выборках покрайней мере в 3-5 раз превышает число переменных.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 317 / 38Свойства оптимальных регрессийРассмотрим свойства линейных регрессий, минимизирующих квадратошибки на пространстве событий Ω .

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее