А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Практикум для студентов, страница 2

Сообщение передается одновременно по n каналам связи,причем для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз. При однойпередаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью p.Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами свероятностью q; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найтивероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.Решение.

Обозначим события:A = {хотя бы один раз сообщение передано без искажений};Bi = {по i-му каналу сообщение хотя бы один раз было передано безискажений}.Для выполнения события Bi i-й канал, во-первых, не должен быть забитпомехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно бытьискажено.Вероятность того, что канал не «забит» помехами, равна 1 – q.Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех, равна1 – pk (p – вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями).Тогда p(B) = (1 – q)⋅(1 – pk).Вероятность события A, состоящего в том, что хотя бы на одном каналепроизойдет событие, равнаn⎛n ⎞⎛n ⎞knp( A) = p⎜ UBi ⎟ =1− p(A) =1− p⎜ I Bi ⎟ =1− ∏(1− p(Bi )) = 1 − [1 − (1 − q )(1 − p )] .⎜⎟⎜⎟i=1⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠Пример 2.2. Какова вероятность угадать в спортлото «5 из 36» не менеетрех номеров?Решение.

Событие А – угадать не менее трех номеров в спортлото –разбивается на сумму трех несовместных событий:А3 – угадать ровно три номера;А4 – угадать ровно четыре номера;А5 – угадать ровно пять номеров.При этом p(A) = p(A3) + p(A4) + p(A5), так как события несовместны.Найдем вероятность p(A3). Для этого воспользуемся формулой (1.1). Здесьобщее число комбинаций n по формуле (1.7) будет равно числу возможныхзаполнений карточек:36!5n = C36== 376992 .5!(36 − 5)!Число благоприятствующих комбинаций m в этом случае определяетсяследующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно C53 = 10способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается свыбором двух неправильных номеров. Число таких выборок равно C312 = 465 .Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведениюнайденных чисел:m = C53 ⋅ C312 = 10 ⋅ 465 = 4650 .m4650Тогда P ( A3 ) = =≈ 0,123 ⋅ 10−1 .n 376992Аналогично вычисляются p ( A4 ) = 0,478 ⋅ 10−3 , p ( A5 ) = 0,265 ⋅ 10−5 . Такимобразом, искомая вероятность будет равнаp ( A) = 0,123 ⋅ 10−1 + 0,478 ⋅ 10−3 + 0,265 ⋅ 10−5 = 0,128 ⋅ 10−1 .Пример 2.3.

В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются сразудва шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.Решение. Введем следующие обозначения: A – шар белый, B – шар черный,С – шары разных цветов. Событие С может появиться в двух несовместныхвариантах: (Б, Ч) или (Ч, Б). По правилу умножения вероятностей:ab⋅,a + b a + b −1bap ( BA ) = p ( B ) ⋅ p ( A / B ) =⋅.a + b a + b −1p ( AB ) = p ( A) ⋅ p ( B / A) =По правилу сложения вероятностей несовместных событий2 abp (C ) = p ( AB ) + p ( BA ) =.( a + b )( a + b − 1)ЗАДАЧИ2.1. Вероятность безотказной работы блока в течение заданного времениравна 0,8.

Для повышения надежности устанавливается такой же резервныйблок. Найти вероятность безотказной работы системы с резервным блоком.Ответ: 0,96.2.2. Двадцатьэкзаменационныхбилетовсодержатподванеповторяющихся вопроса. Экзаменуемый знает ответы на 35 вопросов. Найтивероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответитьна два вопроса одного билета или на один вопрос билета и одиндополнительный вопрос из других билетов.Ответ: 0,837.2.3. На шахматную доску наудачу ставят две ладьи. Вычислить Р(В/А),если А ={ладьи попали на клетки разного цвета}, В={ладьи побьют друг друга}.Ответ: 0,25.2.4.

Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимаютправильное решение независимо друг от друга с вероятностью р, а третий судьядля принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюрипринимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюрипримет правильное решение?Ответ: р.2.5.

Продолжение. Все трое членов жюри принимают независимо друг отдруга правильное решение с вероятностью р. Каким должно быть р, чтобыданное жюри принимало правильное решение с большей вероятностью, чемжюри из предыдущей задачи?Ответ: р > 1 / 2.2.6. Имеется 10 ключей, из которых лишь один подходит к двери. Ключипробуют подряд. Какова вероятность, что годный ключ попадет на четвертомшаге?Ответ: 0,1.3.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСАДопустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можносделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): {H1, H2, …,Hn}, Hi ∩ Hj = ∅ при i≠j.Событие A может появляться совместно с одной из гипотез Hi. Тогдаполная вероятность события A равнаnp( A) = ∑ p( H i ) ⋅ p( A / H i ) .i =1(3.1)Если опыт произведен и произошло некоторое событие А, то определитьвероятность гипотезы Hk с учетом того, что произошло событие А, можно поформуле Байеса:P( H k ) ⋅ P( A / H k ).(3.2)P( H k ) / A) = n∑ P( H i ) ⋅ P( A / H i )i =1Пример 3.1.

В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукцияпервого завода содержит 10% телевизоров с дефектом, второго – 5% и третьего –3%. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазинпоступило 25% телевизоров с первого завода, 55% – со второго и 20% – стретьего?Решение. С рассматриваемым событием A = {приобретенный телевизороказался с дефектом} связано три гипотезы: H1 = {телевизор выпущен первымзаводом}, H2 = {выпущен вторым заводом}, H3 = {выпущен третьим заводом}.Вероятности этих событий определяются из условия задачи: p(H1) = 0,25;p(H2) = 0,55; p(H3) = 0,2.

Условные вероятности события A такжеопределяются из условия задачи: p(A/H1) = 0,1; p(A/H2) = 0,05; p(A/H3) = 0,03.Отсюда по формуле полной вероятности следует:p(A) = 0,25⋅0,1 + 0,55⋅0,05 + 0,2⋅0,03 = 0,0585.Пример 3.2. На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 толькопомеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник свероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха,то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3.

Известно, что приемникпоказал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительнопришел?Решение. С рассматриваемым событием A = {приемник зарегистрировалналичие сигнала} связано две гипотезы: H1 = {пришел сигнал и помеха},H2 = {пришла только помеха}. Вероятности этих гипотез p(H1) = 0,9,p(H2) = 0,1. Условные вероятности события A по отношению к гипотезам H1 иH2 находим из условия задачи: p(A/H1) = 0,8, p(A/H2) = 0,3.Требуется определить условную вероятность гипотезы H1 по отношению ксобытию A, для чего воспользуемся формулой Байеса:p(H1 ) ⋅ p( A / H1 )0,9 ⋅ 0,8p(H1 / A) === 0,96.p(H1 ) ⋅ p( A / H1 ) + p(H 2 ) ⋅ ( A / H 2 ) 0,9 ⋅ 0,8 + 0,1⋅ 0,3Пример 3.3. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студентподбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме свероятностью 0,9, а если в кино – с вероятностью 0,3.

Какова вероятность того,что студент разберется в теме?Решение. Применим формулу полной вероятности (3.1). Пусть А –событие, состоящее в том, что студент разобрался в теме, событие (гипотеза)H1 – студент идет в кино, Н2 – студент идет на лекцию. Известны из условиязадачи следующие вероятности:P(H1) = P(Н2) = 0,5; P(A / Н1) = 0,3; P(A / Н2) = 0,9.Искомая вероятность события А будет равнаP(A) = P(H1) ⋅ P(A / Н1) + P(Н2) ⋅ P(A / Н2) = 0,5 ⋅ 0,3 + 0,5 ⋅ 0,9 = 0,6.Пример 3.4. Пусть одна монета из 10 000 000 имеет герб с обеих сторон,остальные монеты обычные.

Наугад выбранная монета бросается десять раз,причем во всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность того,что была выбрана монета с двумя гербами?Решение. Применим формулу Байеса (3.2). Пусть событие А – монетадесять раз подряд падает гербом кверху. Гипотезы: H1 – выбрана обычнаямонета; Н2 – выбрана монета с двумя гербами.

По условию задачи необходимоопределить условную вероятность P(Н2 / A). Неизвестные в формуле (3.2)вероятности равныP(Н2) = 10–7;P(Н1) = 0,9999999;P(A / Н2) = 1.P(A / Н1) = 0,510;Следовательно,10−7 ⋅1P( H 2 ) ⋅ P( A / H 2 )= −7≈ 1,02 ⋅10−4.P( H 2 / A) =10P( H1 ) ⋅ P( A / H1 ) + P( H 2 ) ⋅ P( A / H 2 ) 10 ⋅1 + 0,9999999 ⋅ 0,5ЗАДАЧИ3.1. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, вовторой – три белых и пять черных. Из первой и второй урн не глядя берут поодному шару и кладут их в третью урну. Шары из третьей урныперемешиваются и берут из нее наугад один шар.

Найти вероятность того, чтоэтот шар будет белый.Ответ: 31/80.3.2. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двухрежимах: в условиях нормального полета и в условиях перегрузки при взлете ипосадке. Нормальный режим полета составляет 80%времени полета,перегрузка – 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета внормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки – 0,4.

Вычислитьнадежность прибора за время полета.Ответ: 0,84.3.3. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределены подвум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее один шар. Как нужнораспределить шары по урнам, чтобы вероятность вынуть белый шар быламаксимальной?Ответ: в одной урне один белый шар, а в другой – остальные.3.4. Среди поступающих на склад деталей 30% – из цеха № 1, 70% – изцеха № 2.

Вероятность брака для цеха № 1 равна 0,02; для цеха № 2 – 0,03.Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того,что она изготовлена в цехе № 1?Ответ: 0,302.3.5. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первойкоробке 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй 10, из них 3неисправных. Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробкион вероятнее всего взят?Ответ: из первой.3.6. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов.Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) первогоузла равна 0,9, второго 0,8. За время испытаний в течение времени Тзарегистрирован отказ прибора. Найти вероятность того, что отказал толькопервый узел.Ответ: 0,85.3.7. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого стрелкасоответственно равны: 0,7, 0,75, 0,8.