Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » 08 Функции нескольких переменных как отображения

08 Функции нескольких переменных как отображения (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

PDF-файл 08 Функции нескольких переменных как отображения (Лекции Линейная алгебра и ФНП) Линейная алгебра и аналитическая геометрия (607): Лекции - 2 семестр08 Функции нескольких переменных как отображения (Лекции Линейная алгебра и ФНП) - PDF (607) - СтудИзба2015-05-08СтудИзба

Описание файла

Файл "08 Функции нескольких переменных как отображения" внутри архива находится в папке "ФНП лекции". PDF-файл из архива "Лекции Линейная алгебра и ФНП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-128.1. Открытые и замкнутые множества(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + . . .

+ xn yn ,и в соответствии с этой нормой расстояниеρ(x, y) = |x − y|,которое совпадает с расстоянием, введенным согласно формуле (8.1).3ÔÍ-12где x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). В евклидовом пространстве можно ввести евклидовунормуp|x| = (x, x)ÌÃÒÓВспомним, что Rn — это евклидово арифметическое пространство со скалярным произведениемÔÍ-12Множество упорядоченных наборов (x1 , x2 , . . . , xn ) (кортежей) из n действительных чисел x1 , x2 , .

. . , xn есть n-я декартова степень Rn множества R действительных чисел. Такиенаборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, котороетакже принято обозначать через Rn . В этой книге упорядоченные наборы действительных чисел будут активно использоваться, но в несколько ином контексте.

В рамках линейной алгебрыэлементы множества Rn часто называют арифметическими векторами и используют влинейных операциях. Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций,но и оценивать степень их близости, характеризуя ее расстоянием в Rn . В таком контекстеэлементы Rn удобнее называть не векторами, а точками. Это соответствует традиции, согласнокоторой числа, т.е. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементылинейного пространства Rn мы в зависимости от ситуации называем или арифметическими векторами, или точками: первый термин связан с операциями линейного пространства, второй —с топологическими аспектами в Rn .

Как и в случае одного переменного, элементы Rn будемобозначать малыми буквами латинского алфавита: x, y, a, b, . . . От этого соглашения мы внекоторых случаях будем отступать и обозначать точки «в стиле аналитической геометрии»как P , Q, . . . , отражая тем самым связь с точками пространства или плоскости.Для элемента x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn числа x1 , x2 , . . . , xn будем называть координатами точки x в Rn . Это соглашение отражает аналогию с двумерным и трехмерным случаями:элемент (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 можно рассматривать как набор декартовых (аффинных) координатточки в пространстве, если в нем зафиксирована некоторая декартова (аффинная) система координат.

Расстоянием ρ(x, y) между точками x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и y = (y1 , y2 , . . . , yn ) назовемчислоp(8.1)ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМетрика и окрестности в Rn . Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества вRn . Граница множества. Понятие области в Rn . Скалярная функция нескольких переменных(ФНП) как отображение F : Ω → R, Ω ∈ Rn . Линии и поверхности уровня. Предел ФНП.Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).ÔÍ-12ÔÍ-12ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 8ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ4Обозначим через a произвольную точку из Rn , и пусть ε — положительное число.Определение 8.1. Множество U(a, ε) тех точек из Rn , расстояние от которых до точкиa ∈ Rn меньше ε, ε > 0, т.е.

множествоU(a, ε) = {x ∈ Rn : ρ(x, a) < ε} ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯ—проколотой ε-окрестностью точки a.x3x2ÌÃÒÓÌÃÒÓПроколотая ε-окрестность точки a состоит из всех точек ее ε-окрестности, кроме самойточки a.В случае n = 1 ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ R представляет собой интервал (a − ε, a + ε)с серединой в точке a, имеющий длину 2ε (рис. 8.1, а). Если n = 2, то ε-окрестность U(a, ε) точкиa ∈ R2 состоит из точек плоскости, которые лежат внутри окружности радиуса ε с центромв точке a (рис.

8.1, б). Если же n = 3, то ε-окрестность U(a, ε) точки a состоит из точек,которые расположены внутри сферы радиуса ε с центром в точке a (рис. 8.1, в). В общемслучае множество точек x ∈ Rn+1 , для которых ρ(x, a) = ε, называют n-мерной сферойрадиуса ε с центром в точке a, так что можно сказать так: ε-окрестность точки a ∈ Rn — этооткрытый n-мерный шар радиуса ε с центром в точке a, т.е. множество точек, лежащихвнутри (n − 1)-мерной сферы радиуса ε с центром в точке a.aaaаOx1Oбx2x1ÔÍ-12ÔÍ-12◦U(a, ε) = U(a, ε) \ {a} = {x ∈ Rn : 0 < ρ(x, a) < ε}ÌÃÒÓÌÃÒÓназывают ε-окрестностью точки a, а множествовJ Пусть x — произвольная точка из ε1 -окрестности U(a, ε1 ) точки a. Согласно определению8.1, расстояние между точками x и a удовлетворяет неравенству ρ(x, a) < ε1 .

Так как ε1 66 ε2 , то и ρ(x, a) < ε2 . Значит, согласно определению ε2 -окрестности, точка x принадлежитε2 -окрестности U(a, ε2 ) точки a. Итак, доказано, что при ε1 6 ε2 любая точка ε1 -окрестноститочки a принадлежит ε2 -окрестности точки a: U(a, ε1 ) ⊂ U(a, ε2 ). IОпределение 8.2. Точку a множества A ⊂ Rn называют внутренней точкой этого множества, если существует ε-окрестность U(a, ε) точки a, целиком содержащаяся в A:U(a, ε) ⊂ A.

Множество всех внутренних точек A называют внутренностью множестваA и обозначают Int A. Если каждая точка множества A является его внутренней точкой, тосамо множество A называют открытым множеством.На рис. 8.2 множество A на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подразумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству A, а штриховой — нет.

ТочкаP является внутренней точкой множества A, а точки лежащие на сплошной линии, напримерточка C, — нет. Это значит, что множество A не является открытым, так как содержит точки,не являющиеся для A внутренними.ÔÍ-12Замечание 8.1. Пустое множество по определению считают открытым.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 8.1. Для любой точки a ∈ Rn при ε1 6 ε2 ее ε1 -окрестность содержится в ееε2 -окрестности.ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим свойство вложенности ε-окрестностей одной и той же точки.ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 8.1ÌÃÒÓAPCРис.

8.2Пример 8.1. Простейшими открытыми множествами в Rn являются ε-окрестности точек. Действительно, рассмотрим произвольную точку a ∈ Rn и ее ε-окрестность U(a, ε).Если x ∈ U(a, ε), то по определению 8.1 имеем ρ(x, a) < ε. Выберем положительное числоε1 = ε − ρ(x, a). Если точка y принадлежит ε1 -окрестности U(x, ε1 )точки x, то ρ(y, x) < ε1 .

Согласно неравенству треугольника,x1yρ(y, a) 6 ρ(y, x) + ρ(x, a) < ε1 + ρ(x, a) = ε.Значит, точка y принадлежит ε-окрестности U(a, ε) точки a. Поскольку точка y ∈ U(x, ε1 ) может быть выбрана произвольно, заключаем,что U(x, ε1 ) ⊂ U(a, ε).Итак, любая точка x ∈ U(a, ε) имеет ε1 -окрестность U(x, ε1 ), целиком попадающую в U(a, ε). Это означает, что точка x внутренняя дляРис.

8.3множества U(a, ε), которое, следовательно, является открытым (именно поэтому ε-окрестности точек в Rn называют открытыми n-мерными шарами). На рис. 8.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при n = 2.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ5ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÔÍ-12n\Ui .i=1i∈Iгде множества Vi ⊂ Rn , i ∈ I, открытые, а I — некоторое множество индексов. В случае пустого множества V утверждение очевидно, и мы будем считать, что V не пусто. Если точка aÔÍ-12Если множество U пустое, то оно открыто по определению. Для непустого множества Uрассмотрим произвольную точку a ∈ U . Согласно определению пересечения множеств, онапринадлежит каждому из множеств Ui , i = 1, n. Так как эти множества открыты, то по определению 8.2 для каждого множества Ui существует такое число εi > 0, что εi -окрестностьточки a содержится в Ui .

Положим ε = min{ε1 , . . . , εn }. Тогда при всех i = 1, n выполненынеравенства ε 6 εi . Согласно свойству вложенности ε-окрестностей (см. теорему 8.1), имеемU(a, ε) ⊂ U(a, εi ) ⊂ Ui , i = 1, n. Поэтому ε-окрестность U(a, ε) содержится и в пересечении всехмножеств Ui , т.е. в множестве U , а это по определению 8.2 означает, что a — внутренняя точкадля множества U .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее