08 Функции нескольких переменных как отображения (Лекции Линейная алгебра и ФНП)
Описание файла
Файл "08 Функции нескольких переменных как отображения" внутри архива находится в папке "ФНП лекции". PDF-файл из архива "Лекции Линейная алгебра и ФНП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-128.1. Открытые и замкнутые множества(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + . . .
+ xn yn ,и в соответствии с этой нормой расстояниеρ(x, y) = |x − y|,которое совпадает с расстоянием, введенным согласно формуле (8.1).3ÔÍ-12где x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). В евклидовом пространстве можно ввести евклидовунормуp|x| = (x, x)ÌÃÒÓВспомним, что Rn — это евклидово арифметическое пространство со скалярным произведениемÔÍ-12Множество упорядоченных наборов (x1 , x2 , . . . , xn ) (кортежей) из n действительных чисел x1 , x2 , .
. . , xn есть n-я декартова степень Rn множества R действительных чисел. Такиенаборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, котороетакже принято обозначать через Rn . В этой книге упорядоченные наборы действительных чисел будут активно использоваться, но в несколько ином контексте.
В рамках линейной алгебрыэлементы множества Rn часто называют арифметическими векторами и используют влинейных операциях. Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций,но и оценивать степень их близости, характеризуя ее расстоянием в Rn . В таком контекстеэлементы Rn удобнее называть не векторами, а точками. Это соответствует традиции, согласнокоторой числа, т.е. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементылинейного пространства Rn мы в зависимости от ситуации называем или арифметическими векторами, или точками: первый термин связан с операциями линейного пространства, второй —с топологическими аспектами в Rn .
Как и в случае одного переменного, элементы Rn будемобозначать малыми буквами латинского алфавита: x, y, a, b, . . . От этого соглашения мы внекоторых случаях будем отступать и обозначать точки «в стиле аналитической геометрии»как P , Q, . . . , отражая тем самым связь с точками пространства или плоскости.Для элемента x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn числа x1 , x2 , . . . , xn будем называть координатами точки x в Rn . Это соглашение отражает аналогию с двумерным и трехмерным случаями:элемент (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 можно рассматривать как набор декартовых (аффинных) координатточки в пространстве, если в нем зафиксирована некоторая декартова (аффинная) система координат.
Расстоянием ρ(x, y) между точками x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и y = (y1 , y2 , . . . , yn ) назовемчислоp(8.1)ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМетрика и окрестности в Rn . Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества вRn . Граница множества. Понятие области в Rn . Скалярная функция нескольких переменных(ФНП) как отображение F : Ω → R, Ω ∈ Rn . Линии и поверхности уровня. Предел ФНП.Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).ÔÍ-12ÔÍ-12ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 8ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ4Обозначим через a произвольную точку из Rn , и пусть ε — положительное число.Определение 8.1. Множество U(a, ε) тех точек из Rn , расстояние от которых до точкиa ∈ Rn меньше ε, ε > 0, т.е.
множествоU(a, ε) = {x ∈ Rn : ρ(x, a) < ε} ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯ—проколотой ε-окрестностью точки a.x3x2ÌÃÒÓÌÃÒÓПроколотая ε-окрестность точки a состоит из всех точек ее ε-окрестности, кроме самойточки a.В случае n = 1 ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ R представляет собой интервал (a − ε, a + ε)с серединой в точке a, имеющий длину 2ε (рис. 8.1, а). Если n = 2, то ε-окрестность U(a, ε) точкиa ∈ R2 состоит из точек плоскости, которые лежат внутри окружности радиуса ε с центромв точке a (рис.
8.1, б). Если же n = 3, то ε-окрестность U(a, ε) точки a состоит из точек,которые расположены внутри сферы радиуса ε с центром в точке a (рис. 8.1, в). В общемслучае множество точек x ∈ Rn+1 , для которых ρ(x, a) = ε, называют n-мерной сферойрадиуса ε с центром в точке a, так что можно сказать так: ε-окрестность точки a ∈ Rn — этооткрытый n-мерный шар радиуса ε с центром в точке a, т.е. множество точек, лежащихвнутри (n − 1)-мерной сферы радиуса ε с центром в точке a.aaaаOx1Oбx2x1ÔÍ-12ÔÍ-12◦U(a, ε) = U(a, ε) \ {a} = {x ∈ Rn : 0 < ρ(x, a) < ε}ÌÃÒÓÌÃÒÓназывают ε-окрестностью точки a, а множествовJ Пусть x — произвольная точка из ε1 -окрестности U(a, ε1 ) точки a. Согласно определению8.1, расстояние между точками x и a удовлетворяет неравенству ρ(x, a) < ε1 .
Так как ε1 66 ε2 , то и ρ(x, a) < ε2 . Значит, согласно определению ε2 -окрестности, точка x принадлежитε2 -окрестности U(a, ε2 ) точки a. Итак, доказано, что при ε1 6 ε2 любая точка ε1 -окрестноститочки a принадлежит ε2 -окрестности точки a: U(a, ε1 ) ⊂ U(a, ε2 ). IОпределение 8.2. Точку a множества A ⊂ Rn называют внутренней точкой этого множества, если существует ε-окрестность U(a, ε) точки a, целиком содержащаяся в A:U(a, ε) ⊂ A.
Множество всех внутренних точек A называют внутренностью множестваA и обозначают Int A. Если каждая точка множества A является его внутренней точкой, тосамо множество A называют открытым множеством.На рис. 8.2 множество A на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подразумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству A, а штриховой — нет.
ТочкаP является внутренней точкой множества A, а точки лежащие на сплошной линии, напримерточка C, — нет. Это значит, что множество A не является открытым, так как содержит точки,не являющиеся для A внутренними.ÔÍ-12Замечание 8.1. Пустое множество по определению считают открытым.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 8.1. Для любой точки a ∈ Rn при ε1 6 ε2 ее ε1 -окрестность содержится в ееε2 -окрестности.ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим свойство вложенности ε-окрестностей одной и той же точки.ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 8.1ÌÃÒÓAPCРис.
8.2Пример 8.1. Простейшими открытыми множествами в Rn являются ε-окрестности точек. Действительно, рассмотрим произвольную точку a ∈ Rn и ее ε-окрестность U(a, ε).Если x ∈ U(a, ε), то по определению 8.1 имеем ρ(x, a) < ε. Выберем положительное числоε1 = ε − ρ(x, a). Если точка y принадлежит ε1 -окрестности U(x, ε1 )точки x, то ρ(y, x) < ε1 .
Согласно неравенству треугольника,x1yρ(y, a) 6 ρ(y, x) + ρ(x, a) < ε1 + ρ(x, a) = ε.Значит, точка y принадлежит ε-окрестности U(a, ε) точки a. Поскольку точка y ∈ U(x, ε1 ) может быть выбрана произвольно, заключаем,что U(x, ε1 ) ⊂ U(a, ε).Итак, любая точка x ∈ U(a, ε) имеет ε1 -окрестность U(x, ε1 ), целиком попадающую в U(a, ε). Это означает, что точка x внутренняя дляРис.
8.3множества U(a, ε), которое, следовательно, является открытым (именно поэтому ε-окрестности точек в Rn называют открытыми n-мерными шарами). На рис. 8.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при n = 2.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ5ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÔÍ-12n\Ui .i=1i∈Iгде множества Vi ⊂ Rn , i ∈ I, открытые, а I — некоторое множество индексов. В случае пустого множества V утверждение очевидно, и мы будем считать, что V не пусто. Если точка aÔÍ-12Если множество U пустое, то оно открыто по определению. Для непустого множества Uрассмотрим произвольную точку a ∈ U . Согласно определению пересечения множеств, онапринадлежит каждому из множеств Ui , i = 1, n. Так как эти множества открыты, то по определению 8.2 для каждого множества Ui существует такое число εi > 0, что εi -окрестностьточки a содержится в Ui .
Положим ε = min{ε1 , . . . , εn }. Тогда при всех i = 1, n выполненынеравенства ε 6 εi . Согласно свойству вложенности ε-окрестностей (см. теорему 8.1), имеемU(a, ε) ⊂ U(a, εi ) ⊂ Ui , i = 1, n. Поэтому ε-окрестность U(a, ε) содержится и в пересечении всехмножеств Ui , т.е. в множестве U , а это по определению 8.2 означает, что a — внутренняя точкадля множества U .