06 Квадратичные формы и их свойства (Лекции Линейная алгебра и ФНП)
Описание файла
Файл "06 Квадратичные формы и их свойства" внутри архива находится в папке "ФНП лекции". PDF-файл из архива "Лекции Линейная алгебра и ФНП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-126.1. Определение квадратичной формыОпределение 6.1. Однородный многочлен второй степени от n переменных с действительными коэффициентамиnXX(6.1)aij xi xj ,aij ∈ R,aii x2i + 2называют квадратичной формой.Для нас квадратичная форма представляет интерес как способ задания некоторой функции векторного аргумента, определенной в n-мерном линейном пространстве L.
Если в этомпространстве выбрать какой-либо базис, то квадратичную форму (6.1) можно трактовать какфункцию, значение которой определено через координаты x1 , x2 , . . . , xn вектора x. Эту функцию часто отождествляют с квадратичной формой.Квадратичную форму (6.1) можно записать в матричном виде:(6.2)тПример 6.1. Квадратичная форма от трех переменных x21 + 4x1 x3 имеет матрицу1 0 2 0 0 0 .2 0 067ÔÍ-12Так как Rg A = 2 < 3, то эта квадратичная форма является вырожденной. В матричной записиквадратичная форма имеет вид 1 0 2x12x 2 .x1 + 4x1 x3 = (x1 x2 x3 ) 0 0 02 0 0x3ÌÃÒÓгде x = (x1 x2 .
. . xn ) — столбец, составленный из переменных; A = (aij ) — симметрическаяматрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы (6.1).Ранг матрицы A квадратичной формы называют рангом квадратичной формы. Еслиматрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную формуназывают невырожденной, а если Rg A < n, то ее называют вырожденной.ÔÍ-12тx Ax,ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ16i<j6nÔÍ-12ÌÃÒÓКвадратичные формы. Координатная и матричная формы записи.
Преобразование матрицыквадратичной формы при переходе к новому базису. Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра(без док-ва). Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа. Закон инерцииквадратичных форм (без док-ва).ÌÃÒÓÔÍ-12КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫИ ИХ СВОЙСТВАÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 6i=1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓФункция f (x) в новом базисе будет выражаться через новые координаты вектора x следующимобразом:ттт ттxb Axb = (U xe ) A(U xe ) = xe (U AU )xe = xe A0 xe .Итак, функция f в новом базисе также записывается при помощи квадратичной формы,причем матрица A0 этой квадратичной формы связана с матрицей A исходной квадратичнойформы соотношениемт(6.4)A0 = U AU.Преобразование матрицы квадратичной формы вызывается заменой переменных (переходом отпеременных xb к переменным xe ) в соответствии с формулой (6.3).Замечание 6.1.
Замену переменных вида (6.3) с произвольной матрицей U называют линейной. Изменение базиса в линейном пространстве приводит к линейной замене переменныхс невырожденной матрицей.Пример 6.2. Квадратичную формуf (x1 , x2 , x3 ) = 7x21 + 5x22 + 2x23 − 8x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3имеет вид x = U y, где1 12 2 .1 2ÌÃÒÓЭта замена переменных в матричной записи1U =11ÔÍ-12преобразуем к новым переменным y1 , y2 , y3 , где x1 = y1 + y2 + y3 ,x2 = y1 + 2y2 + 2y3 ,x3 = y1 + y2 + 2y3 .Согласно (6.4) имеем 1 1 17 −411 1 12 00т5 −3 1 2 2 = 0 30 ,A0 = U AU = 1 2 1 −41 2 21 −321 1 20 0 −1f (y1 , y2 , y3 ) = 2y12 + 3y22 − y32 ,т.е. все коэффициенты при попарных произведениях переменных обнуляются и остаются слагаемые с квадратами переменных.ÔÍ-12и квадратичная форма принимает видÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ(6.3)ÔÍ-12ÔÍ-12xb = U x e .ÌÃÒÓÌÃÒÓттПусть дана квадратичная форма x Ax, где x = (x1 x2 .
. . xn ) . В n-мерном линейномтпространстве L с фиксированным базисом b она определяет функцию f (x) = xb Axb , заданнуючерез координаты xb вектора x в базисе b. Найдем представление этой же функции в некоторомдругом базисе e. Пусть U — матрица перехода от b к e. Тогда координаты xb вектора x встаром базисе b и координаты xe того же вектора в новом базисе e будут связаны соотношениемÌÃÒÓÔÍ-126.2.
Преобразование квадратичных формÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ68ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓαi ∈ R,(6.5)не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой канонического вида. Переменные x1 , . . . , xn , в которых квадратичная форма имеет каноническийвид, называют каноническими переменными.Один из методов преобразования (или, как говорят, приведения) квадратичной формы кканоническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полныхквадратов. Такой метод называют методом Лагранжа.
Проиллюстрируем этот метод напростом примере.Пример 6.3. Рассмотрим квадратичную форму x21 − 4x1 x2 от двух переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный квадрат по x1 . Для этого соберем всеслагаемые, содержащие x1 , и дополним до полного квадрата:x21 − 4x1 x2 = x21 − 4x1 x2 + 4x22 − 4x22 = (x1 − 2x2 )2 − 4x22 .Введя новые переменные z1 = x1 − 2x2 , z2 = 2x2 , получим квадратичную форму каноническоговида: z12 − z22 . #Как применять метод Лагранжа в общем случае? Рассмотрим квадратичную форму отn переменных общего вида (6.1). Если a11 6= 0, соберем все слагаемые формы, содержащиепеременное x1 , и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат.
В результатеполучим:f (x) =nXi=1aii x2i+2Xaij xi xj =a11 x21+2nXa1j x1 xj +j=216i<j6naii x2i + 2i=22 2α1jxj − 2a11+i=2Xaii x2i + 2aij xi xj =26i<j6nj=2nXXXα1i α1j xi xj +26i<j6nnX20a1α1j xj +f1 (x2 , . . . , xn ),j=1aij xi xj =26i<j6nj=1j=2j=rгде коэффициенты a0j являются ненулевыми, а αjj = 1, j = 1, r.Выполним линейную замену переменныхÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x01 = α11 x1 + . . . + α1n xn ,x02 = α22 x2 + . . .
+ α2n xn ,. . . . . . . . . . . .x0r = αrr xr + . . . + αrn xn ,x0r+1 = xr+1 ,. . . . . . . . . . . .x0n = xn ,ÌÃÒÓгде a01 = a11 , α1j = a1j /a11 , j = 1, n, а f1 — квадратичная форма, не содержащая переменного x1 .С квадратичной формой f1 можно поступить аналогичным образом, выделяя полный квадрат по переменной x2 . Продолжая процесс, мы преобразуем квадратичную форму f (x) к видуnnnX2X2X2000f (x) = a1α1j xj + a2α2j xj + . . . + arαrj xj ,ÔÍ-12= a11 (x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn ) − a11nXnXÌÃÒÓÔÍ-12i = 1, n,ÌÃÒÓÌÃÒÓα1 x21 + . . . + αn x2n ,ÔÍ-12ÔÍ-12Определение 6.2.
Квадратичную формуÌÃÒÓÌÃÒÓ6.3. Квадратичные формыканонического вида2ÌÃÒÓÌÃÒÓ69ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÔÍ-12ÌÃÒÓ6.4. Ортогональные преобразования квадратичных формКак мы установили (см. 6.2), матрица A квадратичной формы при переходе к новомутбазису изменяется по формуле A0 = U AU , где U — матрица перехода. Если рассматривается евклидово пространство, а старый и новый базисы выбраны ортонормированными, томатрица перехода U является ортогональной и мы имеем дело с ортогональным преобратзованием квадратичной формы, т.е.
преобразованием A0 = U AU , в котором матрица Uортогональна.J Пусть A — матрица заданной квадратичной формы. При ортогональном преобразованиитэта матрица изменяется по формуле A0 = U AU , где U — ортогональная матрица. Согластно свойству 5.2, ортогональная матрица U имеет обратную, причем U −1 = U . ПоэтомутA0 = U AU = U −1 AU , и мы видим, что матрицы A0 и A подобны. Согласно теореме 4.2,характеристические уравнения подобных матриц совпадают. IÔÍ-12J Матрица A данной квадратичной формы является симметрической. Но любая симметрическая матрица, согласно следствию 5.4, подобна диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица P , что матрица A0 = P −1 AP является диагональной. Нам надо лишьтубедиться, что в качестве P можно выбрать ортогональную матрицу.
Тогда A0 = P AP идиагональная матрица A0 является матрицей квадратичной формы, полученной из исходнойпри помощи ортогонального преобразования. Диагональный вид A0 равнозначен каноническомувиду квадратичной формы. Чтобы выяснить характер матрицы P , нужно вспомнить теорему5.5, из которой и было выведено упомянутое следствие 5.4.Рассмотрим произвольное n-мерное евклидово пространство E (n — количество переменных в квадратичной форме) и некоторый ортонормированный базис b в этом пространстве.Матрица A является матрицей некоторого самосопряженного оператора A в базисе b. Согласно теореме 5.6, существует такой ортонормированный базис e, что матрица A0 оператораÌÃÒÓТеорема 6.2. Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду.ÔÍ-12Теорема 6.1. При ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12имеющей канонический вид.Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в квадратичной форме нетсоответствующего переменного во второй степени.