Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » 06 Квадратичные формы и их свойства

06 Квадратичные формы и их свойства (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

PDF-файл 06 Квадратичные формы и их свойства (Лекции Линейная алгебра и ФНП) Линейная алгебра и аналитическая геометрия (605): Лекции - 2 семестр06 Квадратичные формы и их свойства (Лекции Линейная алгебра и ФНП) - PDF (605) - СтудИзба2015-05-08СтудИзба

Описание файла

Файл "06 Квадратичные формы и их свойства" внутри архива находится в папке "ФНП лекции". PDF-файл из архива "Лекции Линейная алгебра и ФНП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-126.1. Определение квадратичной формыОпределение 6.1. Однородный многочлен второй степени от n переменных с действительными коэффициентамиnXX(6.1)aij xi xj ,aij ∈ R,aii x2i + 2называют квадратичной формой.Для нас квадратичная форма представляет интерес как способ задания некоторой функции векторного аргумента, определенной в n-мерном линейном пространстве L.

Если в этомпространстве выбрать какой-либо базис, то квадратичную форму (6.1) можно трактовать какфункцию, значение которой определено через координаты x1 , x2 , . . . , xn вектора x. Эту функцию часто отождествляют с квадратичной формой.Квадратичную форму (6.1) можно записать в матричном виде:(6.2)тПример 6.1. Квадратичная форма от трех переменных x21 + 4x1 x3 имеет матрицу1 0 2 0 0 0 .2 0 067ÔÍ-12Так как Rg A = 2 < 3, то эта квадратичная форма является вырожденной. В матричной записиквадратичная форма имеет вид 1 0 2x12x 2 .x1 + 4x1 x3 = (x1 x2 x3 ) 0 0 02 0 0x3ÌÃÒÓгде x = (x1 x2 .

. . xn ) — столбец, составленный из переменных; A = (aij ) — симметрическаяматрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы (6.1).Ранг матрицы A квадратичной формы называют рангом квадратичной формы. Еслиматрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную формуназывают невырожденной, а если Rg A < n, то ее называют вырожденной.ÔÍ-12тx Ax,ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ16i<j6nÔÍ-12ÌÃÒÓКвадратичные формы. Координатная и матричная формы записи.

Преобразование матрицыквадратичной формы при переходе к новому базису. Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра(без док-ва). Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа. Закон инерцииквадратичных форм (без док-ва).ÌÃÒÓÔÍ-12КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫИ ИХ СВОЙСТВАÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 6i=1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓФункция f (x) в новом базисе будет выражаться через новые координаты вектора x следующимобразом:ттт ттxb Axb = (U xe ) A(U xe ) = xe (U AU )xe = xe A0 xe .Итак, функция f в новом базисе также записывается при помощи квадратичной формы,причем матрица A0 этой квадратичной формы связана с матрицей A исходной квадратичнойформы соотношениемт(6.4)A0 = U AU.Преобразование матрицы квадратичной формы вызывается заменой переменных (переходом отпеременных xb к переменным xe ) в соответствии с формулой (6.3).Замечание 6.1.

Замену переменных вида (6.3) с произвольной матрицей U называют линейной. Изменение базиса в линейном пространстве приводит к линейной замене переменныхс невырожденной матрицей.Пример 6.2. Квадратичную формуf (x1 , x2 , x3 ) = 7x21 + 5x22 + 2x23 − 8x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3имеет вид x = U y, где1 12 2 .1 2ÌÃÒÓЭта замена переменных в матричной записи1U =11ÔÍ-12преобразуем к новым переменным y1 , y2 , y3 , где x1 = y1 + y2 + y3 ,x2 = y1 + 2y2 + 2y3 ,x3 = y1 + y2 + 2y3 .Согласно (6.4) имеем 1 1 17 −411 1 12 00т5 −3   1 2 2  =  0 30 ,A0 = U AU =  1 2 1  −41 2 21 −321 1 20 0 −1f (y1 , y2 , y3 ) = 2y12 + 3y22 − y32 ,т.е. все коэффициенты при попарных произведениях переменных обнуляются и остаются слагаемые с квадратами переменных.ÔÍ-12и квадратичная форма принимает видÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ(6.3)ÔÍ-12ÔÍ-12xb = U x e .ÌÃÒÓÌÃÒÓттПусть дана квадратичная форма x Ax, где x = (x1 x2 .

. . xn ) . В n-мерном линейномтпространстве L с фиксированным базисом b она определяет функцию f (x) = xb Axb , заданнуючерез координаты xb вектора x в базисе b. Найдем представление этой же функции в некоторомдругом базисе e. Пусть U — матрица перехода от b к e. Тогда координаты xb вектора x встаром базисе b и координаты xe того же вектора в новом базисе e будут связаны соотношениемÌÃÒÓÔÍ-126.2.

Преобразование квадратичных формÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ68ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓαi ∈ R,(6.5)не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой канонического вида. Переменные x1 , . . . , xn , в которых квадратичная форма имеет каноническийвид, называют каноническими переменными.Один из методов преобразования (или, как говорят, приведения) квадратичной формы кканоническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полныхквадратов. Такой метод называют методом Лагранжа.

Проиллюстрируем этот метод напростом примере.Пример 6.3. Рассмотрим квадратичную форму x21 − 4x1 x2 от двух переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный квадрат по x1 . Для этого соберем всеслагаемые, содержащие x1 , и дополним до полного квадрата:x21 − 4x1 x2 = x21 − 4x1 x2 + 4x22 − 4x22 = (x1 − 2x2 )2 − 4x22 .Введя новые переменные z1 = x1 − 2x2 , z2 = 2x2 , получим квадратичную форму каноническоговида: z12 − z22 . #Как применять метод Лагранжа в общем случае? Рассмотрим квадратичную форму отn переменных общего вида (6.1). Если a11 6= 0, соберем все слагаемые формы, содержащиепеременное x1 , и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат.

В результатеполучим:f (x) =nXi=1aii x2i+2Xaij xi xj =a11 x21+2nXa1j x1 xj +j=216i<j6naii x2i + 2i=22 2α1jxj − 2a11+i=2Xaii x2i + 2aij xi xj =26i<j6nj=2nXXXα1i α1j xi xj +26i<j6nnX20a1α1j xj +f1 (x2 , . . . , xn ),j=1aij xi xj =26i<j6nj=1j=2j=rгде коэффициенты a0j являются ненулевыми, а αjj = 1, j = 1, r.Выполним линейную замену переменныхÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x01 = α11 x1 + . . . + α1n xn ,x02 = α22 x2 + . . .

+ α2n xn ,. . . . . . . . . . . .x0r = αrr xr + . . . + αrn xn ,x0r+1 = xr+1 ,. . . . . . . . . . . .x0n = xn ,ÌÃÒÓгде a01 = a11 , α1j = a1j /a11 , j = 1, n, а f1 — квадратичная форма, не содержащая переменного x1 .С квадратичной формой f1 можно поступить аналогичным образом, выделяя полный квадрат по переменной x2 . Продолжая процесс, мы преобразуем квадратичную форму f (x) к видуnnnX2X2X2000f (x) = a1α1j xj + a2α2j xj + . . . + arαrj xj ,ÔÍ-12= a11 (x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn ) − a11nXnXÌÃÒÓÔÍ-12i = 1, n,ÌÃÒÓÌÃÒÓα1 x21 + . . . + αn x2n ,ÔÍ-12ÔÍ-12Определение 6.2.

Квадратичную формуÌÃÒÓÌÃÒÓ6.3. Квадратичные формыканонического вида2ÌÃÒÓÌÃÒÓ69ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÔÍ-12ÌÃÒÓ6.4. Ортогональные преобразования квадратичных формКак мы установили (см. 6.2), матрица A квадратичной формы при переходе к новомутбазису изменяется по формуле A0 = U AU , где U — матрица перехода. Если рассматривается евклидово пространство, а старый и новый базисы выбраны ортонормированными, томатрица перехода U является ортогональной и мы имеем дело с ортогональным преобратзованием квадратичной формы, т.е.

преобразованием A0 = U AU , в котором матрица Uортогональна.J Пусть A — матрица заданной квадратичной формы. При ортогональном преобразованиитэта матрица изменяется по формуле A0 = U AU , где U — ортогональная матрица. Согластно свойству 5.2, ортогональная матрица U имеет обратную, причем U −1 = U . ПоэтомутA0 = U AU = U −1 AU , и мы видим, что матрицы A0 и A подобны. Согласно теореме 4.2,характеристические уравнения подобных матриц совпадают. IÔÍ-12J Матрица A данной квадратичной формы является симметрической. Но любая симметрическая матрица, согласно следствию 5.4, подобна диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица P , что матрица A0 = P −1 AP является диагональной. Нам надо лишьтубедиться, что в качестве P можно выбрать ортогональную матрицу.

Тогда A0 = P AP идиагональная матрица A0 является матрицей квадратичной формы, полученной из исходнойпри помощи ортогонального преобразования. Диагональный вид A0 равнозначен каноническомувиду квадратичной формы. Чтобы выяснить характер матрицы P , нужно вспомнить теорему5.5, из которой и было выведено упомянутое следствие 5.4.Рассмотрим произвольное n-мерное евклидово пространство E (n — количество переменных в квадратичной форме) и некоторый ортонормированный базис b в этом пространстве.Матрица A является матрицей некоторого самосопряженного оператора A в базисе b. Согласно теореме 5.6, существует такой ортонормированный базис e, что матрица A0 оператораÌÃÒÓТеорема 6.2. Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду.ÔÍ-12Теорема 6.1. При ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12имеющей канонический вид.Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в квадратичной форме нетсоответствующего переменного во второй степени.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее