Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » 05 Линейные операторы в евклидовых пространствах

05 Линейные операторы в евклидовых пространствах (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

PDF-файл 05 Линейные операторы в евклидовых пространствах (Лекции Линейная алгебра и ФНП) Линейная алгебра и аналитическая геометрия (604): Лекции - 2 семестр05 Линейные операторы в евклидовых пространствах (Лекции Линейная алгебра и ФНП) - PDF (604) - СтудИзба2015-05-08СтудИзба

Описание файла

Файл "05 Линейные операторы в евклидовых пространствах" внутри архива находится в папке "ФНП лекции". PDF-файл из архива "Лекции Линейная алгебра и ФНП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 5ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе.

Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраическихи геометрических кратностей (без док-ва). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существованиеортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора (док-во дляслучая различных собственных значений). Ортогональные преобразования, ортогональныематрицы и их свойства.

Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ5.1. Сопряженный операторДанное определение сформулировано так, что оставляет открытыми два вопроса. Во-первых, не ясно, каждый ли линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, имеетсопряженный. Во-вторых, из определения нельзя понять, однозначно или нет определяется сопряженный оператор. Прежде чем формулировать теорему, отвечающую на оба эти вопроса,докажем одно вспомогательное утверждение.Лемма.

Если квадратные матрицы M и N порядка n таковы, что для любых векторттстолбцов x, y ∈ Rn выполняется соотношение x M y = x N y, то M = N .J Пусть mij , nij — элементы матриц M и N соответственно, стоящие в i-й строке и j-м столбце.Для произвольной пары индексов i и j выберем такие вектор-столбцы x и y:  0.0 ...

 ..   00  i-я x =  1 ← строка ,y =  1 ← j-я,0 0  строка.. ..  .. 00Теорема 5.1. Любому линейному оператору A: E → E соответствует единственный сопряженный оператор A∗ , причем его матрицей в любом ортонормированном базисе e являетсятматрица A , транспонированная матрице A линейного оператора A в том же базисе e.ÔÍ-1256ÔÍ-12в которых присутствует только один ненулевой элемент, равный единице и стоящий на указанттном месте. Записав равенство x M y = x N y с выбранными столбцами x и y и вычислив обестороны равенства, получаем mij = nij .Так как пара индексов может быть выбрана произвольно, заключаем, что M = N .

IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(5.1)ÌÃÒÓÌÃÒÓ(Ax, y) = (x, A∗ y) .ÔÍ-12ÔÍ-12Определение 5.1. Линейный оператор A∗ : E → E называют сопряженным к линейномуоператору A: E → E, если для любых векторов x, y ∈ E верно равенствоÌÃÒÓÌÃÒÓПусть E — евклидово пространство.ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Доказательство теоремы основано на том, что фиксированный базис евклидова пространстваE позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами изL(E, E) и матрицами из Mn (R), n = dim E. Это соответствие заключается в сопоставлениилинейному оператору его матрицы в фиксированном базисе.тДокажем, что линейный оператор B с матрицей B = A в базисе e является сопряженнымк линейному оператору A.

Для этого достаточно проверить выполнение равенства(Ax, y) = (x, By)(5.2)для любой пары векторов x, y ∈ E.Пусть x, y — столбцы координат векторов x, y в базисе e. Тогда, согласно теореме 3.3,твектор Ax имеет столбец координат Ax, а левая часть равенства (5.2) равна (Ax) y, что следуетиз ортонормированности базиса (cм.

2.7). Аналогично правая часть этого равенства имеет видтx (By). Следовательно, равенство (5.2) в координатной записи имеет видÌÃÒÓ(5.4)ÔÍ-12которое при B = A превращается в тождество.Если некоторый линейный оператор B является сопряженным к линейному оператору A,то для любых векторов x и y выполняется равенство (5.2). Значит, для матриц A и B этихоператоров равенство (5.4) выполняется для любых столбцов x и y. Согласно доказанной лемме,тB = A . Поэтому линейный оператор B определен однозначно, так как однозначно определенаего матрица. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ57ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХтт(Ax) y = x (By).тТак как (Ax)равенству(5.3)т т= x A в силу свойств матричных операций, равенство (5.3) эквивалентнот ттx A y = x By,ÌÃÒÓтОператор, сопряженный к оператору A, можно определить, опираясь на свойства скалярного,векторного и смешанного произведений:(Ax, y) = (a×x, y) = axy = yax = (y×a, x) = (x, y×a) = (x, −a×y) = (x, −Ay) .Из приведенных соотношений видно, что A∗ = −A.∞Пример 5.2.

Множество C 0 [a, b] бесконечно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, у которых в точках a и b производные любого порядка равны нулю, является линейнымпространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции надействительное число, а формула(f, g) =f (t)g(t) dt0задает в этом линейном пространстве скалярное произведение (см. пример 2.10). Отображение∞Af = f 0 , которое каждой функции f ∈ C 0 [a, b] ставит в соответствие ее производную, являетсяÔÍ-12Z1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓAx = a×x.ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 5.1. Вектор a ∈ V3 порождает линейный оператор A: V3 → V3 согласно формулеÔÍ-12ÔÍ-12В некоторых случаях линейный оператор, сопряженный к данному линейному оператору,можно найти, не вычисляя матрицы этого оператора.ÌÃÒÓлинейным оператором. Оператором, сопряженным к A, будет −A, поскольку, согласно правилуинтегрирования по частям,Z1(Af, g) =1 Z1f 0 (t)g(t) dt = f (t)g(t) − f (t)g 0 (t) dt =000Z1Z1f (t)g (t) dt =0f (t) −g 0 (t) dt = (f, −Ag).05.2.

Самосопряженные операторыи их матрицыОпределение 5.2. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве,называют самосопряженным, если A∗ = A.Это определение можно сформулировать по-другому. Линейный оператор самосопряженный,если для любых векторов x и y верно равенство(Ax, y) = (x, Ay) .Пример 5.3. Самосопряженными являются простейшие линейные операторы: нулевой Θи тождественный I, так как для любых векторов x и y(Ix, y) = (x, y) = (x, Iy) ,ÌÃÒÓДействительно, если указанное соотношение выполняется, то, согласно определению 5.1, линейный оператор A является сопряженным оператором к самому себе, т.е.

A∗ = A.ÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓ=−ÌÃÒÓÌÃÒÓ58ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХПример 5.4. Рассмотрим линейное пространство V3 с обычным скалярным произведением свободных векторов (x, y). Отображение A: V3 → V3 ортогонального проектированиявекторов из V3 на направление вектора a единичной длины, которое определяется формулойAx = (x, a) a, является линейным оператором, так какA(µx + νy) = (µx + νy, a) a = µ (x, a) a + ν (y, a) a = µ(Ax) + ν(Ay).ÔÍ-12ÔÍ-12(Θx, y) = (0, y) = 0 = (x, 0) = (x, Θy) .Приведенные рассуждения не используют специфику пространства V3 и могут быть проведены в произвольном евклидовом пространстве.

Любой единичный вектор a евклидова пространства E порождает линейный оператор P a ортогонального проектирования на линейноеподпространство H = span {a} согласно формуле P a x = (x, a) a, и этот оператор являетсясамосопряженным.Теорема 5.2. Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисеявляется симметрической.

Наоборот, если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе является симметрической, то этот оператор — самосопряженный.J Согласно определению 5.2, A — самосопряженный оператор, если A = A∗ , т.е. если линейный оператор равен своему сопряженному оператору. Это эквивалентно тому, что матрицаÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(Ax, y) = ((x, a)a, y) = (x, a) · (a, y) = (x, (a, y)a) = (x, (y, a)a) = (x, Ay) .ÌÃÒÓÌÃÒÓУбедимся, что этот оператор является самосопряженным:ÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 5.3.

Симметрическая матрица порядка n имеет n собственных значений, есликаждое из них считать столько раз, какова его кратность.Теорема 5.4. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.(Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ) = (x1 , λ2 x2 ) = λ2 (x1 , x2 ).(5.6)Приравнивая правые части соотношений (5.5) и (5.6), получаемλ1 (x1 , x2 ) = λ2 (x1 , x2 ),или(λ1 − λ2 )(x1 , x2 ) = 0.(5.7)Так как λ1 6= λ2 , из равенства (5.7) следует, что (x1 , x2 ) = 0, что и означает ортогональностьвекторов x1 и x2 .

IТеорема 5.5. Если собственные значения λ1 , . . . , λn самосопряженного оператора A, действующего в n-мерном евклидовом пространстве E, попарно различны, то в E существуетортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора A имеет диагональный вид, причем диагональными элементами такой матрицы являются собственные значенияλ1 , . . . , λn .ÔÍ-12J Поскольку собственные значения λ1 , .

. . , λn попарно различны, то, выбрав для каждого λiсоответствующий ему собственный вектор ei , получим систему e ненулевых векторов, которыепо теореме 5.4 попарно ортогональны. Поэтому e — ортогональная система векторов. Согласно теореме 4.5, она линейно независима и является базисом, так как содержит n векторов(см. теорему 1.4). Этот базис является ортогональным, а чтобы его превратить в ортонормированный, достаточно каждый вектор ei нормировать делением на его длину.Таким образом, в условиях теоремы существует базис из собственных векторов самосопряженного оператора A. По теореме 4.6 матрица линейного оператора в базисе из собственныхÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Но так как A является самосопряженным оператором, то (Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ).

Значит,ÌÃÒÓÌÃÒÓ(5.5)ÔÍ-12ÔÍ-12(Ax1 , x2 ) = (λ1 x1 , x2 ) = λ1 (x1 , x2 ).ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Рассмотрим самосопряженный оператор A и два его собственных вектора x1 и x2 , отвечающие различным собственным значениям λ1 и λ2 . Тогда Ax1 = λ1 x1 и Ax2 = λ2 x2 . ПоэтомуÔÍ-125.3. Собственные векторысамосопряженного оператораСледствие 5.1. Если матрица A является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения det(A − λE) = 0 действительные.ÌÃÒÓСледствие 5.2. Самосопряженный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве, имеет n собственных значений, если каждое из них считать столько раз, каковаего кратность.Теорема 5.3. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны.ÔÍ-12линейного оператора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонированной (онаявляется матрицей сопряженного оператора).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее