1175262 (Решённый вариант 8 (из Чудесенко))

PDF-файл 1175262 (Решённый вариант 8 (из Чудесенко)) Математический анализ (593): Решённая задача - в нескольких семестрах1175262 (Решённый вариант 8 (из Чудесенко)) - PDF (593) - СтудИзба2013-09-09СтудИзба

Описание файла

Файл "1175262" внутри архива находится в папке "Chudesenko_8_var". PDF-файл из архива "Решённый вариант 8 (из Чудесенко)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "чудесенко (высшая математика)" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Ч _ 2 _16 _ 08n m83опыт состоит из последовательного брасания монеты (n + m) раз.Очевидно, что1) каждое бросание монеты событие независемое2)вероятность выпадения герба или цифры при каждом бросании 1/ 2интересующие нас событие состоится, если осуществятся одновременнодва взаимно независемых события :А = {при первых ( n + m − 1) бросках герб выпадет ровно (n − 1) раз}B = {при последнем броске выпадает герб}Очевидно, что по биномиальному распределениюn −1m101111P( A) = C⋅   ⋅   = C107 ⋅   , а P( B ) =2222т.к.

события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −1 1  1 10!  1 Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅   ⋅ =⋅   = 5.85% 2  2 7!⋅ 3!  2 1071011Ч _ 2 _18 _ 08n n115 1n22p1p20.13 0.17n3 = n − n1 − n2 = 12p3 = 1 − p1 − p2 = 0.7A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша. Причем эти события попарно несовместны.

Тогда P( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!15!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.131 ⋅ 0.17 2 ⋅ 0.712 = 7.09%n1!⋅ n2!⋅ n3!1!⋅ 2!⋅ 12!Ч _ 2 _ 20 _ 08np k1 k2100 0.6 40 50т.к. n достаточно велико, воспользуемся приближенной формулой , основанной наинтегральной теореме Муавра − Лапласа. x = x( k1 ) = −4.08k − npk − np=⇒ 1npqn ⋅ p ⋅ (1 − p ) x2 = x( k2 ) = −2.04Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )x=Pn ( k1 ; k2 ) = −0.479 + 0.499 = 2.05%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа ( таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114)Ч_2_21_8Дана плотность распределения вероятностей p ( x) . Найти: γ , математическоеОжидание M ξ дисперсию D ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2 .1)2)x1 = −11/(γ + 1.5), x ∈ [−1.5; 2.5]p ( x) = .x2 = 0, x ∈ [−1.5; 2.5] 02.5112.5 + 1.52.5∫−1.5 γ + 1.5 dx = 1 ⇒ γ + 1.5 x −1.5 = 1 ⇒ γ + 1.5 = 1 ⇒ γ = 2.5 .Mξ =+∞∫2.5xp ( x)dx =−∞3)∫−1.5xdx1 x2= ⋅2.5 + 1.5 4 2Dξ = M ξ − ( M ξ ) =222.5∫−1.52.5=−1.51⋅ (6.25 − 2.25) = 0.5 .8x1 x3dx − 0.52 = ⋅2.5 + 1.54 32.52− 0.25 =−1.51⋅ (15.625 + 3.375) − 0.25 =1219 1 4=− =12 4 3x4)Функция распределения F ( x) равна: F ( x) =приx ≤ -1.5F ( x) = 0-1.5 < x ≤ 2.5 F ( x) =приx > 2.5 F ( x) = 1 .∫−1.55)поэтому.xпри∫ p( x)dx ,−∞11dx = x2.5 + 1.54x−1.51= ( x + 1.5 ) .411P ( - 1 < ξ < 0 ) = F (0) − F (−1) = (0 + 1) = , т.к.

числа x1 , x2 принадлежат44интервалу ( -1.5; 2.5].Найти число γ , математическое ожидание M ζ , дисперсию Dζ ,функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1 < ζ < x2 .214a = −3 , b = −4 , c = 2 , x1 = ,x2 = , p ( x) = γ e − 3 x − 4 x + 233Ч_2_22_ 8+∞1) Число γ находим из условия∫ γe− 3 x2 − 4 x + 2dx = 1 .(1)−∞Используем формулу+∞∫ γeПолучаем:− 3 x2 − 4 x + 2dx = γ+∞6+∞∫−∞=+∞x⋅1+∞∫x2⋅−∞+∞26246(t + )2 e − 3 t dt −=∫392π −∞2π используем результаты вычис − ления интегралов из пункта 262π+∞∫e210− 3 ( x + )2 +33e− 3 ( x−+∞γ e10 / 3 2π ⋅t = x−22(2)dx =2 2)323=2)= .36.2π+∞( ∫ te − t ⋅−∞+∞244t e − 3 t dt +∫3 −∞92−∞22πe− 3 ( x+2 2)3.=. Тогда dt = dx66e −10 / 3 . Тогда p ( x) =2 2dx − () = 3( ∫ (t 2 e − 3 t dt +=612πДелаем замену переменной66 − 3 ( x − 23 )2edx = 2π3) Dζ = M ζ − ( M ζ ) ==dx = γ=1⇒ γ =( ∫ te − 3 t dt +2dx = 1−∞+∞2 согласно2e− 3 t dt ) = ∫(2)3 −∞2π −∞2261121( − lim e − 3 t + lim e − 3 t + ⋅ 2π ⋅x→+∞x→−∞6632π66=2σ 22 2+∞ = γ e10 / 3 e − 3 ( x + 3 ) dx =∫−∞1Mζ =( x − a )2−∞− 3 x2 − 4 x + 2∫eСогласно (1) получаем γ e10 / 3 2π ⋅2)−−∞используем (1)при σ =∫e2π ⋅ σ−∞=+∞1+∞d ( − 3t 2 ) 2+ ∫e− 6t3 −∞−2(t216)2dt ) =делаем замену переменнойt = x−+∞∫2Тогда dt = dx3e − 3 t dt ) −2−∞=4=9+∞24414( ∫ t 2 e− 3 t dt − ⋅ 0 + ⋅ 2π ⋅) − .

Используем392π −∞6 9222d ( − 3t 2 )1− 3 t2метод интегрирования по частям: u = t , du = dt , dv = tedt , v = ∫ te− 3 t dt = ∫ te − 3 t ⋅= − e− 3 t .− 6t66Dζ =2π(−6=+∞222111414lim te − 3 t + lim te − 3 t + ∫ e− 3 t dt +2π ⋅)− =6 x →+∞6 x →−∞6996−∞611414 1( ⋅ 2π ⋅+ ⋅ 2π ⋅)− =.9 62π 66 96x2114) Функция Лапласа есть Φ ( x) =e − t / 2 dt .

Получаем: P(∫32π 0=4/3=∫1/ 362πe− 3 ( x+2 2)3dx = t = ( x +21)⋅ 6 =32π2 6∫e− t2/2<ζ <dt = Φ( 2 6 ) − Φ( 6 ) = 0.5 − 04927 = 0.00736При этом значение Ф( 2 6 ), Ф( 6 ) нашли по таблице.x5) Функция распределения F ( x ) равна: F ( x) =∫−∞4/34) = ∫ p ( x)dx =31/ 3xp ( x)dx =∫−∞6 − 3 ( x + 23 )2edx .2πξ . Найти плотностьДана плотность распределения pξ ( x) случайной величиныЧ_2_25_08pη ( y ) , математическое ожидание M η и дисперсию Dη случайной величины η ,распределениякоторая представляет собой площадь круга радиуса ξ .x ∈ [ a; b] 1/(b − a) 0.5;pξ ( x) = ,a = 2, b = 4, pξ ( x) = ,0x ∈ [ a; b ] 0x ∈ [ 2; 4]x ∈ [ 2.

4].Решение. 1. Площадь круга радиуса ξ равна: η = πξ 2 , причем ξ ≥ 0 . Значит, функция ηявляется монотонно возрастающей. Поэтому справедлива формулаpη ( y ) = pξ [ψ ( y )] ⋅ ψ '( y ) ,где ψ ( y ) - функция, обратная функции y = ϕ ( x) . У нас y = π x = ϕ ( x) ⇒2x=y / π = ψ ( y ) . Находим производную: ψ '( y ) = 1/(2 π y ) .pη ( y ) = pξ [ y / π ] ⋅1/(2 π y ) = 1/(4 π y ) .1 /(4 π y ),pη ( y ) = , 02. Согласно формуле M η =+∞3.Dη =∫ [ϕ ( x) − M η ]2−∞=πy ∈ [4π ; 16 π ]y ∈ [4π ; 16π ]424pξ ( x) dx = ∫ (π x 2 −2y ∈ [4π ; 16π ] ..2∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = Mη = ∫ π x ⋅ 0.5dx =−∞+∞28π 2π) ⋅ 0.5dx =322π x32 34∫ (x244⋅−=228π.356 2 784) dx =x +39π 992 3136 1568 544π 2x 56 x 784−+x) 2 =(−+)== 119.3125 .2 5992 5994525(342при x ≥ 0Подставляя в (1), получаем:2 ≤ x ≤ 4, тоТ.к.(1)В итогеЧ_2_27_08Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей pξ ( x ) .

Найтиплотность распределения вероятностей pη ( y ) случайной величины η = ϕ (ξ ) .x ∈ (− 1 ,pξ ( x) =  π 0 ,x ∈ (−π π2;2)η =ξ2.π π; )2 2Решение. Функция y = ϕ ( x) = x 2 монотонна на интервале ( −∞; 0) и монотонна наинтервале (0; + ∞) .Поэтому воспользуемся формулойpη ( y ) = pξ (Ψ1 ( y )) ⋅ Ψ1 '( y ) + pξ (Ψ 2 ( y )) ⋅ Ψ 2 '( y ) ,(1)где x = Ψ1 ( y ) - функция, обратная функции y = x 2 , x ∈ (−∞; 0) , а x = Ψ 2 ( y ) для y = x 2 , x ∈ (0, + ∞) . Находим Ψ1 ( y ) и Ψ 2 ( y ) :обратная функцияприx<0y = x 2 ⇒ x = − y = Ψ1 ( y ) ;приx≥0y = x2 ⇒ x =1Ψ '1 ( y ) = −а)2 y;Ψ '2 ( y ) =при y < 0 pη ( y ) = 0 ,y = Ψ 2 ( y) ;12 y0< y<, при этомт.к. pη ( y ) = Fη '( y ) , аπ24Получаем в итоге :.Fη ( y ) = ∑∫pξ ( x) dx, где ∆ k ( y ) -k ∆k ( y )интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .У нас ϕ ( x) = x 2 ≤ 0 , поэтому при y < 0 неравенствоне выполняется.

Значит, Fη ( y ) = 0 , pη ( y ) = 0 .b) при y ∈ (0,с)π24) по формуле (1) pη ( y ) =−1111.+ ⋅=π 2 y π 2 y π y1⋅π2pη ( y ) = 0 , т.к. неравенство ϕ ( x) < y4Fη ( y ) = 1 и pη ( y ) = 0 .при y ≥Приy=0x2 < yпроизводные Ψ '1 ( y ) , Ψ '2 ( y )невыполняется всегда. Значит,существуют..Плотность распределения случайной величины η равна: 1,pξ ( x) =  π y 0 ,y ∈ (0;y ∈ (0;π24π24),).Ч_2_28_08По заданной плотности распределения p1 ( x) случайной величины ξ1 определитьфункцию распределения случайной величины ξ 2 = ϕ (ξ1 ) .Функция ξ 2 = ϕ (ξ1 ) заданаграфически.Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найтивыражение для плотности распределения p2 ( y ) случайной величины ξ 2 .21 − x2p1 ( x ) =e .2πРешение.Функция распределения F2 ( y ) случайной величины ξ 2 выражается через плотностьраспределения p1 ( x) случайной величины аргумента ξ1 :F2 ( y ) = ∑k∫∆k ( y )p1 ( x) dx(1)где ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .

Суммирование вформуле (1) распространяется на все интервалы. 3 , ξ1 < 3Из условий примера следует, что ξ 2 =  − ξ1 , ξ1 ∈ [ − 3; 3] . − 3 , ξ1 > 3Величина ξ 2 , очевидно, принимает значения только из отрезка [− 3; 3]a) y ≤ − 3 . Неравенство ϕ ( x) < y не выполняется. Поэтому F2 ( y ) = 0 .b) y = − 3 . Тогда(+∞+∞) ∫ p ( x ) dx = ∫P (ξ 2 = − 3) = P ξ1 > 3 =ξ33−∫01e2πx2−2dx = 0.5 − Φгде Φ ( x ) =12πx∫e−x22321 − x2e dx =2π+∞∫021 − x2e dx −2π( 3 ) = 0.5 − Φ (1.73) = 0.5 − 0.4582 = 0.0418dx , Φ ( x ) есть функция Лапласа, значения которой находят по0таблице,причем, Φ ( +∞ ) = 0.5 , Φ ( − x ) = −Φ ( x )с) − 3 < y ≤ 3 .

Тогда() () ∫ p ( x ) dx + 0.04183F2 ( y ) = P (ξ 2 < y ) = P − y < ξ1 ≤ 3 + P ξ1 = − 3 =3=∫−y21 − x2e dx + 0.0418 = Φ2π1=−y( 3 ) − Φ ( − y ) + 0.0418 == 0.4582 + Φ ( y ) + 0.0418 = Φ ( y ) + 0.5d) y = 3 . Тогда() (− 3) ∫P ξ 2 = 3 = P ξ1 < − 3 =−∞2()1 − x2e dx = Φ − 3 − Φ ( −∞ ) = −Φ2π( 3) + Φ (∞) == 0.5 − 0.4582 = 0.0418 = p2е) y > 3 . Тогда Fη ( y ) = 1 , т.к. неравенство ϕ ( x ) < y выполняется всегда .0 , y ≤ − 3Таким образом F2 ( y ) = Φ ( y ) + 0.5, − 3 < y ≤ 31, y > 3График функции приведен на следующем рисункеЗапишем F2 ( y ) в виде:nF2 ( y ) = F%2 ( y ) + ∑ pk ⋅ η ( y − yk )(2)k =1где F%2 ( y ) - непрерывная функция, yk - точки разрыва функции F2 ( y ) , pk - скачки 1,функции в точках yk .

При этом η ( y ) =  0,y>0y≤0(, η ' ( y ) = δ ( y ) − дельта - функция)(Формула (2) имеет вид : F2 ( y ) = F%2 ( y ) + 0.0418 ⋅η y + 3 + 0.0418 ⋅η y − 3)0 , y ≤ − 3 ,Где непрерывная часть есть F%2 ( y ) = Φ ( y ) + 0.4582 , − 3 < y ≤ 3 .0.9164 , y > 3nОтсюда по формуле p2 ( y ) = p% 2 ( y ) + ∑ pk ⋅ δ ( y − yk )(3)k =1где p% 2 ( y ) = F% '2 ( y ) ,Находим плотность распределения: 1 −ye 2 , y ∈ [− 3; 3]=  2π−0 , y ∈[− 3; 3]2Гдеp2 ( y )p2 ( y ) =∼p2 ( y ) + 0.0418 ⋅ δ ( y +)()3 + 0.0418 ⋅ δ y − 3 ,.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее