1175262 (Решённый вариант 8 (из Чудесенко))
Описание файла
Файл "1175262" внутри архива находится в папке "Chudesenko_8_var". PDF-файл из архива "Решённый вариант 8 (из Чудесенко)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "чудесенко (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Ч _ 2 _16 _ 08n m83опыт состоит из последовательного брасания монеты (n + m) раз.Очевидно, что1) каждое бросание монеты событие независемое2)вероятность выпадения герба или цифры при каждом бросании 1/ 2интересующие нас событие состоится, если осуществятся одновременнодва взаимно независемых события :А = {при первых ( n + m − 1) бросках герб выпадет ровно (n − 1) раз}B = {при последнем броске выпадает герб}Очевидно, что по биномиальному распределениюn −1m101111P( A) = C⋅ ⋅ = C107 ⋅ , а P( B ) =2222т.к.
события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −1 1 1 10! 1 Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅ ⋅ =⋅ = 5.85% 2 2 7!⋅ 3! 2 1071011Ч _ 2 _18 _ 08n n115 1n22p1p20.13 0.17n3 = n − n1 − n2 = 12p3 = 1 − p1 − p2 = 0.7A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша. Причем эти события попарно несовместны.
Тогда P( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!15!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.131 ⋅ 0.17 2 ⋅ 0.712 = 7.09%n1!⋅ n2!⋅ n3!1!⋅ 2!⋅ 12!Ч _ 2 _ 20 _ 08np k1 k2100 0.6 40 50т.к. n достаточно велико, воспользуемся приближенной формулой , основанной наинтегральной теореме Муавра − Лапласа. x = x( k1 ) = −4.08k − npk − np=⇒ 1npqn ⋅ p ⋅ (1 − p ) x2 = x( k2 ) = −2.04Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )x=Pn ( k1 ; k2 ) = −0.479 + 0.499 = 2.05%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа ( таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114)Ч_2_21_8Дана плотность распределения вероятностей p ( x) . Найти: γ , математическоеОжидание M ξ дисперсию D ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2 .1)2)x1 = −11/(γ + 1.5), x ∈ [−1.5; 2.5]p ( x) = .x2 = 0, x ∈ [−1.5; 2.5] 02.5112.5 + 1.52.5∫−1.5 γ + 1.5 dx = 1 ⇒ γ + 1.5 x −1.5 = 1 ⇒ γ + 1.5 = 1 ⇒ γ = 2.5 .Mξ =+∞∫2.5xp ( x)dx =−∞3)∫−1.5xdx1 x2= ⋅2.5 + 1.5 4 2Dξ = M ξ − ( M ξ ) =222.5∫−1.52.5=−1.51⋅ (6.25 − 2.25) = 0.5 .8x1 x3dx − 0.52 = ⋅2.5 + 1.54 32.52− 0.25 =−1.51⋅ (15.625 + 3.375) − 0.25 =1219 1 4=− =12 4 3x4)Функция распределения F ( x) равна: F ( x) =приx ≤ -1.5F ( x) = 0-1.5 < x ≤ 2.5 F ( x) =приx > 2.5 F ( x) = 1 .∫−1.55)поэтому.xпри∫ p( x)dx ,−∞11dx = x2.5 + 1.54x−1.51= ( x + 1.5 ) .411P ( - 1 < ξ < 0 ) = F (0) − F (−1) = (0 + 1) = , т.к.
числа x1 , x2 принадлежат44интервалу ( -1.5; 2.5].Найти число γ , математическое ожидание M ζ , дисперсию Dζ ,функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1 < ζ < x2 .214a = −3 , b = −4 , c = 2 , x1 = ,x2 = , p ( x) = γ e − 3 x − 4 x + 233Ч_2_22_ 8+∞1) Число γ находим из условия∫ γe− 3 x2 − 4 x + 2dx = 1 .(1)−∞Используем формулу+∞∫ γeПолучаем:− 3 x2 − 4 x + 2dx = γ+∞6+∞∫−∞=+∞x⋅1+∞∫x2⋅−∞+∞26246(t + )2 e − 3 t dt −=∫392π −∞2π используем результаты вычис − ления интегралов из пункта 262π+∞∫e210− 3 ( x + )2 +33e− 3 ( x−+∞γ e10 / 3 2π ⋅t = x−22(2)dx =2 2)323=2)= .36.2π+∞( ∫ te − t ⋅−∞+∞244t e − 3 t dt +∫3 −∞92−∞22πe− 3 ( x+2 2)3.=. Тогда dt = dx66e −10 / 3 . Тогда p ( x) =2 2dx − () = 3( ∫ (t 2 e − 3 t dt +=612πДелаем замену переменной66 − 3 ( x − 23 )2edx = 2π3) Dζ = M ζ − ( M ζ ) ==dx = γ=1⇒ γ =( ∫ te − 3 t dt +2dx = 1−∞+∞2 согласно2e− 3 t dt ) = ∫(2)3 −∞2π −∞2261121( − lim e − 3 t + lim e − 3 t + ⋅ 2π ⋅x→+∞x→−∞6632π66=2σ 22 2+∞ = γ e10 / 3 e − 3 ( x + 3 ) dx =∫−∞1Mζ =( x − a )2−∞− 3 x2 − 4 x + 2∫eСогласно (1) получаем γ e10 / 3 2π ⋅2)−−∞используем (1)при σ =∫e2π ⋅ σ−∞=+∞1+∞d ( − 3t 2 ) 2+ ∫e− 6t3 −∞−2(t216)2dt ) =делаем замену переменнойt = x−+∞∫2Тогда dt = dx3e − 3 t dt ) −2−∞=4=9+∞24414( ∫ t 2 e− 3 t dt − ⋅ 0 + ⋅ 2π ⋅) − .
Используем392π −∞6 9222d ( − 3t 2 )1− 3 t2метод интегрирования по частям: u = t , du = dt , dv = tedt , v = ∫ te− 3 t dt = ∫ te − 3 t ⋅= − e− 3 t .− 6t66Dζ =2π(−6=+∞222111414lim te − 3 t + lim te − 3 t + ∫ e− 3 t dt +2π ⋅)− =6 x →+∞6 x →−∞6996−∞611414 1( ⋅ 2π ⋅+ ⋅ 2π ⋅)− =.9 62π 66 96x2114) Функция Лапласа есть Φ ( x) =e − t / 2 dt .
Получаем: P(∫32π 0=4/3=∫1/ 362πe− 3 ( x+2 2)3dx = t = ( x +21)⋅ 6 =32π2 6∫e− t2/2<ζ <dt = Φ( 2 6 ) − Φ( 6 ) = 0.5 − 04927 = 0.00736При этом значение Ф( 2 6 ), Ф( 6 ) нашли по таблице.x5) Функция распределения F ( x ) равна: F ( x) =∫−∞4/34) = ∫ p ( x)dx =31/ 3xp ( x)dx =∫−∞6 − 3 ( x + 23 )2edx .2πξ . Найти плотностьДана плотность распределения pξ ( x) случайной величиныЧ_2_25_08pη ( y ) , математическое ожидание M η и дисперсию Dη случайной величины η ,распределениякоторая представляет собой площадь круга радиуса ξ .x ∈ [ a; b] 1/(b − a) 0.5;pξ ( x) = ,a = 2, b = 4, pξ ( x) = ,0x ∈ [ a; b ] 0x ∈ [ 2; 4]x ∈ [ 2.
4].Решение. 1. Площадь круга радиуса ξ равна: η = πξ 2 , причем ξ ≥ 0 . Значит, функция ηявляется монотонно возрастающей. Поэтому справедлива формулаpη ( y ) = pξ [ψ ( y )] ⋅ ψ '( y ) ,где ψ ( y ) - функция, обратная функции y = ϕ ( x) . У нас y = π x = ϕ ( x) ⇒2x=y / π = ψ ( y ) . Находим производную: ψ '( y ) = 1/(2 π y ) .pη ( y ) = pξ [ y / π ] ⋅1/(2 π y ) = 1/(4 π y ) .1 /(4 π y ),pη ( y ) = , 02. Согласно формуле M η =+∞3.Dη =∫ [ϕ ( x) − M η ]2−∞=πy ∈ [4π ; 16 π ]y ∈ [4π ; 16π ]424pξ ( x) dx = ∫ (π x 2 −2y ∈ [4π ; 16π ] ..2∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = Mη = ∫ π x ⋅ 0.5dx =−∞+∞28π 2π) ⋅ 0.5dx =322π x32 34∫ (x244⋅−=228π.356 2 784) dx =x +39π 992 3136 1568 544π 2x 56 x 784−+x) 2 =(−+)== 119.3125 .2 5992 5994525(342при x ≥ 0Подставляя в (1), получаем:2 ≤ x ≤ 4, тоТ.к.(1)В итогеЧ_2_27_08Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей pξ ( x ) .
Найтиплотность распределения вероятностей pη ( y ) случайной величины η = ϕ (ξ ) .x ∈ (− 1 ,pξ ( x) = π 0 ,x ∈ (−π π2;2)η =ξ2.π π; )2 2Решение. Функция y = ϕ ( x) = x 2 монотонна на интервале ( −∞; 0) и монотонна наинтервале (0; + ∞) .Поэтому воспользуемся формулойpη ( y ) = pξ (Ψ1 ( y )) ⋅ Ψ1 '( y ) + pξ (Ψ 2 ( y )) ⋅ Ψ 2 '( y ) ,(1)где x = Ψ1 ( y ) - функция, обратная функции y = x 2 , x ∈ (−∞; 0) , а x = Ψ 2 ( y ) для y = x 2 , x ∈ (0, + ∞) . Находим Ψ1 ( y ) и Ψ 2 ( y ) :обратная функцияприx<0y = x 2 ⇒ x = − y = Ψ1 ( y ) ;приx≥0y = x2 ⇒ x =1Ψ '1 ( y ) = −а)2 y;Ψ '2 ( y ) =при y < 0 pη ( y ) = 0 ,y = Ψ 2 ( y) ;12 y0< y<, при этомт.к. pη ( y ) = Fη '( y ) , аπ24Получаем в итоге :.Fη ( y ) = ∑∫pξ ( x) dx, где ∆ k ( y ) -k ∆k ( y )интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .У нас ϕ ( x) = x 2 ≤ 0 , поэтому при y < 0 неравенствоне выполняется.
Значит, Fη ( y ) = 0 , pη ( y ) = 0 .b) при y ∈ (0,с)π24) по формуле (1) pη ( y ) =−1111.+ ⋅=π 2 y π 2 y π y1⋅π2pη ( y ) = 0 , т.к. неравенство ϕ ( x) < y4Fη ( y ) = 1 и pη ( y ) = 0 .при y ≥Приy=0x2 < yпроизводные Ψ '1 ( y ) , Ψ '2 ( y )невыполняется всегда. Значит,существуют..Плотность распределения случайной величины η равна: 1,pξ ( x) = π y 0 ,y ∈ (0;y ∈ (0;π24π24),).Ч_2_28_08По заданной плотности распределения p1 ( x) случайной величины ξ1 определитьфункцию распределения случайной величины ξ 2 = ϕ (ξ1 ) .Функция ξ 2 = ϕ (ξ1 ) заданаграфически.Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найтивыражение для плотности распределения p2 ( y ) случайной величины ξ 2 .21 − x2p1 ( x ) =e .2πРешение.Функция распределения F2 ( y ) случайной величины ξ 2 выражается через плотностьраспределения p1 ( x) случайной величины аргумента ξ1 :F2 ( y ) = ∑k∫∆k ( y )p1 ( x) dx(1)где ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .
Суммирование вформуле (1) распространяется на все интервалы. 3 , ξ1 < 3Из условий примера следует, что ξ 2 = − ξ1 , ξ1 ∈ [ − 3; 3] . − 3 , ξ1 > 3Величина ξ 2 , очевидно, принимает значения только из отрезка [− 3; 3]a) y ≤ − 3 . Неравенство ϕ ( x) < y не выполняется. Поэтому F2 ( y ) = 0 .b) y = − 3 . Тогда(+∞+∞) ∫ p ( x ) dx = ∫P (ξ 2 = − 3) = P ξ1 > 3 =ξ33−∫01e2πx2−2dx = 0.5 − Φгде Φ ( x ) =12πx∫e−x22321 − x2e dx =2π+∞∫021 − x2e dx −2π( 3 ) = 0.5 − Φ (1.73) = 0.5 − 0.4582 = 0.0418dx , Φ ( x ) есть функция Лапласа, значения которой находят по0таблице,причем, Φ ( +∞ ) = 0.5 , Φ ( − x ) = −Φ ( x )с) − 3 < y ≤ 3 .
Тогда() () ∫ p ( x ) dx + 0.04183F2 ( y ) = P (ξ 2 < y ) = P − y < ξ1 ≤ 3 + P ξ1 = − 3 =3=∫−y21 − x2e dx + 0.0418 = Φ2π1=−y( 3 ) − Φ ( − y ) + 0.0418 == 0.4582 + Φ ( y ) + 0.0418 = Φ ( y ) + 0.5d) y = 3 . Тогда() (− 3) ∫P ξ 2 = 3 = P ξ1 < − 3 =−∞2()1 − x2e dx = Φ − 3 − Φ ( −∞ ) = −Φ2π( 3) + Φ (∞) == 0.5 − 0.4582 = 0.0418 = p2е) y > 3 . Тогда Fη ( y ) = 1 , т.к. неравенство ϕ ( x ) < y выполняется всегда .0 , y ≤ − 3Таким образом F2 ( y ) = Φ ( y ) + 0.5, − 3 < y ≤ 31, y > 3График функции приведен на следующем рисункеЗапишем F2 ( y ) в виде:nF2 ( y ) = F%2 ( y ) + ∑ pk ⋅ η ( y − yk )(2)k =1где F%2 ( y ) - непрерывная функция, yk - точки разрыва функции F2 ( y ) , pk - скачки 1,функции в точках yk .
При этом η ( y ) = 0,y>0y≤0(, η ' ( y ) = δ ( y ) − дельта - функция)(Формула (2) имеет вид : F2 ( y ) = F%2 ( y ) + 0.0418 ⋅η y + 3 + 0.0418 ⋅η y − 3)0 , y ≤ − 3 ,Где непрерывная часть есть F%2 ( y ) = Φ ( y ) + 0.4582 , − 3 < y ≤ 3 .0.9164 , y > 3nОтсюда по формуле p2 ( y ) = p% 2 ( y ) + ∑ pk ⋅ δ ( y − yk )(3)k =1где p% 2 ( y ) = F% '2 ( y ) ,Находим плотность распределения: 1 −ye 2 , y ∈ [− 3; 3]= 2π−0 , y ∈[− 3; 3]2Гдеp2 ( y )p2 ( y ) =∼p2 ( y ) + 0.0418 ⋅ δ ( y +)()3 + 0.0418 ⋅ δ y − 3 ,.