LA_rk1_print_2020 (Билеты по РК №1 Линал)
Описание файла
PDF-файл из архива "Билеты по РК №1 Линал", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 1Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение линейного (векторного) пространства.2. Сформулировать теорему о собственных векторах линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задачи3. Найти базис и рамерность линейной оболочки системы векторовa1 = (1, −2, 1)T , a2 = (−2, −1, 4)T , a3 = (−3, −4, 9)T , a4 = (0, −5, 6)Tпространства R3 .4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = 3x21 + x22 + 4x1 x2 .
Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = e1 + e2 , e02 = 2e1 − e2 .5. Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартномбазисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (3, 11)T , a2 = (1, 4)T ввекторы b1 = (0, 1)T , b2 = (1, 0)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 3x2 +6y 2 −4xy к каноническому виду.
Указать соответствующеее преобразование. Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Доказать неравенства Коши-Буняковского и треугольника.Задача8. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 найтиматрицу перехода от базиса B = {1, t − 1, (t − 1)2 , (t − 1)3 } к базисуB 0 = {1, t + 2, (t + 2)2 , (t + 2)3 }.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 2Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1.
Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.2. Дать определение самосопряжённого линейного оператора на евклидовом пространстве и сформулировать теорему о виде матрицы самосопряжённого оператора в ортонормированном базисе.Задачи3. Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторовa1 = (1, 1, 1, 1)T , a2 = (1, 1, 1, 0)T , a3 = (1, 1, 0, 0)T евклидова пространства R4 (скалярное произведение стандартное).4.
Найти матрицу перехода от базиса a1 = (1, 2)T , a2 = (3, 5)T к базисуb1 = (−1, 2)T , b2 = (2, −1)T пространства R2 .5. Линейный оператор A, действующий надвумерном про некотором2 1. Найти матрицу этогостранстве, в базисе e1 , e2 имеет матрицу1 1линейного оператора в базисе e01 = e1 − e2 , e02 = 2e1 + e2 .6. Привести квадратичную форму 4x1 x3 +x23 +2x2 x3 к сумме квадратовметодом Лагранжа.
Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Вывести формулу преобразования координат вектора при переходеот одного базиса линейного пространства к другому.Задача√√8. Привести кривую −3x2 + 3y 2 + 8xy − 8 5x − 6 5y + 15 = 0 к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование координат.Постороить кривую в исходной системе координат.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч.
годБилет 3Часть АЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 4Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллнеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение базиса и размерности линейного пространства.2. Сформулировать теорему о корнях характеристического уравнениясамосопряжённого оператора.Теория1. Дать определение матрицы перехода от одного базиса к другому.2. Сформулировать теорему о собственных векторах самосопряжённого оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задачи3. Принадлежит ли вектор c = (−9, 11, 7, 7)T ∈ R4 линейной оболочкевекторов a = (3, 2, 1, 1)T и b = (−7, 1, 1, 1)T ? Если да, то разложить егопо векторам a и b.4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = −x21 + 5x22 + 6x1 x2 . Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = e1 + 2e2 , e02 = 2e1 − 3e2 .5.
Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартном базисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (3, −2)T , a2 = (−4, 3)T ввекторы b1 = (−1, −1)T , b2 = (1, 1)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 4xy − 4x2 − y 2 к каноническому виду. Указать соответствующеее преобразование. Определить, является ли эта форма положительноопределённой, отрицательно определённой или неопределённой.Задачи3. Вектор c ∈ R2 имеет координаты (1, −1)T в базисе e1 = (1, 0)T ,e2 = (0, 1)T .
Найти его координаты в базисе e01 = (2, 1)T , e02 = (1, 1)T .4. Базис B 0 = {i0 , j 0 , k0 } получается из правого ортонормированногобазиса B = {i, j, k} пространства V3 поворотом на 90◦ против часовойстрелки вокруг вектора i. Базис B 00 = {i00 , j 00 , k00 } получается из базиса B 0 поворотом на 90◦ по часовой стрелке вокруг вектора k0 . Найтиматрицу перехода от базиса B к базису B 00 .5.
Найти собственные числа и собственныевекторы линейного опера52тора A : R2 → R2 , заданного матрицей.−6 −36. С помощью критерия Сильвестра определить, является ли квадратичная форма 2x21 − 2x1 x2 + x22 + x23 − 4x3 x4 + 5x24 положительноопределённой, отрицательно определённой, неопределённой.Часть БЧасть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Вывести формулу преобразования матрицы линейного операторапри переходе к новому базису.Теория7. Доказать теорему о собственных векторах линейного оператора, отвечающих различным собственным значениям.Задача8. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 2x2 + 5y 2 + 5z 2 + 4xy − 4xz − 8yz к каноническому виду.
Указатьсоответствующеее преобразование координат.Задача8. В линейном пространстве многочленов степени не выше 3 найтиматрицу перехода от базиса B = {1, t + 1, (t + 1)2 , (t + 1)3 } к базисуB 0 = {1, t − 2, (t − 2)2 , (t − 2)3 }.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 5Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1.
Дать определение подпространства линейного пространства и линейной оболочки системы векторов.2. Записать формулу преобразования матрицы квадратичной формыпри переходе к новому базису.Задачи3. Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторовa1 = (0, 1, 1, 0)T , a2 = (1, 0, 1, 1)T , a3 = (1, 1, 0, 0)T евклидова пространства R4 (скалярное произведение стандартное).4. Найти матрицу перехода от базиса a1 = (−1, 1)T , a2 = (4, −2)T кбазису b1 = (1, 1)T , b2 = (3, 5)T пространства R2 .5. Линейный оператор A, действующий надвумерном про некотором1 0. Найти матрицу этогостранстве, в базисе e1 , e2 имеет матрицу2 1линейного оператора в базисе e01 = e1 − 2e2 , e02 = −2e1 + 5e2 .6. Привести квадратичную форму x21 + 4x1 x2 + 2x2 x3 − 4x1 x3 к сумме квадратов методом Лагранжа.
Определить, является ли эта формаположительно определённой, отрицательно определённой или неопределённой.Часть БЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 6Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение скалярного произведения и евклидова пространства.2. Сформулировать теорему о существовании для самосопряжённогооператора ортонормированного базиса, в котором его матрица имеетпростой вид.Задачи3.
Вектор c ∈ R2 имеет координаты (−1, 1)T в базисе a1 = (1, 1)T ,a2 = (1, −1)T . Найти его координаты в базисе b1 = (2, 5)T , b2 = (1, 2)T .4. Базис B 0 = {i0 , j 0 , k0 } получается из правого ортонормированногобазиса B = {i, j, k} пространства V3 поворотом на 90◦ против часовойстрелки вокруг вектора j. Базис B 00 = {i00 , j 00 , k00 } получается из базисаB 0 поворотом на 90◦ против часовой стрелки вокруг вектора k0 . Найтиматрицу перехода от базиса B к базису B 00 .5. Найти собственные числа и собственныевекторы линейного опера−9−25тора A : R2 → R2 , заданного матрицей.4116.
С помощью критерия Сильвестра определить, является ли квадратичная форма −x21 +6x1 x4 −3x22 −x23 −3x24 положительно определённой,отрицательно определённой, неопределённой.Часть Бзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловзасчитывается, только если выполнена часть А;необходимо решить задачу; оценка 5–14 балловТеория7. Доказать инвариантность характеристического уравнения линейного оператора и инвариантность следа матрицы.Теория7. Вывести формулу преобразования матрицы квадратичной формыпри переходе к новому базису.Задача√√8.
Привести кривую 9x2 + y 2 + 6xy + 12 10x + 4 10y + 30 = 0 к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование координат.Построить кривую в исходной системе координат.Задача8. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу −x2 − y 2 − 7z 2 + 16xy − 8xz − 8yz к каноническому виду. Указатьсоответствующеее преобразование координат.ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 7ЛА, РК1; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2019-2020 уч. годБилет 8Часть Анеобходимо ответить хотя бы на 1 вопрос и решить не менее 3 задач;оценка 21 баллТеория1. Дать определение ортогональной системы векторов и ортонормированного базиса евклидова пространства.2. Сформулировать критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы и следствия для отрицательно определённых и неопределённых форм.Задачи3.
Найти базис и рамерность линейной оболочки системы векторовa1 = (3, −2, −3)T , a2 = (1, 2, 3)T , a3 = (1, −6, −9)T , a4 = (−5, 6, 9)Tпространства R3 .4. В базисе e1 , e2 пространства R2 квадратичная форма Q записывается как Q(x1 , x2 ) = −x21 − x22 + 4x1 x2 . Найти выражение Q(y1 , y2 ) этойквадратичной формы в базисе e01 = −e1 + e2 , e02 = e1 − 2e2 .5. Найти матрицу линейного оператора A : R2 → R2 в стандартномбазисе e1 , e2 , если A переводит векторы a1 = (1, 2)T , a2 = (3, 4)T ввекторы b1 = b2 = (2, 2)T соответственно.6. Методом ортогональных преобразований привести квадратичнуюформу 7x2 − y 2 + 6xy к каноническому виду.