Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике

Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике, страница 7

PDF-файл Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике, страница 7 Классическая механика (53438): Лекции - 7 семестрЕ.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике: Классическая механика - PDF, страница 7 (53438) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "классическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 7 страницы из PDF

Значит,b2 = aC 2 /µ, откуда4π 2 a3T2 =,µто есть T 2 /a3 не зависит от планеты.Введём ещё несколько определений: значение скорости, соответствующее уровню энергии hK1 , называется первой,pа уровню h = 0 — второй космической скоростью. Положение rπ = 1+e(минимальное удаление от притягивающегоpцентра) — это перицентр. Для эллиптической орбиты определяется ещё и апоцентр: rα = 1−e— удалённейшая точкатраектории.

В астрономии приняты ещё такие названия: если притягивающий центр — Солнце — то апогелий, перигелий;если Земля, то ...гей, если Луна — ...селений.Вектор Лапласа — это такой вектор:I = [ṙ, [r, ṙ]] − µer .Докажем, что I = const (это первый интеграл) и что I смотрит из фокуса в сторону перицентра. Заметим, что [r, ṙ] =d rdK/m, и в силу закона сохранения кинетического момента dt[r, ṙ] = 0. Кроме того, er = rr (а значит, ėr = dt( r ) = ṙr − rr2ṙ ).ОтсюдаdIµṙµr ṙ= [r̈, [r, ṙ]] −+ 2 .dtrrИз уравнения движения r̈ = − µr, поэтому первое слагаемое есть (применяем формулу «бац минус цаб», а такжеr3замечаем, что hr, ṙi = r ṙ — это проверяется явно)h µrirhṙ, riṙr 2µrr ṙµṙµṙµr ṙ− 3 , [r, ṙ] = −µ+µ=− 3 +=− 2 ,rr3r3rrrrто есть в точности второе и третье слагаемые, но с обратным знаком.

Значит, I˙ = 0.Перицентр есть точка с минимальным расстоянием до притягивающего центра, значит, в ней вектор скорости ортогонален радиус-вектору: hr, ṙi = 0. Поэтому в выражении для hI, ṙi второе слагаемое будет равно нулю и получитсяhI, ṙi = hṙ, [ṙ, [r, ṙ]]i = 0, т.к.

ṙ ⊥ [ṙ, . . .]. Итак, в перицентре I ⊥ ṙ, значит I k r π (I лежит в плоскости Π).Теперь оценим знак hI, r π i (убедимся, что вектор Лапласа смотрит на, а нет от перицентра):hI, ri = hr, [ṙ, [r, ṙ]]i − hr, µer i = |[r, ṙ]|2 − µr =K2− µr.m2Получается, что hI, ri достигает максимума при наименьшем r, т.е. при r = r π , откуда hI, r π i > 0.В задаче Кеплера апсидальный угол равен 2π (за период возвращаемся к перицентру).2.10.3. Задача двух телЗадача двух тел — это задача о движении пары материальных точек r 1 и r 2 масс m1 и m2 соответственно поддействием ньютоновской силы притяжения.Уравнения движения:8> m1 r̈ 1 = − γm1 m2 (r 1 − r 2 ) = F12><|r − r |312>γm1 m2 (r 2 − r 1 )>: m2 r̈ 2 = −= F21 = −F12|r 1 − r 2 |324Силы потенциальны:γm1 m2— потенциал|r 1 − r 2 |(это проверяется явно дифференцированием V ).

Значит, имеется интеграл энергии T + V = h.Применима теорема об изменении импульса системы (существует интеграл импульса P = m1 ṙ 1 + m2 ṙ 2 = (m1 +m2 )ṙ C = const). Центр масс движется с постоянной скоростью ⇒ кёнигова система инерциальна.Применима теорема об изменении кинетического момента: K = [r 1 , mṙ 1 ] + [r 2 , mṙ 2 ] = const.Итак, есть три группы первых интегралов движения: h, P и K.Задачу двух тел можно свести к задаче Кеплера. Перейдём в кёнигову систему координат.

Там m1 r 1 + m2 r 2 = 0(r C = 0) и m1 ṙ 1 + m2 ṙ 2 = 0 (ṙ C = 0). ОтсюдаV =−r2 = −m1r1 ;m2r1 − r2 =m1 + m2r1 .m2Подставляем в первое уравнение движения:mr̈ 1 = −γm1 m32r1·.(m1 + m2 )2 |r 1 |3m32Получили для r 1 уравнение такого же вида, как и для движения вокруг неподвижного центра массы M0 = (m1 +m2,2)т.е. для задачи Кеплера.

Аналогично для r 2 . Итак, обе точки движутся в одной плоскости (той, что перпендикулярна Kи проходит через C) по кеплеровским орбитам (причём одинакового вида: эти кривые подобны в силу m1 r 1 + m2 r 2 = 0)с общим фокусом C. Например, точки могут двигаться в диаметрально противоположных точках окружности.2.10.4. Задача N телСистема N точек. Уравнение движения:mi r̈ i =XFij ,j6=iгдеFij = −γmi mj (r i − r j ).|r i − r j |3Эти силы потенциальны (как и в задаче двух тел): потенциалX γmi mjV =−.|r i − r j |i<jПотенциальная энергия в задаче N тел — однородная функция степени −1: при λ > 0 имеем V (λr 1 , . .

. , λr N ) =λ−1 V (r 1 , . . . , r N ).Первые интегралы:P 1. Интеграл энергии T + V = h.2. Интеграл импульсаmi r i P= const.3. Кинетический момент K = [r i , mi ṙ i ] = const.Устойчивость по Якоби: движение r 1 (t), . . . , r N (t) устойчиво по Якоби, если:1) движение существует для всех t ∈ (−∞, +∞);2) r i (t) 6= r j (t) для всех t (нет столкновений);P3) существует C > 0 такое, что для всех t i,j |r i − r j |2 6 C (точки не разбегаются).Константа h интеграла энергии зависит от выбора системы координат.

Перейдём в кёнигову систему.Теорема 2.17. Необходимым условием устойчивости по Якоби является условие h 6 0.P Во всё время движенияmi ṙ i = 0 (оси-то кёниговы — центр масс не движется). ПоложимXXJ=|r i − r j |2 ;I=mi ri2 ;M = max mi .i,jiPДокажем, что J > BI для некоторого B > 0 (при всех t).

Действительно (в кёниговой системеmi r i = 0),!!EX miX X mi 2X X D miX mi 21 XXNJ>|r i − r j |2 =ri − 2ri , rj+rj >mi ri2 =I.MMMMMMi,jjijii,jji(полагаем B = N/M ).Пусть h > 0. Покажем, что тогда I −→ ∞ либо при t −→ +∞, либо при t −→ −∞ (а значит, движение неустойчиво поЯкоби). Итак, поехали.˙Сначала вычислим I:”Xd “XI˙ =mi hr i , r i i = 2mi hr i , ṙ i i.dt∂VТеперь I¨ (помним, что mr̈ i = − ∂r):iflXXX fi ∂V2¨I=2mi |ṙ i | + 2mi hr i , r̈ i i = 4T − 2, ri .∂r i25Чтобы завершить вычисление, нам потребуется следующаяЛемма 2.18 (Эйлера об однородных функциях).

Пусть f (x1 , . . . , xk ) — однородная функция степени k, т.е.f (λx) = λk f (x) при λ > 0 (x = (x1 , . . . , xk )). Тогдаfifl∂f, x = kf (x).∂xfi∂f,x∂xfl=fi˛˛fl˛˛∂f∂(λx) ˛˛∂f (λx) ˛˛∂(λk f (x)) ˛˛˛(λx),=== kλk−1 f (x)˛= kf (x).˛˛˛∂x∂λ∂λ λ=1∂λλ=1λ=1λ=1Поскольку потенциальная энергия — однородная функция степени −1, второе слагаемое равно 2V , и окончательнополучаем I¨ = 4T + 2V = 2h + 2T > 2h > 0. Значит, I — строго выпуклая функция, а из анализа мы знаем, что в этомслучае либо при t −→ +∞, либо при t −→ −∞ I −→ +∞.

2.11. Силы инерцииНаблюдаем движение в неинерциальной системе координат. Движется точка массы m. Имеем:maабс = F ;Отсюда получаем:aабс = aотн + aпер + aкор .maотн = F − maпер − maкор =: F ∗ .В подвижной системе наблюдается движение как будто под действием F ∗ .Fпер := −maпер — переносная сила инерции.Fкор := −maкор — кориолисова сила инерции.F — активные силы.По формуле Ривальса (ε = ω̇, O1 — центр подвижной системы)aпер = aO1 + [ε, ρ] + [ω, [ω, ρ]].В подвижной системе aкор = 2[ω, v отн ], v отн = (ẋ, ẏ, ż), aотн = (ẍ, ÿ, z̈). (ω — мгновенная угловая скорость)2.11.1.

Движение в равномерно вращающейся системе координатРассмотрим частный случай: ω = const, ω k Oz (подвижная система вращается вокруг Oz). ω = (0, 0, ω). aO1 = 0,ε = 0, значит aпер = [ω, [ω, ρ]]. Вычисляя явно векторное произведение, получаем aпер = (−xω 2 , −yω 2 , 0) (в подвижнойсистеме), aкор = (−2ẏω, 2ẋω, 0). Запишем закон движения maотн = F − maпер − maкор по координатам:82>< mẍ = Fx + mω x + 2mω ẏmÿ = Fy + mω 2 y − 2mω ẋ>:mz̈ = Fz— это уравнения движения в равномерно вращающейся системе.∂VПусть силы потенциальны: F = − ∂(x,y,z).

Полагая Vω = V + 12 mω 2 (x2 + y 2 ), получаемF + Fпер = −∂Vω.∂(x, y, z)Мощность кориолисовых сил равна нулю (Fкор ⊥ v отн ) — это гироскопические силы, поэтому есть закон сохраненияэнергии (обобщённый интеграл энергии Якоби):2mvотн+ Vω = h.22.11.2. Ограниченная плоская круговая задача трёх телЕсть три точки: S — Солнце, J — Юпитер, A — астероид, и они движутся под действием сил тяготения.

Уравнениядвижения:8γmS mJ (r S − r J )γmS mA (r S − r A )>>−> mS r̈ S = −3>|r−r||r S − r A |3>SJ>><γmJ mS (r J − r S )γmJ mA (r J − r A )mJ r̈ J = −−3>|r−r||r J − r A |3JS>>>>γmm(r−r)γm>A mJ (r A − r J )A SAS>: mA r̈ A = −−|r A − r S |3|r A − r J |3Ограниченная задача: считаем массу астероида очень малой. Упрощаем задачу: выкидываем из правых частейпервых двух уравнений вторые слагаемые. Для S и J получаем задачу двух тел.26Далее для удобства будем считать mA = 1.В кёниговой системе S и J движутся как в задаче Кеплера.

S и J движутся в плоскости, ортогональной вектору K.А астероид, вообще говоря, движется как угодно.Плоская задача: в начальный момент времени A и v A лежат в этой плоскости (⇒ вся траектория астероида лежитв этой плоскости). В кёниговой системе плоскость SJA неподвижна.Круговая задача: S и J движутся по круговым орбитам.Рассмотрим систему координат (неинерциальную) в плоскости Π с центром в центре масс, SJ направлена вдоль осиOx. Эта система координат вращается с постоянной угловой скоростью ω.

В ней S и J неподвижны. Нас интересуетуравнение движения A.r A = (x, y), r S = (−rs , 0), r J = (rJ , 0).Потенциальная энергия гравитационного притяжения астероида:Vграв = −Уравнения движения (Vω = Vграв + Vпер ):γmSγmJ−.|r S − r A ||r J − r A |8∂Vω>< ẍ = −+ 2ẏω∂x>: ÿ = − ∂Vω − 2ẋω∂xИнтеграл энергии Якоби: 12 (ẋ2 + ẏ 2 ) + Vω = h.Относительные положения равновесия (x(t) = x0 , y(t) = y0 ) называются точками либрации. В этих точках имеемωωẍ = ẋ = ÿ = ẏ = 0, значит ∂V= ∂V= 0.

Обозначим dS = |r S − r A |, dJ = |r J − r A |. Тогда∂x∂yVω = −Получаем уравнения:γmSγmJω2 2−−(x + y 2 ).dSdJ28γmS (x + rS )γmJ (x − rJ )>2>+<ω x =d3Sd3Jγmyγmy> 2sJ>+:ω y =d3Sd3JТочки либрации, лежащие на оси y = 0, называются точками либрации Эйлера (коллинеарными точками либрации).Пусть y = 0. Тогда первое уравнение перепишется в виде:ω2x =γmS (x + rS )γmJ (x − rJ )+=: f (x)|x + rS |3|x − rJ |3На интервалах (−∞; −rS ), (−rS , rJ ), (rJ , +∞) функция f монотонно убывает, на бесконечности стремится к нулю, значит,уравнение f (x) = ω 2 x имеет три решения (видно на графике).

Эти три решения обозначаются L1 , L2 , L3 — это и естьточки либрации Эйлера.Пусть теперь y 6= 0. Умножаем первое уравнение на y, второе на x и вычитаем:0=γmS rSγmJ (−rJ )+.d3Sd3JПоскольку C — центр масс, mJ rJ = mS rS . Отсюда получаем„«11−,0 = γmS rSd3Sd3Jто есть dS = dJ =: d: A лежит на серединном перпендикуляре к SJ (треугольник ASJ равнобедренный).Сократим второе уравнение на y:γ(mS + mJ )ω2 =.d3Мы находимся в положении равновесия, значит для J силы инерции и гравитации должны компенсироваться:γmS mJ= rJ ω 2 mJ ;(rS + rJ )2аналогично для S:γmJ mS= rS ω 2 mS .(rS + rJ )2Складывая, получаемγ(mS + mJ )γ(mS + mJ )= ω2 =,(rS + rJ )3d3откуда rS + rJ = d — треугольник ASJ равносторонний.Получили ещё две точки либрации: L4 и L5 — это точки либрации Лагранжа (треугольные).272.11.3. Движение на поверхности ЗемлиРассмотрим систему координат Oxyz, связанную с Землёй.

O — центр Земли, Oz смотрит на Северный Полюс. Земля,как известно, вращается с угловой скоростью ω = Ωez , считаем Ω = const. На поверхности Земли разместим точку врадиус-вектором r = rer , считая, что в начальный момент времени она лежит в плоскости Oxz. Угол θ между плоскостьюэкватора Oxy и r называется географической широтой. Орт проекции r на Oxy назовём e1 . На точку действуют: 1) силапритяжения (считаем, что Земля притягивает как центр массы M ); 2) активные силы Fакт ; 3) силы инерции — переноснаяи кориолисова. Поэтому уравнение движения имеет вид:mr̈ = −mM γer+ mΩ2 r cos θe1 − 2m[ω, ṙ] + Fакт .r2Пусть точка находится в (относительном) равновесии на поверхности Земли: ṙ = r̈ = 0.

Запишем условия равновесия:−Fакт =−γM mer + mΩ2 r cos θe1 .r2То, что стоит в правой части, называется весом точки и обозначается буквой P . Ускорение свободного падения: g = P/m.g=−γMer + Ω2 r cos θe1 .r2gНормированный вектор g называется местной вертикалью: en = − |g|, а угол ϕ между e1 и en — астрономическойширотой. На полюсе и на экваторе en = er и θ = ϕ. Для Земли |ϕ − θ| 6 0,02 радиан. ϕ измеряется как угол междунаправлением на Полярную звезду и отвесом.Свободно брошенное тело движется по кеплеровской (эллиптической) орбите и «обгоняет» Землю, сдвигаясь на юговосток. Теперь оценим количественно.

Запишем уравнение движения:mr̈ = mg − 2m[Ωez , ṙ]— это линейное ОДУ:r̈ = g − 2[Ωez , ṙ].Сделаем два допущения: 1) время движения τ мало (будем рассматривать уравнения в приближённом виде): Ωτ ≪ 1;2) считаем g = const.Начальные условия: r(0) = r 0 , ṙ(0) = 0 (свободное падение).Правая часть аналитична по Ω, следовательно (по теореме об аналитической зависимости решения ОДУ по параметру) r аналитически зависит от Ω. Разложим в ряд:r(t) = r 0 (t) + Ωr 1 (t) + Ω2 r 2 (t) + . .

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее