П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 23
Описание файла
PDF-файл из архива "П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "анализ размерностей и приложения" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 23 страницы из PDF
Единица массы у Планка могла бы быть реализована водяной капелькой с радиусом около О,И мм, бесполезной в качестве эталона в любой области знания. 'Недавно Руарк (А. Е. Йпаг)с. Рцуз. Ееж 88, 2240, 1931) предложил две естественные абсолютные системы единиц, представляющие несомненно ряд преимуществ по крайней мере для атомной физики. В первой системе(А) единице приравниваются скорость света с, радиус первой орбиты атома водорода (с пред> небрегаемым движением ядра) равный 4 —,—, и масса электрона т. Во второй системе (В) за единицу длины избрано комптоновское изменение длины волны при рассеянии света электроном на угол 90, деленное на 2к, т.
е, 2 ! точно так же, как н > л ' 2кте' в системе (А), с и и приравнены едннчце. В результате получаются такие значения для новых единиц. Название в>лик>ны Система А Система В задачи 115 зихлиз глзыееностл» в системе В принимает вид 5ж — '; 2 (Š— о) ~ = О. Тот же вид уравнение Шредингера принимает в получившей известность системе Хартри (Ргос. СашЬг. РЬ!1 Вос. 24, 89, 1928), где положены единице заряд электрона, его масса и радиус боровской орбиты. Преимущества систем Руарка и Хартри очевидны, при чем из этого примера ясно, что комбированием тех или иных постоянных можно строить естественные абсолютные системы, специально приспособленные для явлений данного масштаба.
Несомненно известное практическое значение могла бы иметь целая система естественных абсолютных систем единиц, последовательно охватывающая процессы разных масштабов. Для етого могут понадобиться новые универсальные постоянные, но они повидимому есть не только в области микро.
мира, но и в астрономических областях (постоянная красного смещении спиральных туманностей). Единая абсолютная естественная система всегда окажется тут или там неудобной. ЗАДАЧИ. 1. Газовая постоянная в уравнении ро=)?7' имеет величину 0,06207„давление р выражено в атмосферах, объем о в метрах, ванн- 1 амм-мозекуаой, и Т в абсолютных градуса', Каково будет з з? значение )7, если р выражено з д нах на смз, а о в см 2. Теплопроводиость меди равна 0,92 кал, через смз в сек. при температурном г ном градиенте 1' на см, Какова будет теплопооводность в В.
Т.!. (бритаиская тепловая единица) ~) через квадратный фут при температурном градиенте з 1' Фаренгейта на фут (английская техническая единица)? 3. Если численное значение — равно 0,001161 в см з сек., кзкос г?г значение будет иметь это выражение в тоннах, милях лях и часах? г — заряд электрона в э. с. единицах, г — скорость света з пустом пространстве, Л вЂ” квант действия. 4. Напор, производимый воздушным пропеллером, изменяется е зависимостй от числа оборотов в секунду и от скорости перемеше. пия вд ь оль оси вращения. Показать, что критическая скорость перс.
мещеиия, при которой напор исчезает, пропорциональн у ра числ обо отов в сейунду. ~) Британскан тепловая единица (при 60', рава 1054,6 джоулей плн 1054,6 10' аргон. Лра.ч. ред. 5, Показать, что ускорение к центру, испытываемое частицей, равномерно вращающейся по кругу радиуса г, разносола! —. г 6. Показать> что период поперечных колебаний тяжелой натянуто» проволоки равен совы;х', длина ~; ! †--) . , ! линейнэя плотность натяжение 7. Показать, что период продольных колебаний балки ракен (объемная плотность)йз сопя! )( длина К !— " ~,упругая постоянная 3. Показать, что скорость звука равна плотность сопы К молуль сжимаемости) 9.
Закручивание цилиндра вй единицу длины изменяется обратно пропорционально упругой постоянной или арамо цропорционзльио моменту приложенной силы. Доказзть на этом основании, что закручнва. ние намекается обратно пропорционально четвертой степени диаметра. 10. Существует некоторая критич окая скорость вращения, прн которой мзсса несжимаемой тяжелой жидкости становится неустойчивой.
Доказать, что угловая скорость при неустойчивости не зависит от диаметра и пропорциональна квадратному корню из плотности. 11. Существует некоторый размер, прз которомтвердый не вращаю. щи»ля шар становится неустойчивым под действием собственного тяготения. Доказать, что радиус неустойчивого шара изменяется прямо пропорционально квадратному корню из отношения упругой постоянной к плотности. 12.
Скорость распространения волн в мелкой воле.не зависит от длины волны. х1оказать на этом основании, что она изменяется пропорционально корею квадратному нз глубины. 13. Доказать, что скорость капиллярных волн пропорциональна корню квадратному из отношения поверхностного натяжения к длине волны, умноженной нз плотность. 14. Масса, привязанная к невесомо» струне, испытывает тормозящую силу, пропорциональную ее скорости, в то же время на массу действует периодическая сила. Показать, что в установившемся состоянии амплитуда колебаний пропорцноизльна сале. !5.
Время соприкосновения двух равных шаров при ударе пропорционально их радиусу, Далее дано, что зто время обратно пропор. ционально корню пятой степени из относительной скорости сблвжения шаров, Показать, что время соприкосновения пропорционально (- плотность упругая постоянная ! 16. Доказать, что удельная теплота идеального газа, атомы которого характеризуются ~олько массой, не зависит от давления и температуры. 17.
Показать, что сели газ рассматривается, как совокупность молекул конечных размеров, ие проявляющих взаимных сил помимо моментов соприкосновения, то вязкость будет независимой от давления и пропорциональной квадратному корню из абсолютной температуры. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ 117 ЗАДАЧИ 1!5 !8.
Показать, что если теплопроводность газа задачи 17 ие зави- сит от давления, то она также пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. 19, На твердое тело, бесконечно простирающееся в одну сторону, накладывается периодически изменяющаяся температура. Показать, что скорость распространения возмущения в твердом теле пропорцио. нальна корню квадратному из частоты, а длина волны обратно пропор- циональна корню квадратному из чистоты.
Возмущение падает до 1 е (е — основание натур. Логарифмов) части своего начального значения нз расстоянии в такое число волн, кото(ее не зависит от частоты н термических постоянных материала. 20, Длинная тонкая проволока погружена в среду, которая пол- держивает внешнюю поверхность проволоки при постоянной темпера- туре. Нагреваиие проволоки производится переменным током телефон- ной частоты,при чем подводимое количество тепла изменяется по закову !у соз из на единицу объема.
Показать, что амплитуда периодических колебаний средней температуры прозолойн изменяется по закону, имею- щему вид: ач 6=() — у ~ае — ), где Ф вЂ” диаиетр проволоки, И вЂ” коэчфицкент теплопрозодности и е— теплоемкость на единицу объема. Показать, предполагая проволоку тонкой, иа основании численных значений И' и е для металлов, что 5, не зависит от и и е и принимает следующее значение: гтт 8 = сопл! Я 21. Внутреиняз знергия определенного количества идеального газа, отсчитываемая от абсолютного нуля и давления О, независима от лазления и пропорциональяа абсолютной температуре. Показать, что внутренняя энергия, отсчитываемая от любого начального состояния (произвольная температура и давление) ие зависит от давления я про- порциональна избытку абсолютной температуры иад начальной точкой. 22.
Почему вывод задачи 21 нельзя приложить к энтропии опре- деленного количества идеального газа ? 23. Ричарде (1опгп. Ааег. С?геа. Зос. 37, !915) эмпирически нашел следующее соотношение для различных химических элементов: -Р = 0,00021 — (У вЂ” 50'), А Рцж тле 5 = — ~ — ), есть сжимаемость, А — атомный вес, Р— плотность =о (ар)т Тм — температура плавления по збсолютяой шкале.
Какое минимальное количество разчерных постоянных требуется для „полноты" этого уравнения, н каковы их размерности ? 24, Доказать, что сила магнитного поля вокруг магнитного диполя пропорциональна моменту диполя и обратно пропорциональна кубу расстояние. 25. Какова размерность диэлектрической постоянной в пустом пространстве в электромагнитной системе единиц ? Каково ее численное значение ? 26. Какова размерность магнитной проницаемости в пустом пространстве з электростатической системе единиц? Каково ее численное значение ? 27. На плоской поверхности,полубесконечного' проводника инду' цируется переменвый ток. Показать, что скорость распространения возмущения э среду пропорциональна квадратному корню нэ удельного сопротмвленив, деленного на период, а расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е(основание иат.
логарифнов) раз пропорционально квадратному корню из произведения удельного сопротивления на период. 23. Показать, что самоивдукцвя линейной цепи пропорциональна линейным размерам. 29. Сииусодиальная з. д. с. приложена к одному концу электрической линии с распределенным сопротивлением, емкостью н самоиидукцией. Показать,что скорость распространения возмущения обратно пропорциональна, а постояиная затухания прямо пропорциональна квадратному корню из емкости на единицу длины. 30.
Электрон, движущийся со скоростью о, попадает в магнитное поле, направленное под прямым углом к скорости. Зная, что радиус кривизны орбиты электрона првмо пропорционален его скорости, показать, что он одновременно пропорционален массе электрона и обратно пройорцнонален полю и зарялу. 31. В заектродинамическнх задачах, в решение которых входит скорость света, единица времени может быть определена так, чтобы скорость света равнялась 1, и достаточными оказываются две основные единицы, массы и длины. Напишите размерности различных электрических н магвнтных величин в этих единицах.