TM-17 (Лекции)
Описание файла
Файл "TM-17" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой. PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-1Лекция 17-1Динамика твердого тела.Напоминание.Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения не меняется.Момент инерции относительно осиI l = ∑ ρ 2j m j . Любому ортономированному реперу R ,связанному с телом, с началом в некоей точке O , сопоставляется 3× 3 матрица I - тензор инерции.Момент инерции относительно оси с единичным направляющим вектором e равен I e =< Ie , e > .Матрица I симметричная, на диагонали стоят моменты инерции относительно осей координат R .Поворотом репера R можно добиться того, что I станет диагональной матрицей.
Соответствующаясистема координат (связанная с твердым телом) называется главными осями инерции в точке O ( которая является началом координат).Пусть r - радиус-вектор точки тела в связанной с телом системе R . Множество точек таких,что < Ir , r >= 1 называется эллипсоидом инерции твердого тела в точке O ( которая является началомкоординат).Если тело движется так, что имеется неподвижная (в абсолютном пространстве) точка O , то1< I Oω ,ω > - кинетическая энергия.2б) K 0 = I 0ω - кинетический момент.в) K& = M - момент сил. Это теорема об изменении кинетического момента.а) T =00г) ∀s вектора, неподвижного в теле s& = [ω , s ] - формула Эйлера.Динамические уравнения Эйлера.
(Для движения твердого тела с неподвижной точкой)Лемма. (О проекции абсолютной скорости на подвижные оси) Пусть есть некий вектор W (t )(в абсолютном пространстве). Разложим его по подвижному реперу(*)W = Wξ eξ + Wη eη + Wς eςW&ξ Тогда координаты вектора W& в подвижном репере равны W&η + [ω ,W ] , где ω - мгновенная угло W& ςвая скорость репера eξ eη eς .Доказательство.
Следует из равенствe&ξ = [ω , eξ ] , e&η = [ω , eµ ] , e&ς = [ω , eς ]если продифференцировать (*). Доказательство леммы завершено.Запишем в) с учетом б) для движения твердого тела с неподвижной точкой O в однородномполе сил тяжести.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-2Пусть r0 - вектор, идущий из O в центр масс (в подвижном репере его координаты постоянны).Пусть γ - единичный вектор вертикали, направленный вниз и (γ ξ , γ η , γ ς ) - его координаты в подвижном репере (они меняются при движении тела). Тогда момент активных сил, приложенных к телуM 0 = [r0 , γ ] .ИтакIω& + [ω , Iω ] = [r0 , γ ]Это и есть динамические уравнения Эйлера.
Распишем их подробнее (в главных осях инерции).γ ξ A 0 0 p ξ0 I = 0 B 0 , ω = q , r0 = η0 , γ = γ η γ 0 0 Crς 0 ςAp& = ( B − C )qr + mg (η0γ ς − ς 0γ η )Bq& = (C − A)rp + mg (ς 0γ ξ − ξ 0γ ς )Cr& = ( A − B) pq + mg (ξ 0γ η − η0γ ξ )Постоянство вектора γ в абсолютном (неподвижном) пространстве выражается уравнениями Пуассона. Они означают, что абсолютная скорость этого вектора равна нулю.γ& + [ω , γ ] = 0или, в подробной записиγ&ξ + qγ ς − rγ η = 0γ&η + rγ ξ − pγ η = 0γ&ς + pγ η − qγ ξ = 0Уравнения Эйлера-Пуассона образуют замкнутую систему. Система имеет следующие первыеинтегралы.Энергия.1( Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 ) − mg (ξ 0γ ξ + η0γ η + ς 0γ ς ) = h2Кинетический момент в проекции на γApγ ξ + Bqγ η + Crγ ς = cГеометрическийγ ξ2 + γ η2 + γ ς2 = 1ρ ≡ 1.Задача.
Убедитесь, что выписанные функции – действительно первые интегралы.Решение. (Решить!!!)Задача. Проверьте, что у уравнений Эйлера Пуассона есть инвариантная мера с плотностьюРешение. (Решить!!!)Так как имеется инвариантная мера, то для интегрируемости в квадратурах не хватает ещеодного независимого первого интеграла.Имеются три классических случая интегрируемости: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.Случай Эйлера. Центр масс совпадает с неподвижной точкой O , т.е. ξ 0 = η0 = ς 0 = 0 .В этом случае моменты активных сил отсутствуют и связи допускают повороты всей системывокруг любой неподвижной оси, проходящей через O .
Поэтому кинетический момент K - это постоянный вектор в абсолютном (неподвижном) пространстве.Поэтому здесь имеется дополнительный первый интеграл – квадрат модуля кинетическогомоментаK 2 = A2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 = k 2 = const17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-3Уравнения Эйлера отделяются от уравнений ПуассонаAp& = ( B − C )qrBq& = (C − A)rpCr& = ( A − B) pqРассмотрим их отдельно. Движение происходит по совместным уровням интеграловA2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 = k 2Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 = 2hРассмотрим их в пространстве Kξ , Kη , Kς ( Kξ = Ap , Kη = Bq , Kς = Cr ). ТогдаKξ2 + Kη2 + Kς3 = k 2 - сфера(*)1 2 1 2 1 3Kξ + Kη + Kς = 2h - эллипсоидABC(**)Зафиксируем значение 2h и будем менять k 2 .
Считаем, что A ≤ B ≤ C . Еслиk 2 < 2hA , то сфера с эллипсоидом не пересекается (сфера лежит внутри эллипсоида).k 2 = 2hA - две точки пересечения (касания)2hA < k 2 < 2hB - пересечение по двум замкнутым кривым (топологическим окружностям“насаженным” на ось Kξ )k 2 = 2hB - две геометрические!!! окружности, пересекающиеся на оси Kη . В самом деле,умножим (**) на B и вычтем из него (*). ПолучимB 2 B 3 − 1 Kξ − 1 − Kς = 0A CКоэффициенты положительны. Поэтому это уравнение распадается на два линейных, задающих двеплоскости, в которых лежат наши кривые, значит, они – плоские. Расстояние до центра постоянно (*).Значит, это – окружности.Аналогично устроены случаи k 2 > 2hC , k 2 = 2hC , 2hB < k 2 < 2hC .Каждый из шести концов полуосей эллипса соответствует положению равновесия уравненийЭйлера.
В терминах движения твердого тела – это вращения вокруг главных осей инерции с постоянной угловой скоростью. Эти движения называются стационарными вращениями. Из расположения p0 0 кривых на рисунке следует, что положения равновесия уравнений Эйлера 0 и 0 устойчивы, а 0 r 00 q0 - неустойчивы. Это неустойчивость стационарного вращения вокруг средней оси инерции.0 Вопросы к материалу.• Динамика твердого тела.• Твердое тело с неподвижной точкой.• Абсолютная скорость в проекции на подвижные оси.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-4•••••••Динамические уравнения Эйлера.Уравнения Пуассона.Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.Случай Эйлера.Фазовый портрет уравнений Эйлера.Устойчивость Стационарных вращений.Лекция 17-2Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера.Мы рассматриваем движение твердого тела с закрепленной точкой в случае Эйлера.
В телезафиксирован его эллипсоид инерции. Его уравнение в осях, связанных с телом имеет вид< I 0 r , r >= 1 .Теорема. (Пуансо) В процессе движения эллипсоид инерции катится без проскальзывания понеподвижной плоскости , перпендикулярной вектору кинетического момента K .Доказательство. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную K и касательную к эллипсоидуинерции. Поскольку K = const , то направление нормали к этой плоскости постоянно в неподвижном пространстве. Покажем, что расстояние от плоскости до точки O постоянно.Пусть a - точка касания плоскости и эллипсоида. Нормаль к эллипсоиду в этой точке будетvиметь вид I 0 a = λK = λI 0ω . Значит a = λω = (λp, λq, λr ) . Подставив это в уравнение эллипсоида< I 0 a, a >= 1 , получимAλ2 p 2 + Bλ2 q 2 + Cλ2 r 2 = 1Из интеграла энергии находимλ2 =12hВ главных осях инерции твердого тела K = ( Ap, Bq, Cr ) .
Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид< (r − a), K >= 0 или Apξ + Bqη + Crς = f = constРасстояние от плоскости до точки O равно< a, K > λ < ω , K > λ 2h2h==== constkkkKИтак, плоскость постоянна. Но нам надо еще доказать, что движение происходит без проскальзывания, т.е. что скорость эллипсоида в точке касания равна нулю. По формуле Эйлераva = vO + [ω , a] = 0 + [ω , λω ] = 0Доказательство теоремы закончено.Следствие.
Стационарные вращения вокруг малой и большой осей орбитально устойчивы поЛяпунову, т.е. при малой ошибке в начальных условиях траектория (но не решение!!!) меняется мало.Регулярная прецессия.Рассмотрим важный частный случай, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения:A = B ≠ C .
В этом случае третья ось эллипсоида Oς , мгновенная ось вращения ω и вектор кинетического момента K лежат в одной плоскости.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-50pAp01pqr =ApAq CrqAq=0Углы между ними сохраняются< eς , K >= const = Cr , r = const< eς , ω >= r = const , < K ,ω >= 2T = 2h = constСохраняется и величина вектора ω :2T = A( p 2 + q 2 ) + Cr 2 = 2h = const , p 2 + r 2 = constТочка касания описывает и на плоскости и на эллипсоиде окружности. Это движение вокруг K называется регулярной прецессией.Замечание. О левоинввариантности лагранжиана волчка Эйлера и других левоинвариантныхлагранжианах.
(Обсудить!!!)Случай Лагранжа.A = B , ξ 0 = η0 = 0Т.е. тело динамически симметрично, и центр тяжести лежит на оси динамической симметрии.Выберем ориентацию главных осей инерции так, чтобы было ς 0 > 0 .Здесь четвертый интеграл уравнений Эйлера – это r = const .Будем случай Лагранжа исследовать в рамках Лагранжева формализма. Возьмем углы Эйлерав качестве обобщенных координат.Углы Эйлера (напоминание).ϕ - угол собственного вращения,ψ - угол прецессии,θ - угол нутации1( Ap 2 + Aq 2 + Cr 2 ) + mglγ ς2Здесь l = ς 0 - расстояние от центра тяжести до O . Используя кинематические формулы Эйлераp = ψ& sin ϕ sin θ + θ& cos ϕq = ψ& cos ϕ sin θ − θ& sin ϕЛагранжиан L = T − V =r = ϕ& + ψ& cosθи то, что γ ς = − cosθ , находим, что Лагранжиан волчка Лагранжа равенL=1 &2A(θ + ψ& 2 sin 2 θ ) + C (ϕ& + ψ& cos θ ) 2 − mgl cos θ2Циклические координаты: ϕ и ψ .
Циклические интегралы:∂L= C (ϕ& + ψ& cosθ ) = kς = const∂ϕ&∂L= Aψ& sin 2 θ + C ψ& cos 2 θ + Cϕ& cosθ = k z = const&∂ψ(*-1)(*-2)17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-6Их механический смысл ясен из обозначений. kς - проекция кинетического момента на подвижнуюось Oς . k z - проекция кинетического момента на неподвижную вертикальную ось Oz .Понижаем по Раусу. Из (*) находим Из (*) находимAψ& sin 2 θ = k z − kς cosθ , ψ& =k z − kς cosθA sin 2 θ(**)k ς21 &2 1&Aθ + ψ (k z − kς cosθ ) +− kς ϕ& − k zψ& =22Ck ς21 &2 111= Aθ − ψ& k z − kς (ψ& cosθ + ϕ& ) − kς ϕ& +=2222Ck ς21 &2 11 kς 1&&= Aθ − ψ k z − kς− kς ϕ +=C222 C 2k ς2111= Aθ& 2 − k zψ& − kς ϕ& +2222CR = L − kς ϕ& − k zψ& =Подставим (**) иϕ& =kςk(k − kς cosθ ) cosθ− ψ& cosθ = ς − zCCA sin 2 θИ отбросим постоянные.
Получим1 & 2 1 k z − kς cosθ 1 (k z − kς cosθ ) cosθ+ kς=Aθ − k z22A sin 2 θ2A sin 2 θ211 (k z − kς cosθ )= Aθ& 2 −22A sin 2 θR=Итак,(k − k cosθ )1R = Aθ& 2 − Vэфф (θ ) , Vэфф = z ς 2+ mgl cosθ22 A sin θ2Получили систему с одной степенью свободы. Интеграл энергии1 &2Aθ + Vэфф (θ ) = h = const2Поведение эффективного потенциала Vэфф (θ ) .
Из четности заключаем, что функцию Vэфф (θ ) достаточно исследовать на интервале (0,π ) . При θ → +0 и θ → −π имеем Vэфф → +∞ . Значит Vэффдостигает минимума на (0,π ) .Замечание. Мы здесь не рассматриваем критические случаи kς = ± k z .Покажем, что на отрезке (0,π ) функция Vэфф имеет не более одной критической точки. Рассмотримf (u ) =(k z − kς u ) 2+ mglu2 A(1 − u 2 )где u = cosθ ∈ (−1, 1) . Это дробно линейная функция видаAAf (u ) = A0 + A1u + 2 + 31− u 1+ uДробная часть имеет монотонную производную по u ∈ (−1, 1) , растущую от −∞ до + ∞ .