TM-16 (Лекции)
Описание файла
Файл "TM-16" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 16-Инвариантная мера. PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
16-Инвариантная мера-1Лекция 16-1Инвариантная мера.Рассмотрим дифференциальное уравнение x& = f (x) , x ∈ M , где M - гладкое многообразие.Определение. Мера µ на фазовом пространстве M уравнения x& = f (x) , x ∈ M называетсяинвариантной, если для любой области D на M и любого t ∈ R из некоторой окрестности нуля выполнено∫ dµ = ∫ dµ .g t (D)Dгде g t - локальный фазовый поток дифференциального уравнения (т.е.
преобразование сдвига потраекториям).Мы будем рассматривать только меры с гладкой плотностью:dµ = ρ ( x)dx1 ∧ K ∧ dxn , n = dim M , ρ ( x) > 0Напомним, что в других координатах, ( x ↔ y ( x) ), плотность равна ∂y ∂y ρ ( x) , где det - якобиан преобразования ∂x ∂x ρ y ( y ( x)) = detи∫ ρ dy = ∫ ρ dy = ∫ ρyDyxDxDxy ∂y ( y ( x)) det dx ∂x Отсюда видно, что неравенство ρ ( x) > 0 сохраняется лишь при заменах координат, сохраняющих ориентацию. В сущности важно, что ρ гладкая и знакопостоянная.Теорема.
(Лиувилль) Гладкая функция ρ : M → R является плотностью инвариантной мерыдля уравнения x& = f ( x) тогда и только тогда, когдаdiv( ρf ) = 0(*)(в любых локальных координатах).Напомним, что в координатах x div( g ( x)) =∂g∑ ∂xfi .iЛемма. Пусть B(ε ) - квадратная матрица, непрерывно зависящая от параметра ε , и A квадратная матрицы той же размерности. Тогда, ε → 0а) det( A + εB(ε )) = det A + O(ε ) , или, иначе говоря,det( A + O(ε )) = det A + O(ε )б) det( E + εB (ε )) = 1 + εtr ( B (0)) + O(ε 2 )dв) Существует(det( E + εB(ε ))) = tr ( B(0))dt ε = 0trB - след матрицы B - сумма ее диагональных элементов E - единичная матрица.Доказательство. Поскольку εB(ε ) = O(ε ) , то сразу а) следует из определения определителя.Докажем б).1 + εb11 (0) + O(ε ) K εb1n (0) + O(ε ) KKKdet( A + εB(ε )) = det εb (0) + O(ε ) K 1 + εb (0) + O(ε ) n1nnВсе члены этого определителя, кроме произведения диагональных элементов дадут O(ε 2 ) . А произведение диагональных элементов таково∏ (1 + εb11(0) + O(ε )) = 1 + ε ∑ bii + O (ε 2 )16-Инвариантная мера-2в) очевидное следствие б).
Лемма доказана.Доказательство теоремы. ρ плотность инвариантной меры ⇔ ∀Dddt∫ ρdx ∧ K ∧ dx1n=0t =0 g t ( D)“Разметим” точки области g t (D) точками области D . Это можно рассматривать как замену координат в области D : x ↔ y ( x) = g t ( x) . Используя формулу замены переменных под интегралом, получаем ∂g t ( x) ρ ( g t ( x))dx1 ∧ K ∧ dxn∂x∫ ρdx1 ∧ K ∧ dxn = ∫ detg t (D)DСледовательно, ρ плотность инвариантной меры тогда и только тогда, когда ∂g t ( x) t det ∂x ρ ( g ( x)) ≡ 0t =0 ∂g t∂ft2= E + t + O(t 2 ) .
ЗначитТ.к. g ( x) = x + f ( x)t + O(t ) , то∂x∂xt∂g∂f ∂fdet= det E + t + O(t 2 ) = 1 + tr t + O(t 2 )∂x∂x ∂xddt∂f∂g t= 1 + t divf + O(t 2 )Поскольку tr= divf , то det∂x∂xt∂f jd ∂g ( x) ∂ρt det=∑ρ(g(x))f+ρ= divρf∑jdt t =0 ∂x ∂x∂xjjТеорема доказана.Следствие. Если divf = 0 , то мера с постоянной единичной плотностью инвариантна.Замечание. По теореме о выпрямлении векторного поля. Локально в окрестности неособойточки существует бесконечное число инвариантных мер. Далеко не всякая система обладает глобальной инвариантной мерой.
Даже локально в окрестности особой точки инвариантной меры можетне быть.Пример. x& = − xДопустим, есть инвариантная мера с плотностью ρ , тогда 0 =d ( ρ x)dρ=ρ+x. Отсюда, приdxdxx = 0 получаем ρ (0) = 0 . Но ρ ( x) = 0 - является решением этого дифференциального уравнения.По теореме о единственности решения – другого решения нет.Задача.
Докажите, что в нестационарном случае, когдаρ (t , x) инвариантна тогда и только тогда, когда∂ρ+ div( ρf ) ≡ 0∂tx& = f (t , x) . Мера с плотностью(**)Решение. (Решить!!!)Задача. Докажите, что условие (**) эквивалентно условиюdln ρ = divf . Производная беdtрется в силу системы x& = f (t , x) .Решение. (Решить!!!)Задача.
Докажите, что если x 0 - особая точка системы x& = f (t , x) (т.е. f (t , x 0 ) ≡ 0 ), то длясуществования инвариантной меры в ее окрестности необходимо, чтобы divf (t , x 0 ) ≡ 0 .Решение. (Решить!!!)16-Инвариантная мера-3Задача. Выведите из предыдущего утверждения, что у системы &x& = − sin x + αx& при α ≠ 0 неможет быть инвариантной меры.
(Это математический маятник с вязким трением.)Решение. (Решить!!!)Пусть система уравнений имеет первый интеграл F ( x) и инвариантную меру с плотностьюρ . Систему можно ограничить на многообразие (поверхность) уровня этого интегралаM c = {x ∈ M : F ( x) = c = const}Теорема. Если на M c dF ≠ 0 , то ограничение исходной системы на M c имеет инвариантную меру с гладкой плотностью.
Соответствующая дифференциальная (n − 1) -форма есть ограничение на M c формы λ такой, что λ ∧ dF = ρdx1 ∧ K ∧ dxn .Замечание. Указанное равенство определяет λ неоднозначно, с точностью до добавленияформы вида ν ∧ dF , где ν - любая (n − 2) -форма. Но ограничение λ |M c определено однозначно.Доказательство теоремы. Будем считать, что координаты x1 , …, xn выбраны так, чтоxn = F . (Поскольку dF ≠ 0 , то по теореме о неявной функции это можно сделать в окрестности любой точки M c ). Т.к. xn - первый интеграл, то f ( xn ) ≡ 0 .
Уравнение для λ приобретает видλ ∧ dxn = ρdx1 ∧ K ∧ dxn . Следовательно,λ = ρdx1 ∧ K ∧ dxn −1 + ν ∧ dxnx1 , …, xn −1 - локальные координаты на M c .λ |M c = ρdx1 ∧ K ∧ dxn −1 , f |M c = f ( x1 , K, xn −1 ,0)Согласно теореме Лиувилля, для исходной системы div( ρf ) ≡ 0 .
Т.к. xn первый интеграл, то f n ≡ 0 .Поэтомуn −1∂∂(ρ f j ) = ∑(ρ f j )j =1 ∂x jj =1 ∂x jn0≡∑Следовательно, по теореме Лиувилля, λ |M c инвариантна.Задача. Доказать аналогичный факт в случае нескольких независимых первых интегралов.Решение. (Решить!!!)Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.Определение. Система x& = f (x) называется интегрируемой в квадратурах, если дано семей-ство функций gi (x) , i = 1 ,…, k таких, что любое решение системы может быть получено из этогосемейства с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирований и нахождения первообразных.Утверждение. Если система n -го порядка имеет n − 1 всюду независимых первых интегралов F1 ,…, Fn −1 , то она интегрируема в квадратурах.Доказательство.
Любое решение лежит на некотором совместном уровне интегралов{x ∈ M : F1 = c1 ,K, Fn −1 = cn −1} . В силу независимости интегралов эта гладкая кривая (или некоторыйнабор гладкий кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения.Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой x j и находится путем решения системы уравнений F1 = c1 , K , Fn −1 = cn −1 относительно координат xk , k ≠ j . После этого зависимость x j (t ) находится из уравнения x& j = f j ( x1 ( x j ), x2 ( x j ),K, x j ,K xn ( x j )) в котором переменныеразделяются. Затем находятся xk (t ) , k ≠ j .Теорема.
(Якоби) (Теорема Якоби о последнем множителе.) Для интегрирования в квадратурах системы x& = f ( x) , имеющей инвариантную меру с гладкой плотностью ρ ( x) > 0 , достаточноn − 2 независимых первых интеграла.16-Инвариантная мера-4Доказательство. Сначала рассмотрим случай n = 2 . Рассмотрим дифференциальную формуω = − ρf 2 dx1 + ρf1dx2 . Ее дифференциал ∂∂dω = ( ρf 2 ) +( ρf1 ) dx1 ∧ dx2 = div( ρf ) dx1 ∧ dx2 ≡ 0∂x1 ∂x2Форма ω замкнута, значит локально она является дифференциалом некоей функцииω = − ρf 2 dx1 + ρf1dx2 = dF ( x1 , x2 )т.е.∂F∂F= − ρf 2 ,= ρf1∂x2∂x1Функция F - первый интеграл.
Действительно,∂F∂FF& =f1 +f2 = 0∂x1∂x2По предыдущей теореме, система интегрируема в квадратурах.При n > 2 сначала ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.Доказательство завершено.Замечание. Позже мы увидим, что все натуральные Лагранжевы системы обладают инвариантной мерой.Теорема Пуанкаре о возвращении.Пусть M пространство с мерой µ и g : M → M измеримое отображение.Говорят, что отображение g сохраняет меру, если для любого измеримого D ⊆ M , (имеющего конечную меру) выполнено µ ( D) = µ ( g −1 ( D)) .
Где g −1 ( D) - это прообраз D при отображении g .Мы будем рассматривать случай, когда g - это взаимно-однозначное отображение и меравсего M конечна ( µ ( M ) < ∞ ).Пример - g = g τ - сдвиг за время τ вдоль решений системы x& = f ( x) , для которой мера µинвариантна.Часто берут отображение за период, g = g τ если x& = f (t , x) , где зависимость от t периодическая с периодом τ .Рассмотрим теперь последовательность отображений g , g 2 ,…, g n ,…Теорема. (Теорема Пуанкаре о возвращении) Пусть g - взаимно-однозначное отображениеg : M → M , сохраняющее меру и мера всего M конечна.
Тогда для любого подмножестваD ⊆ M , имеющего положительную меру ( µ ( D) > 0 ) существуют точка x ∈ D и натуральное числоn ∈ N такие, что g n ( x) = x . (Т.е. найдется точка которая будет периодически возвращаться в D ).Доказательство.Рассмотрим множества D , g ( D) , g 2 ( D ) .