TM-16 (Лекции)

PDF-файл TM-16 (Лекции) Теоретическая механика (53398): Лекции - 7 семестрTM-16 (Лекции) - PDF (53398) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

Файл "TM-16" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 16-Инвариантная мера. PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

16-Инвариантная мера-1Лекция 16-1Инвариантная мера.Рассмотрим дифференциальное уравнение x& = f (x) , x ∈ M , где M - гладкое многообразие.Определение. Мера µ на фазовом пространстве M уравнения x& = f (x) , x ∈ M называетсяинвариантной, если для любой области D на M и любого t ∈ R из некоторой окрестности нуля выполнено∫ dµ = ∫ dµ .g t (D)Dгде g t - локальный фазовый поток дифференциального уравнения (т.е.

преобразование сдвига потраекториям).Мы будем рассматривать только меры с гладкой плотностью:dµ = ρ ( x)dx1 ∧ K ∧ dxn , n = dim M , ρ ( x) > 0Напомним, что в других координатах, ( x ↔ y ( x) ), плотность равна ∂y  ∂y  ρ ( x) , где det  - якобиан преобразования ∂x  ∂x ρ y ( y ( x)) = detи∫ ρ dy = ∫ ρ dy = ∫ ρyDyxDxDxy ∂y ( y ( x)) det dx ∂x Отсюда видно, что неравенство ρ ( x) > 0 сохраняется лишь при заменах координат, сохраняющих ориентацию. В сущности важно, что ρ гладкая и знакопостоянная.Теорема.

(Лиувилль) Гладкая функция ρ : M → R является плотностью инвариантной мерыдля уравнения x& = f ( x) тогда и только тогда, когдаdiv( ρf ) = 0(*)(в любых локальных координатах).Напомним, что в координатах x div( g ( x)) =∂g∑ ∂xfi .iЛемма. Пусть B(ε ) - квадратная матрица, непрерывно зависящая от параметра ε , и A квадратная матрицы той же размерности. Тогда, ε → 0а) det( A + εB(ε )) = det A + O(ε ) , или, иначе говоря,det( A + O(ε )) = det A + O(ε )б) det( E + εB (ε )) = 1 + εtr ( B (0)) + O(ε 2 )dв) Существует(det( E + εB(ε ))) = tr ( B(0))dt ε = 0trB - след матрицы B - сумма ее диагональных элементов E - единичная матрица.Доказательство. Поскольку εB(ε ) = O(ε ) , то сразу а) следует из определения определителя.Докажем б).1 + εb11 (0) + O(ε ) K εb1n (0) + O(ε ) KKKdet( A + εB(ε )) = det  εb (0) + O(ε ) K 1 + εb (0) + O(ε ) n1nnВсе члены этого определителя, кроме произведения диагональных элементов дадут O(ε 2 ) . А произведение диагональных элементов таково∏ (1 + εb11(0) + O(ε )) = 1 + ε ∑ bii + O (ε 2 )16-Инвариантная мера-2в) очевидное следствие б).

Лемма доказана.Доказательство теоремы. ρ плотность инвариантной меры ⇔ ∀Dddt∫ ρdx ∧ K ∧ dx1n=0t =0 g t ( D)“Разметим” точки области g t (D) точками области D . Это можно рассматривать как замену координат в области D : x ↔ y ( x) = g t ( x) . Используя формулу замены переменных под интегралом, получаем ∂g t ( x)  ρ ( g t ( x))dx1 ∧ K ∧ dxn∂x∫ ρdx1 ∧ K ∧ dxn = ∫ detg t (D)DСледовательно, ρ плотность инвариантной меры тогда и только тогда, когда  ∂g t ( x) t det  ∂x  ρ ( g ( x))  ≡ 0t =0 ∂g t∂ft2= E + t + O(t 2 ) .

ЗначитТ.к. g ( x) = x + f ( x)t + O(t ) , то∂x∂xt∂g∂f ∂fdet= det  E + t  + O(t 2 ) = 1 + tr t + O(t 2 )∂x∂x ∂xddt∂f∂g t= 1 + t divf + O(t 2 )Поскольку tr= divf , то det∂x∂xt∂f jd   ∂g ( x) ∂ρt det=∑ρ(g(x))f+ρ= divρf∑jdt t =0   ∂x ∂x∂xjjТеорема доказана.Следствие. Если divf = 0 , то мера с постоянной единичной плотностью инвариантна.Замечание. По теореме о выпрямлении векторного поля. Локально в окрестности неособойточки существует бесконечное число инвариантных мер. Далеко не всякая система обладает глобальной инвариантной мерой.

Даже локально в окрестности особой точки инвариантной меры можетне быть.Пример. x& = − xДопустим, есть инвариантная мера с плотностью ρ , тогда 0 =d ( ρ x)dρ=ρ+x. Отсюда, приdxdxx = 0 получаем ρ (0) = 0 . Но ρ ( x) = 0 - является решением этого дифференциального уравнения.По теореме о единственности решения – другого решения нет.Задача.

Докажите, что в нестационарном случае, когдаρ (t , x) инвариантна тогда и только тогда, когда∂ρ+ div( ρf ) ≡ 0∂tx& = f (t , x) . Мера с плотностью(**)Решение. (Решить!!!)Задача. Докажите, что условие (**) эквивалентно условиюdln ρ = divf . Производная беdtрется в силу системы x& = f (t , x) .Решение. (Решить!!!)Задача.

Докажите, что если x 0 - особая точка системы x& = f (t , x) (т.е. f (t , x 0 ) ≡ 0 ), то длясуществования инвариантной меры в ее окрестности необходимо, чтобы divf (t , x 0 ) ≡ 0 .Решение. (Решить!!!)16-Инвариантная мера-3Задача. Выведите из предыдущего утверждения, что у системы &x& = − sin x + αx& при α ≠ 0 неможет быть инвариантной меры.

(Это математический маятник с вязким трением.)Решение. (Решить!!!)Пусть система уравнений имеет первый интеграл F ( x) и инвариантную меру с плотностьюρ . Систему можно ограничить на многообразие (поверхность) уровня этого интегралаM c = {x ∈ M : F ( x) = c = const}Теорема. Если на M c dF ≠ 0 , то ограничение исходной системы на M c имеет инвариантную меру с гладкой плотностью.

Соответствующая дифференциальная (n − 1) -форма есть ограничение на M c формы λ такой, что λ ∧ dF = ρdx1 ∧ K ∧ dxn .Замечание. Указанное равенство определяет λ неоднозначно, с точностью до добавленияформы вида ν ∧ dF , где ν - любая (n − 2) -форма. Но ограничение λ |M c определено однозначно.Доказательство теоремы. Будем считать, что координаты x1 , …, xn выбраны так, чтоxn = F . (Поскольку dF ≠ 0 , то по теореме о неявной функции это можно сделать в окрестности любой точки M c ). Т.к. xn - первый интеграл, то f ( xn ) ≡ 0 .

Уравнение для λ приобретает видλ ∧ dxn = ρdx1 ∧ K ∧ dxn . Следовательно,λ = ρdx1 ∧ K ∧ dxn −1 + ν ∧ dxnx1 , …, xn −1 - локальные координаты на M c .λ |M c = ρdx1 ∧ K ∧ dxn −1 , f |M c = f ( x1 , K, xn −1 ,0)Согласно теореме Лиувилля, для исходной системы div( ρf ) ≡ 0 .

Т.к. xn первый интеграл, то f n ≡ 0 .Поэтомуn −1∂∂(ρ f j ) = ∑(ρ f j )j =1 ∂x jj =1 ∂x jn0≡∑Следовательно, по теореме Лиувилля, λ |M c инвариантна.Задача. Доказать аналогичный факт в случае нескольких независимых первых интегралов.Решение. (Решить!!!)Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.Определение. Система x& = f (x) называется интегрируемой в квадратурах, если дано семей-ство функций gi (x) , i = 1 ,…, k таких, что любое решение системы может быть получено из этогосемейства с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирований и нахождения первообразных.Утверждение. Если система n -го порядка имеет n − 1 всюду независимых первых интегралов F1 ,…, Fn −1 , то она интегрируема в квадратурах.Доказательство.

Любое решение лежит на некотором совместном уровне интегралов{x ∈ M : F1 = c1 ,K, Fn −1 = cn −1} . В силу независимости интегралов эта гладкая кривая (или некоторыйнабор гладкий кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения.Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой x j и находится путем решения системы уравнений F1 = c1 , K , Fn −1 = cn −1 относительно координат xk , k ≠ j . После этого зависимость x j (t ) находится из уравнения x& j = f j ( x1 ( x j ), x2 ( x j ),K, x j ,K xn ( x j )) в котором переменныеразделяются. Затем находятся xk (t ) , k ≠ j .Теорема.

(Якоби) (Теорема Якоби о последнем множителе.) Для интегрирования в квадратурах системы x& = f ( x) , имеющей инвариантную меру с гладкой плотностью ρ ( x) > 0 , достаточноn − 2 независимых первых интеграла.16-Инвариантная мера-4Доказательство. Сначала рассмотрим случай n = 2 . Рассмотрим дифференциальную формуω = − ρf 2 dx1 + ρf1dx2 . Ее дифференциал ∂∂dω = ( ρf 2 ) +( ρf1 ) dx1 ∧ dx2 = div( ρf ) dx1 ∧ dx2 ≡ 0∂x1 ∂x2Форма ω замкнута, значит локально она является дифференциалом некоей функцииω = − ρf 2 dx1 + ρf1dx2 = dF ( x1 , x2 )т.е.∂F∂F= − ρf 2 ,= ρf1∂x2∂x1Функция F - первый интеграл.

Действительно,∂F∂FF& =f1 +f2 = 0∂x1∂x2По предыдущей теореме, система интегрируема в квадратурах.При n > 2 сначала ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.Доказательство завершено.Замечание. Позже мы увидим, что все натуральные Лагранжевы системы обладают инвариантной мерой.Теорема Пуанкаре о возвращении.Пусть M пространство с мерой µ и g : M → M измеримое отображение.Говорят, что отображение g сохраняет меру, если для любого измеримого D ⊆ M , (имеющего конечную меру) выполнено µ ( D) = µ ( g −1 ( D)) .

Где g −1 ( D) - это прообраз D при отображении g .Мы будем рассматривать случай, когда g - это взаимно-однозначное отображение и меравсего M конечна ( µ ( M ) < ∞ ).Пример - g = g τ - сдвиг за время τ вдоль решений системы x& = f ( x) , для которой мера µинвариантна.Часто берут отображение за период, g = g τ если x& = f (t , x) , где зависимость от t периодическая с периодом τ .Рассмотрим теперь последовательность отображений g , g 2 ,…, g n ,…Теорема. (Теорема Пуанкаре о возвращении) Пусть g - взаимно-однозначное отображениеg : M → M , сохраняющее меру и мера всего M конечна.

Тогда для любого подмножестваD ⊆ M , имеющего положительную меру ( µ ( D) > 0 ) существуют точка x ∈ D и натуральное числоn ∈ N такие, что g n ( x) = x . (Т.е. найдется точка которая будет периодически возвращаться в D ).Доказательство.Рассмотрим множества D , g ( D) , g 2 ( D ) .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее