TM-02 (Лекции)
Описание файла
Файл "TM-02" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 02-Кинематика точки. PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
02-Кинематика точки-1Лекция 02-1Кинематика точки.Первая механическая система, которую мы рассмотрим – это материальная точка в трехмерном пространстве E 3 . Формально движение точки – это непрерывное отображение интервала времени I в E 3 .f : I ⊆ Rt → E 3 , t → f (t ) ∈ E 3OrЕсли положение точки задано радиус-вектором r , то движение задается функцией t → r (t ) .
В координатах r (t ) = x(t )ex + y (t )e y + z (t )ez .Определение (Def.) Образ f ( I ) = γ ⊂ E 3 называется траекторией движения.Def. v (t ) = r& (t ) - скорость точки, a (t ) = &r&(t ) - ускорение точки.В координатахv (t ) = x& (t )ex + y& (t )ey + z& (t )ez , a (t ) = &x&(t )ex + &y&(t )ey + &z&(t )ezЗаметим, что здесь существенно используется неподвижность координатного репера Oex e y ez .Если v ≠ 0 , то в соответствующей точке определена касательная к траектории. Иначе, точкатраектории является особой.Задача.
Предложите такое движение, чтобы у траектории все точки были особые.Ответ. r (t ) = constПримеры1. Прямолинейное равномерное движение.γvoror (t ) = r0 + v0t , r0 , v0 = const , v = v0 ,a =0.2. Математический бильярд в области D (бильярд Биркгофа)Внутри области движение прямолинейное равномерное, а отскок от границы происходит по закону“угол падения равен углу отражения” с сохранением модуля скорости.Пусть n - единичная внутренняя нормаль к границе D в точке удара обозначим ∆v = v1 − v0 ,где v0 - скорость до удара, v1 - скорость после удара.Задача.
Показать, что ∆v = 2n < v0 , n > .Задача. Привести пример биллиарда и движения, у которого будет бесконечное число особыхточек (ударов) на конечном интервале времени.02-Кинематика точки-23. Движение точки по окружности в плоскости Oxy .Окружность параметризуем центральным углом ϕx = R cos ϕ , y = R sin ϕ , z = 0Движение точки задается функцией ϕ (t ) .Если ϕ& = const , то говорят, что точка совершает равномерное движение по окружности.Предупреждение. Не следует величину ϕ& называть угловой скоростью точки. Понятие угловой скорости связано с движением тела и будет дано позже. Лучше говорить о скорости измененияугловой координаты при движении точки по окружности.& x + ye& y + ze& zВычислим скорость: v = xex& = − R sin ϕ ϕ& , y& = R cos ϕ ϕ& , z& = 0& , где τ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey - единичный касательный вектор к окружности.v = RϕτВычислим ускорение: a = &&x ex + &&y ey + &&z ez&&x = − R cos ϕ ϕ& 2 − R sin ϕ ϕ&& , &&y = − R sin ϕ ϕ& 2 + R cos ϕ ϕ&& , &z& = 0a = Rϕ&&2τ + Rϕ& 2 n , где n = − cos ϕ ex − sin ϕ e y - внутренняя нормаль к окружности.Величина v = Rϕ& - это проекция скорости на положительно ориентированную касательную(длина вектора скорости со знаком).
Тогда& = vτ ,v = Rϕτa=v2n + v&τRv2n называется нормальным ускорением (или центростремительным). Слагаемое v&τСлагаемоеRназывается касательным ускорением.4. Циклоидальное движениеЗадача. Циклоида – это траектория точки обода колеса, катящегося по прямой без проскальзывания.Имеем PP′ = Rϕ , поэтомуx = Rϕ − R sin ϕ = R(ϕ − sin ϕ ) , y = R − R cos ϕ = R(1 − cos ϕ ) , z = 0Значитy = 0 при ϕ = 2πn , и y = 2 R при ϕ = π + 2πn , n = 0,±1,±2, KДифференцируя по времени, получаемx& = Rϕ& (1 − cos ϕ ) , y& = Rϕ& sin ϕ , z& = 0При ϕ = 2πn имеем v = 0 . Т.е.
нижние точки циклоиды – особые. В верхних точках ϕ = π + 2πnзначит v = 2 Rϕ&ex .Вычислим ускорения&x& = Rϕ&&(1 − cos ϕ ) + Rϕ& 2 sin ϕ , &y& = Rϕ&& sin ϕ + Rϕ& 2 cos ϕ , &z& = 0При ϕ = 2πn имеем a = Rϕ& 2e y . Т.е. в нижней точке ускорение направлено вверх.02-Кинематика точки-3Рассмотрим циклоиду в окрестности нижней точки P , т.е. при малых ϕ . Разлагая в ряд допервых значащих членов, получаемx=Rϕ36+ O(ϕ 5 ) , y = RЗаметим, что x 2 = R 2ϕ6ϕ22+ O(ϕ 4 )+ O(ϕ 8 ) и y 3 = R 3ϕ6368899y 3 = Rx 2 + O(ϕ 8 ) = Rx 2 + O( x 3 )22+ O(ϕ 8 ) . ОтсюдаОтсюда можно доказать, что особенность имеет видy=349R 23x + O( x 3 )2Это задача на домРешение. Выносим x 2 за скобки, тогдаy3 =8 −229 29Rx (1 + O( x 3 ) = Rx 2 (1 + O( x 3 ))22Отсюда21249R 239R 239R 23x (1 + O( x 3 )) 3 = 3x (1 + O( x 3 )) = 3x + O( x 3 )222Вопросы к материалу - Лекция 02-1.y=3••••••••Предмет классической механикиКинематика.Абсолютное пространство, система отсчета.Траектория, скорость, ускорение точки в пространстве.Прямолинейное равномерное движение.Бильярд в области на плоскости.Движение точки по окружности.Циклоидальное движение.Лекция 02-2Дифференциальная геометрия кривых в E 3 .Пусть γ - траектория движения точки в E 3 , и l - касательная прямая к γ в неособой точ-ке P .v- единичный касательный вектор.vУтверждение.
Определение корректно, т.е. не зависит от параметризации времени.Доказательство. Пусть траектория движения задается функцией r = r (t ) и s = s (t ) - новоевремя - возрастающая гладкая функция, т.е. s& > 0 . Тогда в окрестности того момента времени, когдаОпределение. τ =−1dt ds = > 0 . Произтраектория попадает в P , существует обратная функция t = t ( s ) . При этомds dt dводную по параметру s будем обозначать штрихом:() = ()′ . Тогда новая скорость:ds02-Кинематика точки-4r′ =dr dr dt &== r t′ds dt ds(*)отличается от старой положительным множителем. Следовательно, касательный вектор τ при новойпараметризации тот же самый. Доказательство закончено.Ускорение при новой параметризацииrr ′′ = &r&(t ′) 2 + r&t ′′(**)Определение.
Соприкасающейся плоскостью Π называется линейная оболочка натянутая навектора скорости и ускорения ( v и a ).Из (*) и (**) следует, что линейная оболочка натянутая на r& и &r& совпадает с линейной оболочкой, натянутой на r ′ и r ′′ , т.е. определение соприкасающейся плоскости Π корректно, если v иa неколлинеарны ( a b ).Замечание.1) При любой параметризации вектор ускорения a всегда лежит на соприкасающейся плоскости Π по одну сторону от касательного вектора τ . Это видно из (**). Т.к.
отклонение от направле-rния τ - это &r&(t ′) 2 и (t ′) 2 > 0 .2) Для прямолинейного движения соприкасающаяся плоскость Π не определена.Определение. s называется натуральным параметром, если r ′ ≡ 1 .Посколькуttt0t0dtdt> 0 , то r ′ = r&≡ 1 , и s выражается через произвольный параметр t так:dsdss = ∫ r& dt = ∫ vdt - это пройденный путь. Отсюда s& = v - скорость.r ′′= n ∈ Π - нормаль к кривой. Она называется главной нормалью.r ′′Доказательство. Первое равенство следует из определения τ и sВторое: Достаточно доказать, что τ ⊥ r ′′ . Дифференцируем по s равенство < r ′, r ′ >= 1 .
Получаем 2 < r ′, r ′′ >= 0 . Доказательство закончено.1Опрелделение. Величина r ′′ = k называется кривизной кривой, а = ρ - это радиус кривизkУтверждение. r ′ = τ ,ны.Кривизна пространственной кривой всегда неотрицательна k ≥ 0 .Из определения имеем τ ′ = kn , т.е. k - это модуль ускорения при движении с единичнойскоростью.Задача. Доказать, что для окружности1- это ее обычный радиус.kОсновная формула кинематики точки. Проекции ускорения на касательную и нормальПусть точка движется по гладкой кривой. Тогда в каждый момент времени ее скорость касается кривой, а ускорение лежит в соприкасающейся плоскости к кривой.
Более того, скорость и ускорение точки устроено таким же образом, как скорость и ускорение точки, которая двигалась бы посоприкасающейся окружности к кривой. Этот факт выражается в следующем утверждении.rТеорема. v = vτ , a = kv 2 n + v&τ• dr ••2 = (r ′s&) = (vτ ) = v&τ + vτ ′s& = v&τ + kv n dt Определение. Нормальное ускорение an = kv 2 , касательное ускорение aτ = v& .Доказательство. a = &r& = Определение.
Репер Френе – это τ , n , b = [τ , n ] . Другое название – естественный трехгранник..02-Кинематика точки-5τ - касательный вектор, n - главная нормаль, b - бинормаль.Формулы Френе.Теорема. (Формулы Френе).τ ′ = kn(1)n ′ = − kτ + ηb(2)b ′ = −ηn(3)(Величина η называется кручением кривой.)Доказательство. (1) – уже доказано.(2) Надо показать , что < n ′, n >= 0 , < n ′, τ >= −k , тогда обозначив < n ′, b >= η , получим (2).< n , n >= 1 , поэтому 0 =< n , n >′= 2 < n ′, n >< n , τ >= 0 , поэтому 0 =< n , τ >′=< n ′, τ > + < n , τ ′ >=< n ′, τ > + < n , kn > , т.е. < n ′, τ >= −kПокажем теперь (3). По определению b = [τ , n ] .
Отсюдаb ′ = [τ ′, n ] + [τ , n′] = [kn , n ] + [τ ,− kτ + ηb ] = −ηnДоказательство закончено.Формула для вычисления кривизны.Обычно вводить натуральный параметр сложно. Поэтому нужно уметь вычислять кривизнупри любой параметризации кривой. Пусть r = r (t ) - любая параметризация.Утверждение. k =Напоминание. k =[r& , &&r]r&3=[v , a ]v3.(***)anv2Доказательство. Имеем a = kv 2 n + v&τ , и v = vτ . Поэтому[v , a ] = [vτ , kv 2 n + v&τ ] = kv3[τ , n ] = kv3b .Вспомнив, что k ≥ 0 , получим нужное. Доказательство закончено.Задача.
Пример. Кривизна циклоиды.Положим ϕ ≡ t , тогда x = R(ϕ − sin ϕ ) x& = R(1 − cos ϕ ) &x& = R sin ϕ, , y = R(1 − cos ϕ ) y& = R sin ϕ &y& = R cos ϕОтсюда2v = 2 R 2 (1 − cos ϕ ) = 4 R 2 sin 2ϕ2,[v , a ] = R 2 (1 − cos ϕ ) = 2 R 2 sin 2ϕ202-Кинематика точки-6По формуле для кривизныk=v,av3=2 R 2 sin 28R 3 sin 3ϕ2 =ϕ214 R sinϕ, ρ=ϕ1= 4 R sin2k2Формула для вычисления кручения.Задача. Доказать формулу для кручения η =< [v , a ], a& >[v , a ]2[v , a ] = kv3b и a = v&τ + kv 2 n , поэтому< [v , a ], a& >=< kv3b , v&τ + vkn + (kv 2 ) n + kv 2 (− kτ + η b ) ==< kv3b, kv 2η b >= k 2v5ηРешение.подставив сюда (***) получим требуемоеЗадача. Найти кривизну и кручение винтовой линии.x = r cos t , y = r sin t , z = ht , h - шаг винта, r - радиус винтаrh, η= 2Ответ. k = 22r +hr + h2Итоги.
Подведем итоги кинематики точки. При движении точки скорость – касательна к еетраектории. Ускорение разлагается на касательную и нормальную составляющие. Касательная составляющая равна производной модуля скорости aτ = v&τ . Нормальная составляющая лежит в соприкасающейся плоскости и направлена к центру соприкасающейся окружности.
Ее величина такая же,как ускорение точки движущейся с постоянной скоростью по соприкасающейся окружностиan =v2ρn.Вопросы к материалу - Лекция 02-2.•••••••Касательный вектор.Соприкасающаяся плоскость.Натуральный параметрКривизна и радиус кривизны.Проекция ускорения на касательную и нормаль.Формулы Френе.Формулы для вычисления кривизны и кручения по кинематическим параметрам.