Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике

А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике, страница 8

PDF-файл А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике, страница 8 Классическая механика (53376): Лекции - 7 семестрА.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике: Классическая механика - PDF, страница 8 (53376) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "классическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

Рассмотрим 2 интеграла из системы (1∗∗ ). В осях ω1 ω2 ω3 онизадают 2 эллипсоида. Пусть h — фиксировано, k — меняется.1. k 2 < 2Ah. Тогда первый эллипсоид лежит внутри второго и они не пересекаются. Движение невозможно.2. k 2 = 2Ah. Тогда ω1 = ± Ak , ω2 = ω3 = 0.3. k 2 ∈ (2Ah, 2Bh). Область возможности движения — две окружности.4.

k 2 = 2Bh. Тогда ω2 = ± Bk , ω1 = ω3 = 0.5. k 2 ∈ (2Bh, 2Ch). Область возможности движения — две окружности.6. k 2 = 2Ch. Тогда ω3 = ± Ck , ω1 = ω2 = 0.7. k 2 > 2Ch. Тогда первый эллипсоид лежит вне второго и они не пересекаются. Движениеневозможно.3.3.3. Перманентные вращения волчка Эйлераω1 = ω = const, ω2 = ω3 = 0ω2 = ω = const, ω1 = ω3 = 0ω3 = ω = const, ω1 = ω2 = 0Перманентные вращения волчка Эйлера вокруг наибольшей и наименьшей полуосей эллипсоида инерции устойчивы, а вокруг средней оси — неустойчивы.3.3.4. Геометрическая интерпретация ПуансоТеорема 3.16. Эллипсоид инерции волчка Эйлера катится без скольжения по неподвижной плоскости, ортогональной вектору кинетического момента волчка.

Рассмотрим эллипсоид инерции. Σ = {r ∈ R3 : (JO r, r)}. Рассмотрим точку P пересечения мгновенной оси вращения Oω с Σ. Проведем через точку P плоскость π, касательную к Σ.Тогда v P = 0, так как P принадлежит мгновенной оси вращения.1OP = r P = λω ⇒ 1 = (JO r, r) = λ2 (JO ω, ω) = λ2 · 2h ⇒ λ = √ .2h(grad Σ)PJO r PJO ωKO===⇒ π ⊥ KO.|(grad Σ)P ||JO r P ||JO ω|k√JO ωλ · 2h2hdist(O, π) = (r P , nP ) = λ ω,=== constkkkПоэтому π неподвижна. π ⊥ np =393.3.5. Регулярные прецессии динамически симметричного волчкаЭйлера (A = B 6= C)Регулярная прецессия динамически симметричного ТТ — это такое движение ТТ, при котором оно вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии, которая вращаетсяс постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в абсолютном пространстве оси, причемугол между этой осью и осью симметрии постоянен.Теорема 3.17.

Общее движение динамически симметричного волчка Эйлера представляет собой регулярную прецессию (причем Oz = K o ). Пусть ось Oz неподвижной системы координат совпадает с K O . Из уравнений Эйлераследует, что ω3 = ω30 = const. Значит,−1kKz = Cω3 = Cω30 = k cos θ ⇒ cos θ == const .Cω30Воспользуемся кинематическими формулами Эйлера:ω1 = θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin θ sin ϕ,ω1 = ψ̇γ1 ,ω2 = −θ̇ sin ϕ + ψ̇ sin θ cos ϕ, ⇒ ω2 = ψ̇γ2 ,ω3 = ϕ̇ + ψ̇ cos θ.ω3 = ϕ̇ + ψ̇γ3 .Kx = Aω1 = Aψ̇ sin θ0 sin ϕ = kγ1 = k sin θ0 sin ϕKy = Aω2 = Aψ̇ sin θ0 cos ϕ = kγ2 = k sin θ0 cos ϕkk Cω30Cψ̇ = = Ω2 = const(sin θ0 6= 0); ω3 = ω30 = ϕ̇ +⇒ ϕ̇ = ω30 1 −= Ω1 = const .AA kA3.3.6. Волчок ЛагранжаТяжелое, динамически симметричное ТТ с неподвижной точкой.

В осях, связанных с теломs = (0, 0, c).(JO ω̇ + [ω, JO ω] = [γ, ∂V],∂γγ̇ + [ω, γ] = 0Проекция уравнения Эйлера на e3 дает C ω̇3 = 0. JO = diag(A, A, C), C 6= A. V = mg(s, γ) =mgcγ3 . Имеют место интегралы:1H = (JO ω, ω) + mgcγ3 = h,K = (JO ω, γ) = k,2Ω = ω3 = ω,Γ = γ 2 = 1.Перепишем их в углах Эйлера (θ, ψ, ϕ):11H = A(θ̇2 + ψ̇ sin2 θ) + C(ϕ̇ + ψ̇ cos θ)2 + mgc cos θ = h,22K = Aψ̇ sin2 θ + C(ϕ̇ + ψ̇ cos θ) cos θ = k,Ω = ϕ̇ + ψ̇ cos θ = ω.Замечание.

Если существует t0 (tπ ), такое что θ(t0 ) = 0 (θ(tπ ) = π), то k = Cω (k = −Cω).Тогда если k 6= ±Cω, то sin θ 6= 0, ∀ t.cos θ1. Пусть k 6= ±Cω, тогда ϕ̇ + ψ̇ cos θ = ω, Aψ̇ sin2 θ = k − Cω cos θ. Получаем ψ̇ = k−Cω.A sin2 θПоложим111 (k − cω cos θ)2Hk,Ω = Aθ̇2 + Vk,ω (θ) = h − Cω 2 ,Vk,ω = mgc cos θ +.222A sin2 θ403.3.7. Динамика твердого тела на горизонтальной плоскостиПусть дано выпуклое тело. S, x1 , x2 , x3 — центр масс и главные оси инерции тела (подвижнаясистема координат имеет центр в центре масс тела).

Оператор инерции JO и масса m заданы.Поверхность тела задается уравнением Σ : f (x) = 0. А само тело — Int Σ : f (x) 6 0. Пустьr S = OS, ρ = SK — радиус вектор точки касания тела с плоскостью, u = v K = v + [ω, ρ]. γ ортвосходящей вертикали. Запишем уравнения:d dt (mv) = mg + R;d(J ω) = [ρ, R];dt S(u, γ) =?Рассмотрим следующие модели:1. R = N γ — абсолютно гладкая плоскость2.

u = 0 — чистое качение (абсолютно шероховатая поверхность)3. R = Nγ − f N uu — сухое трение.Разберем их на примере шара радиуса a. В этом случае ρ = aγ ⇒ (v, γ) = 0. JS = 25 ma2 E.1. R = Nγ. Тогдаdmv = (N − mg)γ,dt2 2 dωma= 0.5dt(1)(2)dd(mv, γ) = m (v, γ) = 0 ⇒ ((1), γ) = 0 ⇒ N = mg.dtdtЗдесь мы пользовались тем, что dγ= 0. Таким образом,dtdv= 0 ⇒ v = v0;dtdω= 0 ⇒ ω = ω0dtПричем начальная скорость удовлетворяет условию (v 0 , γ) = 0. Итак, траекторией движения центра является прямая r = r 0 + v 0 t.2. u = 0.

Тогдаdmv = −mgγ + R,dt2 2 dωma= −a[γ, R].5dtu = 0 ⇒ v = [ρ; ω] = a[ω, γ]. Поэтому (1) и (2) переписываются в видеdωma, γ = R − mgγ,dtmadω5= − [γ, R].dt2Подставляем (1′ ) в (2′ ) имеем5[[R, γ]γ] = R − mgγ2⇒4155γ(R, γ) − R = R − mgγ22(1)(2)(1′ )(2′ )Поскольку из последнего равенства следует параллельность векторов R и γ, имеем R =Nγ ⇒ N = mgdvdω= 0;= 0 ⇒ ω = ω 0 , v = a[ω 0 , γ]dtdtТаким образом траектория, описываемая центром шара имеет уравнение r = r 0 + a[ω 0 , γ]t.u3.

R = Nγ − f N |u|. Тогдаdumv = (N − mg)γ − f N ,dtu2 2 dωuma= −af N[γ, ].5dtu(1)(2)Пусть e = uu . Тогда из ((1), γ) имеем N = mg и (u, γ) = 0.dv= −f ge,dt5 fgdω=[γ, e].dt2 a5557du= −f ge − f g[[γ, e], γ] = −f ge + f gγ(γ, e) − f ge(γ, γ) = − f ge ⇒dt2222dude7e + u = − f gedtdt2(1′ )(2′ )(3)Из того, что ( de, e) = 0, имеем, c учетом (3), de= 0, du= − 72 f g (Обе части последнегоdtdtdtdeравенства умножить скалярно на dt ). Поэтому имеемf gt22Отсюда, если v0 6 kr 0 , траектория — парабола, если v 0 kr0 , траектория — прямая.e = e0v = v 0 − e0 f gt; ⇒ r = r0 + v 0 t − e05 fg[γ, e0 ]t2 av 0 ke0 ⇔ [v0 u0 ] = 0 ⇔ (v 0 , ω 0 ) = 0.ω = ω0 +42.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее