Методические указания, страница 13

PDF-файл Методические указания, страница 13 Физическая химия (53363): Книга - 7 семестрМетодические указания: Физическая химия - PDF, страница 13 (53363) - СтудИзба2019-09-19СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Методические указания", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физическая химия" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 13 страницы из PDF

. Nk ) = N ln N − N −Ni ln Ni +Ni = N ln N −Ni ln Ni .iТогдаδ ln Ω = −Xiln Ni · δNi −iiXi52δNi .(3.5.4)В соответствии с общим методом поиска условных экстремумов введём в условия (3.5.2) неопределённые множители Лагранжа α и β: PPα · δNi = 0 δ(α · Ni ) = 0ii(3.5.5)⇒PP δ(β · Ni εi ) = 0β εi ·δNi = 0.iiОбъединяя (3.5.4) и (3.5.5), записываем условие экстремумаXδ ln Ω = −(ln Ni + 1 + α + β εi ) · δNi = 0 ⇒ ln Ni + 1 + α + β εi = 0 ⇒ Ni = const ·e−β εi .iТаким образом, вероятность того, что частица имеет энергию εi ,Ni= const ·e−β εi .NЕсли теперь увеличивать число k ячеек (и, соответственно, число возможных значенийэнергии), то в пределе k → ∞ получим непрерывное распределение частиц системы по энергиям с плотностью вероятностиZ−1−β ε−β ε(p,q)ρ(ε) = const ·e , const =edpdq,(3.5.6)wi =где p и q обозначают векторы импульса и координат одной частицы (будем придерживатьсятаких обозначений до конца этого параграфа).

По условиям модели в состоянии равновесиячастицы не могут переходить из одних ячеек в другие, то есть энергия каждой частицы постоянна и не зависит от энергий остальных частиц – они независимы, а потомуε(p, q) = εT (p) + εV (q).С учётом этого (3.5.6) полностью совпадает с (3.5.1), если положить β = (kT )−1 .С помощью (3.5.6) легко определить распределения частиц системы по координатам и импульсам.Барометрическая формула: считая, что εV (q) = mgz, получим плотность распределениячастиц по высоте в гравитационном поле (напряжённость поля направлена вдоль оси z)mgzZmg − mgze− kT dz· e kT=(3.5.7)ρz (z) = ρ(ε) d p dxdy = +∞R − mgzkTe kT0– барометрическую формулу.Распределение по скоростям: по аналогии с (3.5.7) найдём плотность распределения поp2компонентам импульса или скорости εT (p) =2mp2xe− 2mkT√ρpx (px ) =, ρvx (vx ) =2πmkTrmvx2m−· e 2kT ,2πkT(3.5.8)где учтено, что dwpx = ρpx dpx = mρpx dvx = dwvx = ρvx dvx ⇒ ρvx = mρpx .

Для того, чтобы найти распределение по абсолютным значениям импульса и скорости, перейдём в пространствеимпульсов к сферическим координатам; тогда d p = p2 sin θ dp dθ d ϕ, иp2e− 2mkT · p2Zρp (p) =ρ(ε) d q dθd ϕ =+∞R−ep22mkT·p2 dp053=p24π3(2πmkT ) 2· e− 2mkT · p2 ;(3.5.9)здесь использован один из табличных интеграловrZ+∞Z+∞π(2n−1)!!n!22e−ax x2n dx =e−ax x2n+1 dx = n+1 .,n2n+12a2a−∞(3.5.10)0Из (3.5.9) непосредственно следует распределение по скоростямρv (v) = 4π m 3mv 22· e− 2kT · v 2 ,2πkT(3.5.11)известное как распределение Максвелла.Определим среднее значение скорости частицы:rZ+∞ m 3 Z+∞ mv28kT2−3v=vρv dv = 4π·e 2kT · v dv =,2πkTπm0(3.5.12)0где вновь использован один из интегралов (3.5.10).

Среднее значение квадрата скоростиZ+∞ m 3 Z+∞ mv23kT22.v2 =v ρv dv = 4π·e− 2kT · v 4 dv =2πkTm0(3.5.13)0Наиболее вероятная скорость vw (положение максимума ρv ) определяется нулём производной ρv :r m 32 m mvw22kT2 − mv02ρv = 4π·e 2kT · 2v + v · −2v ·=0⇒= 1 ⇒ vw =. (3.5.14)2πkT2kT2kTmРаспределение по кинетическим энергиям:rr√mmd εT ⇒ ρεT =ρp .p = 2m εT ⇒ dp =2 εT2 εTПодставляя (3.5.9), получимρεT = p2εTπ(kT )3· e− kT ·√εT .(3.5.15)Средние значения легко вычислить с помощью (3.5.10)Z+∞Z+∞ εT23kT 2153/2εT =εt ρεt d εt = p·e− kT εT d εT =, εT = (kT )2 .24π(kT )30(3.5.16)0Соответственно, дисперсия (средняя квадратичная флуктуация) кинетической энергии и относительное отклонение кинетической энергии от среднего значения (относительная флуктуация)r√3∆ε2T∆ εT = ε2T − εT 2 = (kT )2 , δ εT ==.2εT3В модели Больцмана частицы независимы (в частности, статистически), поэтому для системыв целомr√3Nδ εTN · ∆ εT22∆ET = N · ∆ εT =(kT ) , δET ==√ =.2N εT3NN54Числа столкновений: пусть ось x направлена перпендикулярно к стенке сосуда, причёмположительным является направление к стенке.

Тогда в единицу времени с единицей площадистенки сталкиваются все частицы, имеющие скорость vx > 0 и попадающие в цилиндр с единичным основанием и высотой vx . Таким образом, число столкновений на единицу площадистенки сосуда в единицу времениrZ+∞Z+∞NNNvkTN ρvxvx ρvx dvx =dvx =··=,(3.5.17)νw =vx ·VVV2πm4V00N– плотность, а интегрирование проводится только по положиVтельным значениям vx , поскольку частицы с vx < 0 движутся от стенки. Если частицы испытывают упругие соударения со стенкой, то каждая частица передаёт стенке импульс 2mvx .Значит, импульс, переданный единице поверхности стенки в единицу времени (давление),Z+∞N kTNp = 2m ··vx2 ρvx dvx =⇒ pV = N kT(3.5.18)VVгде использовано (3.5.8),0– уравнение состояния газа Больцмана, совпадающее в уравнением состояния идеальногогаза (1.2.1), если положить R = NA k. Подробнее об идеальных газах – в главе 4.Наконец, определим число столкновений частиц друг с другом; для этого, вначале, запишем кинетическую энергию двух частиц через относительную скорость их движения.

Пустьчастицы с массами m1 и m2 имеют координаты q1 и q2 , а q = q1 − q2 . Поместим начало координат в центр масс, тогда новые координаты22m1m1 q˙01m2 q˙02m0 q̇2m1 m2m20q, q2 = −q, εT,1 + εT,2 =+=, m0 ==m1 + m2m1 + m2222m1 + m2– приведённая масса. Если рассматривать движение всех частиц системы относительно какойто одной, то распределение по относительным скоростям v 0 будет, очевидно, совпадать с(2.1.15), но масса m заменится на приведённую m0 . Значит,r3m0 (v 0 )228kTm0−02.(3.5.19)· e 2kT · (v ) ⇒ v 0 =ρv0 = 4π2πkTπm0Для того, чтобы найти число столкновений, необходимо действовать по аналогии с (3.5.17),однако теперь необходимо учесть, что частицы имеют определённый размер.

Пусть, для простоты, это сферы, причём нас интересуют столкновения частиц радиуса r1 с частицами радиуса r2 . В момент столкновения расстояние между центрами частиц составляет (r1 + r2 ); значит,столкновение произойдёт в том случае, когда центр одной частицы попадёт в цилиндр, основание которого имеет радиус (r1 + r2 ), а высота равна v 0 . Если число частиц одного сорта равноN1 , а другого сорта N2 , тоrZ+∞NNNN8πkTN21212·π(r1 +r2 )2 ·v 0 =··(r1 +r2 )2 . (3.5.20)νm = N1 · ·π(r1 +r2 )2 · v 0 ρv0 dv 0 =VVVm0q010mЕсли же газ состоит из частиц одного сорта, то m0 =и2r2N 2 d2πkTνm =·,(3.5.21)Vm1где d – диаметр частиц, а также добавлен множитель , поскольку каждое столкновение учте2но дважды.553.6.Распределения Ферми-Дирака и Бозе-ЭйнштейнаРаспределение Больцмана является распределением независимых (невзаимодействующих)частиц в классическом случае. Получим аналогичное распределение для квантового случая– считая, что каждая частица системы имеет дискретный энергетический спектр.

Частицыне взаимодействуют, поэтому энергии уровней не зависят от их заселённостей. Заполнениеуровней частицами происходит с учётом спина – для фермионов (частиц с полуцелым спином)действует принцип запрета Паули, не позволяющий двум частицам (с одинаковой проекцией спина) находиться на одном энергетическом уровне; для бозонов (частиц с целым спином)запретов на заполнение уровней нет.Распределение Ферми-Дирака (распределение невзаимодействующих фермионов): каждый энергетический уровень можно рассматривать как отдельную систему, подчиняющуюсябольшому каноническому распределению.

Если εk – энергия k-го уровня, а nk – его заселённость, то большая сумма по состояниям (3.3.8) для k-го уровняΞk =Xeµnk −εk nkkT=1+eµ−εkkT ,nkпоскольку для фермионов разрешены только значения nk = 0, 1.Согласно (3.4.5) средняя заселённость уровняh nk i = kT∂ ln Ξk∂µe=µ−εkkTµ−εke kTT,V1=+11+eεk −µkT(3.6.1)– распределение Ферми-Дирака.Распределение Бозе-Эйнштейна (распределение невзаимодействующих бозонов): сохраняя использованные обозначения, запишемΞk =+∞Xe(µ−εk )nkkT1=µ−εke kT1−nk =0,где ряд просуммирован как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (εk ≥ 0, поэтому выполнение условия eзом,µ−εkkT< 1 всегда можно обеспечить, выбирая µ ≤ 0).

Таким обраh nk i = kT∂ ln Ξk∂µe=µ−εkkT1−T,Vµ−εke kT=1εk −µe kT(3.6.2)−1– распределение Бозе-Эйнштейна.Переход к распределению Больцмана: легко заметить, что распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна сводятся к распределению Больцмана в случае eh nk i =1µ−εke− kT=±1eµ−εkkT1±µ−εke kTµ−εkT 1, посколькуεk≈ const ·e− kT ,где знак "плюс" относится к распределению фермионов, а "минус" – бозонов.Определим условия перехода к классическому распределению. Если энергетические уровни расположены достаточно близко друг к другу, то они могут быть описаны как непрерывныйспектр. При этом число частиц, имеющих энергию ε,dN (ε) = h nk i(ε) · dΩ(ε),56(3.6.3)где dΩ(ε) – число состояний с энергией ε . Переходя к элементу объёма Γ-пространства (вообще говоря, речь идёт об одной частице, то есть Γ-пространство совпадает с M -пространством – обозначение Γ сохранено для общности) с помощью (3.2.1) и считая, что eполучимµ−ε111dN (ε) = 3 · ε −µ· dΓ(ε) ≈ 3 · e kT · dΓ(ε).h e kT ± 1hµ−εkT 1,√p2, то есть p = 2m ε.2mПереходя к сферическим координатам в пространстве импульсов, вычислим элемент объёмаΓ-пространства, отвечающий энергии εДля частицы, потенциальная энергия которой равна нулю, ε =πZdΓ(ε) =dpdq =Z2πZ2Zdq−sin θ dθπ2Zp2 dp = 4πV ·dϕ0√2m ε · p dp.√p= 2m εУчитывая, что p dp = m d ε, получимdΓ(ε) = 4πV ·√µ−ε3√2πV2m ε · md ε, dN (ε) = 3 · e kT · (2m) 2 ε d ε, N =hZdN (ε).(3.6.4)Делая замену z 2 = ε, вычислим интегралN=4πVh33· (2m) 2µ· e kT33Z+∞µz22πmkT 2V 2πmkT 2 e kT ⇒ µ = −kT ln .e− kT z 2 dz = V2hNh20Для перехода к классическому распределению необходимо, чтобыµe− kTV1⇒·N2πmkTh232 1,(3.6.5)V 1 – классическое распределение применимо при больших массах частиц,Nвысокой температуре и малой плотности системы.то есть m, T,Полезная литература:1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее