Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра, страница 34
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 34 страницы из PDF
Показать, что задача имеет единственное решение, если матрица [,) имеет полный ранг. Указать способ вычисления вектора х, ис- ?А? пользующий два Ягг-разложения, а также матрично-векторные умножения и решение треугольных систем линейных уравнений. Указание: вам могут пригодиться ЬАРАСК-программа е881ве и ее описание в руководстве для пользователей ЬАРАСК'а [10) (Ь?ЕТЬ1В/!араон/1и8/1арас1с.1и8.Ыш!). Вопрос 3.19 (трудный; программирование). Написать программу (на Ма11аЬ'е или каком-либо ином языке) для обновления геодезической базы данных методом наименыпих квадратов, как это описано в рвзд. З.З. В качестве входа принять набор «вех», их приближенные координаты (х,, у,) и набор новых измерений углов Еу и расстояний Хй. Выход должен состоять из поправок (дхн ду;) для каждой вехи, границы ошибок для этих поправок и картины расположения (триангуляции) старых и новых вех.
Вопрос 3.20 (трудный). Доказать теорему 3.4. Вопрос 3.21 (средней трудности). Решить заново пример 3.1, используя метод решения задачи наименьших квадратов неполного ранга из рвзд. 3.5.1. Улучшается ли при этом точность аппроксимирующих многочленов высокой степени? Глава 4 Несимметричная проблема собственных значений 4.1. Введение В разделе 4.2 обсуждаются канонические формы, в разделе 4.3 — теория возмущений и в разделе'4.4 — алгоритмы, решающие проблему собственных значений для (одной) несимметричной матрицы А. Специальному случаю вещественных симметричных матриц А = Ат (а также вычислению ЯЧР) посвящена гл.
5. В разделе 4.5 рассмотрены обобщенные задачи на собственные значения, в которых участвуют две или более матриц. Здесь же указаны приложения из теории колебаний, решения линейных дифференциальных уравнений и вычислительной геометрии, мотивирующие исследование таких задач. Наконец, раздел 4.6 составлен в виде списка, суммирующего все сведения о канонических формах, алгоритмах, стоимостях, приложениях и имеющихся программах. Условно алгоритмы для задач на собственные значения можно разбить на две группы: прямые метод»~ и ипьерациоаяые методы.
В этой главе рассматриваются лишь прямые методы, предназначенные для вычисления всех собственных значений и (если требуется) собственных векторов. Обычно прямые методы применяются к плотным матрицам и требуют 0(пз) операций для вычисления всех собственных значений и собственных векторов; эта стоимость сравнительно не чувствительна к тому, каковы в действительности элементы матрицы. Прямой метод, чаще всего используемый на практике, — это ЯВ;алгорип»м с наявн»»ми сдвигами (см. равд. 4.4.8).
Интересно, что после более чем 30 лет безупречной службы этого метода совсем недавно были обнаружены, проанализированы и исправлены некоторые ситуации его расходимости (25, 65). Доказательства его глобальной сходимости все еще не существует, хотя современная версия метода считается очень надежной. Поэтому задача построения алгоритма, который был бы численно устойчив и при этом глобально (и быстро!) сходился, остается открытой. (Заметим, что «прямые» методы тоже, в действительности, являются итерационными: задача вычисления собственных значений математически эквивалентна отысканию корней многочленов, что не может быть сделано посредством неитерационных методов.
Мы называем метод прлэ«м««, если на практике он (почти) всегда сходится за фиксированное число итераций.) Итиерациопнме метиодм, обсуждаемые в гл. 7, обычно применяются к разреженным матрицам либо к матрицам, которые доступны лишь через свои произведения с векторами. Как правило, итерационные методы дают приближе- 150 Глава 4. Несимметричная проблема собственных значений ния только для некоторого подмножества собственных значений и собственных векторов; обычно итерации продолжают лишь, пока не получены достаточно точные приближения нескольких (немногих) собственных значений. Характер сходимостн методов этой группы сильно зависит от конкретных значений элементов матрицы.
4.2. Канонические формы Определение 4.1. Многочлсн р(Л) = бес(А — Л1) называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни ураенения р(Л) = 0 суть собственные значения этой матрицьь. Так как степень характеристического многочленар(Л) равна порядку п матрицы А, то он имеет и корней, поэтому А имеет и собственных значений. Определение 4.2. Ненулевой вектор х, удоелетеорлющий условию Ах = Лх, назыеается (правым) собственным вектором, соответствующим собственному значению Л.
Ненулевой вектор у, такой, что у'А = Лу', называется левым собственным вектором. (Напомним, что вектор у' = Ьу) получается из у операцией сопряжения.) Большинство наших алгоритмов предусматривают преобразование матрицы к более простым, каноническим формам, из которых легко вычисляются собственные значения и собственные векторы. Такого рода преобразования называются подобигми (см. определение ниже). Две наиболее известные канонические формы — это форма Жордана и форма Шура.
Форма Жордана полезна в теории, однако найти ее численно устойчивым образом очень трудно. Вот почему наши алгоритмы ориентированы на вычисление формы Шура, а не формы Жордана. Чтобы оценить значение форм Жордана и Шура, выясним, для каких матриц собственные значения вычисляются легко. Наиболее очевидный случай— это диагональная матрица, собственными значениями которой являются ее диагональные элементы.
Столь же прост случай треугольной матрицьь; для нее также собственные значения — это диагональные элементы. Вскоре мы увидим, что матрицы, имеющие форму Жордана или Шура, треугольны. Вспомним, однако, что у вещественной матрицы могут быть комплексные собственные значения, поскольку корни ее характеристического многочлена могут быть как вещественными, так и комплексными. Поэтому не для всякой вещественной матрицы найдется вещественная треугольная матрица с теми же собственными значениями, так как все собственные значения вещественной треугольной матрицы суть вещественные числа.
Следовательно, мы должны либо использовать комплексные числа, либо в поисках канонической формы для вещественных матриц обратиться к чему-то более общему, чем вещественная треугольная матрица. Оказывается, что достаточно рассматривать блочно-треугольньье матрицы, т.е. матрицы вида Аьь Аьг Аьь А22 ''' Агь (4.1) А= Аьь 151 4.2.
Канонические формы где все блоки Аи — квадратные и все стоящие под ними элементы равны нулю. Легко показать, что характеристический многочлен деь(А — Л1) матрицы А есть произведение П,, деь(Ан — Л1) характеристических многочленов блоков ь Аи. Следовательно, множество Л(А) собственных значений матрицы А является объединением Ць, Л(Аи) множеств собственных значений диагональных ь блоков Ан (см. вопрос 4.1). Мы собираемся вычислять блочно-треугольные канонические формы путем последовательного расщепления больших диагональных блоков на все более и более мелкие.
Если исходная матрица А — комплексная, то, в конечном счете, все диагональные блоки станут размера 1 х 1, поэтому будет получена треугольная каноническая форма. Если же А — вещественная матрица, то окончательная каноническая форма может содержать диагональные блоки как размера 1 х 1 (они соответствуют вещественным собственным значениям), так и размера 2 х 2 (соответствуют сопряженным парам комплексных собственных значений). Такая блочно-треугольная матрица называется квазитреугольной. Собственные векторы (блочно) треугольной матрицы определяются легко (см. по этому поводу разд. 4.2.1).
Определение 4.3. Пусть Я вЂ” произвольная невььрожденная матрица. Говорят, что матрицтя А и В = Б ьА$ подобны; при этом Я осуществляет подобие. Предложение 4.1. Пусть В = Я тАЯ, т. е. матрицы А и В подобны. Тогда А и В имеют одни и те же собственные значения. Векпьор х (у) тогда и таолько тогда лвляетсл правььм (левым) собственным вектором матрицьь А, когда Я 'х (Я'у) является правым (левтям) собственным векпьором матрицы В.
Доказательство. Воспользуемся равенством с1ес(Х У)=бес(Х) . дет(У), справедливым для произвольных квадратных матриц Х и У. Имеем бес(А— Л1)=бес(Я '(А — Л1)Я)=с(ес( — Л1), поэтому А и В имеют один и тот же характеристический многочлен. Соотношение Ах=Лх равносильно соотношению Я тАЯЯ тх=ЛЯ тх, или В(Я тх)=Л(Я ьх). Точно так же, у*А=Лу' справедливо тогда и только тогда, когда у'ЯЯ 'АЯ=Лу*Я, или (Я*у)'В=Л(Я*у)'. О Теорема 4.1 (жорданова каноническая форма). Длл всякой матрицы А найдется невььрожденная матрица Я, такая, что матрица Я тАЯ =,У имеет каноническую форму Жордана. Это означает, что д является блочнодиагональной матрицей, т.
е. У = 41ак(,У„,(Лт),,У„,(Лг),...,,У„ь(Ль)), причем Л; 1 ,У„,(Л;) = 1 Л; С таочностью до перестановки диагональных блоков, матрица У определяетсл единственным образом. Доказательство этой теоремы можно найти в книгах по линейной алгебре; см., например, (110] или [139). 152 Глава 4. Несимметричпая проблема собственных значения Матрица 1 (Л) называется жордановым блоком с собственным значением Л алгебраической кратности т. Если Л, является собственным значением только одного жорданова блока, причем его порядок равен 1, то говорят, что Л— простое собственное значение. Если все и; = 1, то,1 — диагональная матрица. В этом случае А называют диагонализуемой матрицей; в противном случае, А — дефектнол матрица.
Дефектная и х п-матрнца имеет менее чем и (линейно независимых) собственных векторов, что более подробно разъясняется в приводимом ниже предложении. Хотя в некотором точно определенном смысле дефектные матрицы являются «редкимиь, наличие менее чем п (линейно независимых) собственных векторов у некоторых матриц есть фуццаментальный факт, с которым приходится считаться всякому разработчику алгоритмов для вычисления собственных значений и собственных векторов. В разделе 4.3 мы познакомимся с некоторыми из трудностей, возникающих при работе с дефектными матрицами.