Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения

Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 2

PDF-файл Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 2 Вариационное исчисление (53182): Книга - 7 семестрЮ.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения: Вариационное исчисление - PDF, страница 2 (53182) - 2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Момент времени t1 (конечный момент процесса управления,t1 > t0 ) может быть заранее заданным или же определяться в процессе решения задачи (это должно быть чётко оговорено в постановкезадачи). Итак, мы хотим перевести объект из множества M0 во множество M1 (см. рисунок 1.1).x2x(t)x(t1 )x(t0 )M1M0x10Рисунок 1.1Например, в задаче о переводе спутника с одной орбиты на другуюмножества M0 и M1 состоят более, чем из одной точки.7Типична ситуация, когда перевод объекта из M0 в M1 может бытьвыполнен неединственным способом, при помощи различных допустимых управлений.

В этом случае появляется возможность для оптимизации управляемого процесса, т.е. можно решать задачу о переводеобъекта из M0 в M1 “наилучшим способом” Обсудим сейчас вопросо том, какой смысл следует приписать последнему выражению.1.1.4Критерий качества управленияРассмотрим паруx(t), u(t) ,t0 t t1 ,(7)где u(t) – допустимое управление, x(t) – отвечающая этому управлению траектория с начальным условием x(t0 ) = x0 ∈ M0 , т.е.

x(t) –решение задачи Коши (4), причём выполняется условие x(t1 ) ∈ M1 .Рассмотрим также функционалt1J=f 0 (t, x(t), u(t)) dt,(8)t0где f 0 (t, x, u) – известная функция своих аргументов. Таким образом, каждой паре (7) ставится в соответствие число J, определяемоепо формуле (8). Функционал (8) называется критерием качествауправления. Он может иметь физический смысл (в зависимости отфункции f 0 ):а) расхода топлива,б) энергетических затрат,в) финансовых затрат или прибыли,г) времени перехода из M0 в M1 ,д) и т.д.Конкретный выбор функционала J в приложениях производится инженером, исходя из требований, предъявляемых к рассматриваемомууправляемому процессу. В случае f 0 = 1 получаемJ = t1 − t08(9)(функционал имеет физический смысл времени перехода объекта изM0 в M1 ).Нашей целью является минимизация функционала (8), характеризующего качество процесса управления.Мы описали выше основные элементы1 , типичные для математической задачи оптимального управления, и переходим сейчас к еёпостановке.1.1.5Постановка задачи оптимального управленияТребуется: перевести объект из множества начальных состоянийM0 , см.

(5), на множество конечных состояний M1 , см. (6), за счётвыбора допустимого управления u = u(t) из класса допустимых управлений У, так, чтобы функционал J, см. (8), принимал минимальноезначение, или в компактной формеJ → min .u(·)∈УУправление u(t), решающее поставленную задачу, называется оптимальным управлением (в смысле функционала J). Траектория x(t),отвечающая оптимальному управлению u(t), называется оптимальной траекторией. В случае (9) задача оптимального управления называется задачей быстродействия.Таким образом, постановка задачи оптимального управления вкраткой форме имеет следующий вид:⎧ẋ(t) = f (t, x, u),⎪⎪⎪⎪⎪⎨ u(t) ∈ У,x(t0 ) ∈ M0 ,(10)⎪x(t⎪1 ) ∈ M1 ,⎪⎪⎪⎩ J → min .u(·)∈УЗадача (10) требует задания следующего набора исходных данных:{f 0 , f ; У = УU ; M0 , M1 , t0 }.(11)Напомним ещё раз, что момент времени t1 окончания процесса управления1 В постановку задачи оптимального управления могут вводиться дополнительныеограничения.9а) может быть заранее заданным и в этом случае число t1 следуетотнести к набору элементов (11)б) может быть незаданным (так обстоит дело, например, в задачебыстродействия, где t1 заранее неизвестен), и в этом случае нахождение t1 следует отнести к задаче нахождения оптимальногоуправления u(t), t0 t t1 .Заметим, что задача максимизации I → max может быть сведенаu(·)∈Ук задаче минимизации функционала J = −I.1.1.6Основные математические вопросы теории оптимальногоуправленияПеречислим основные вопросы теории оптимального управления.1.

Управляемость (возможность перевода объекта из M0 в M припомощи некоторого допустимого управления; без управляемостирешения задачи (10) не существует). Исследование управляемости не связано с критерием качест2. Существование оптимального управления (пусть объект обладает свойством управляемости; существует ли оптимальное управление в выбранном классе допустимых управлений У3. Необходимые условия оптимальности (теоремы о необходимыхусловиях оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [1]).

Роль необходимых условий невозможно переоценить; необходимые условия позволяют, вообще говоря, выделить отдельные траектории, которые могут быть оптимальными,отбраковать заведомо неоптимальные решения. Роль необходимых условий оптимальности можно сравнить с ролью условияf (x) = 0 в задаче на минимум функции f (x) и с ролью уравнений Эйлера-Лагранжа в классическом вариационном исчислении4. Достаточные условия оптимальности.5. Единственность оптимального управления.6. Численные методы построения оптимальных решений.В настоящем курсе излагается линейная теория быстродействия.101.1.7Линейная задача быстродействияЛинейная задача быстродействия является частным случаем задачи оптимального управления (10) при условии (9) и в предположениилинейности функции f :ẋ = Ax + u,x(t0 ) ∈ M0 , x(t1 ) ∈ M1 ,(12)(13)J = t1 − t0 → min .(14)u(·)∈УU⎞x1⎜ ⎟Здесь x = ⎝ ...

⎠ – вектор фазовых координат; x ∈ E n ,⎛xnA = (aij ) – матрица системы (считаем её независящей от времени t), ⎛ ⎞u1⎜ .. ⎟u = ⎝ . ⎠ – вектор управления; u ∈ E n .unКласс допустимых управлений 1) принимает значения из компакта U.У = УU = u(t) 2) задан характер зависимости u от tКомпакт U называется областью управления.M0 – множество начальных состояний объекта,M1 – множество конечных состояний объекта,J = t1 −t0 – критерий качества управления (время перехода из M0в M1 ).Линейная задача быстродействия (12)-(14) задаётся набором исходных данных(15){A, M0 , M1 , У = УU , t0 }и состоит в нахождении допустимого управления u = u(t), переводящего объект из M0 в M1 по траекториям уравнения (12) за минимальное время.

Управление u(t), решающее эту задачу, называетсяоптимальным по быстродействию, а соответствующая этому управлению траектория x(t) называется оптимальной по быстродействиютраекторией.11Решить задачу быстродействия (12)-(14) означает, что нужно понабору исходных данных (15) найти оптимальную пару (x(t), u(t)),t0 t t 1 .Векторное дифференциальное уравнение (12) равносильно системеẋi =naij xj + ui ,i = 1, . . . , n.j=11.1.8Два простейших примераПример 1.1.

Управляемое движение материальной точки по прямойпод действием ограниченной внешней силы (задача о тележке).Рассмотрим материальную точку массы m, которая движется попрямой (ось y) (см. рисунок 1.2), без трения под действием ограниченной внешней силы, направленной вдоль оси y.mf¯(t)y0Рисунок 1.2Геометрическое положение материальной точки описывается координатой y = y(t). На основании второго закона Ньютона запишемдифференциальное уравнение движения точкиmÿ = f (t),т.е.ÿ = v(t),(16)(t)где v(t) = fm– управление. Считаем заданными начальные условия y(0) = a (начальное положение точки), ẏ(0) = b (начальная скорость точки). Дальнейшее движение точки зависит от выбора управления v(t), которое при m = 1 совпадает с f (t).

Пусть управление v(t)подчинено ограничению|v(t)| 1.Рассмотрим задачу о переводе точки из начального положения aпри начальной скорости b в положение y = 0 с нулевой скоростью.12Этот перевод осуществляется за счёт выбора управления v(t). Требуется выполнить этот перевод за кратчайшее время.Полагая y = x1 , ẏ = x2 , v = u2 , перейдём от дифференциальногоуравнения (16) второго порядка к следующей системе дифференциальных уравненийẋ1 = x2 ,ẋ2 = u2 .В данном примере размерность фазового пространства равна 2, фазовым пространством служитфазовая плоскость x1 , x2 .

Множество aaначальных состояний M0 =состоит из одной точки,bb 0множество конечных состояний M1 =– начало координат, 0 x10 1x =– фазовый вектор, A =, область управленияx20 0 u1 u1 = 0U = u=– отрезок. Таким образом, мы получиu2 |u2 | 1ли линейную задачу быстродействия в стандартной форме (12)-(14).Пример 1.2. Управляемое движение математического маятникапод действием ограниченной внешней силы.Рассмотрим движение тяжёлого шарика массы m под воздействиемупругой силы пружины и внешней силы f (t) (рисунок 1.3).

Задачарассматривается без учёта силы трения.m0yРисунок 1.3Движение шарика происходит вдоль оси y. В состоянии равновесия шарик имеет координату y = 0. Привлекая физические законы –второй закон Ньютона и закон Гука (упругая сила пропорциональнаотклонению от положения равновесия и направлена в сторону положения равновесия) – запишем дифференциальное уравнения движенияmÿ = −ky + f (t),13где положительный коэффициент k характеризует жёсткость пружины.

Полагая ω 2 = k/m, v(t) = f (t)/m, приходим к уравнениюÿ + y = v(t)(17)(здесь мы для упрощения считаем ω 2 = 1, |v(t)| 1). Пусть заданыначальные условия y(0) = a, ẏ(0) = b. Рассмотрим задачу о скорейшем успокоении маятника под действием ограниченной внешнейсилы v(t).Полагая y = x1 , ẏ = x2 , v = u2 , от уравнения (17) переходим ксистемеẋ1 = x2 ,ẋ2 = −x1 + u2 .Как и в предыдущем примере, здесь n = 2, a0, M1 =,M0 =b0 x1u1 u1 = 0,x=,U = u=u2 |u2 | 1x2но теперь матрица системы имеет вид0 1A=.−1 0Мы опять пришли к постановке линейной задачи быстродействия встандартной форме.Решение этих примеров описывается в разделах 3.13, 3.16.1.2 Некоторые сведения из теории обыкновенныхдифференциальных уравненийПри изучении линейной теории оптимального управления важнуюроль играет формула Коши для решения линейной системы.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее