Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 32

PDF-файл В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 32 Механика управляемых систем (53170): Лекции - 7 семестрВ.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем: Механика управляемых систем - PDF, страница 32 (53170) - СтудИ2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 32 страницы из PDF

Параметрический резонанс1C4 = 0, C3 = √ > 0.lИз вида решений следует, что выражение ψ2 (t)y1 (t) меняет знак в моментπ.времени τ − t0k = − 2√lНа отрезке времени [t0 , τ ] решение системы продолжается с управлениемu0 (t) = m.Из краевого условия y1 (t0 ) = 1 и гладкости y1 в точке τ следуетπt0 − τ = − √2 mππt0k − t0 = √ + √ ,2 m2 l> 1 — возрастание амплитуды на одном полуколебании.аα= mlЕсли продолжить решение на следующих полуколебаниях системы аналогичным образом, то получим неограниченное возрастание возрастание амплитуды колебаний (см. рис.

D24.2). В силу полученного решения верно соотношение sign ψ2 = sign y2 и можно осуществить синтез оптимального управленияlпри y1 y2 > 00u (y1 , y2 ) =m при y1 y2 < 0.Проверим условия регулярного синтеза Болтянского (см. рис. D24.3).Мн-во N = {0} — начало координат.Область G = R2 \ {0}.Терминальное множество M = {y2 = 0} — ось абсцисс.Множество нульмерных клеток P0 = ∅ — пусто.Множество одномерных клеток P1 = {y1 = 0} линия переключения, осьординат.Множество двумерных клеток P2 — набор координатных четвертей.228ẏP1u0 ≡ mu0 ≡ lP21P24P22 1P23u0 ≡ lMα2yu0 ≡ mРис. D24.3.

Регулярый синтезТаким образом, в данной задаче выполнены условия регулярного синтезаи, следовательно, построено глобально-оптимальное решение.Дополнение 2 к лекции 24. О достаточности принципа максимума в общем случае.На лекции 24 было рассказано о достаточности принципа максимумаПонтрягина (ПМП) для линейной задачи быстродействия. В предыдущемприложении приведен результат В.Г. Болтянского о достаточности ПМП вформе синтеза, когда управление имеет конечное число переключений.В 2003 году А.В. Арутюновым [13] была доказана теорема о ПМП какнеобходимом и достаточном условии минимума. Сформулируем эту теоремудля задачи, когда математическая модель управляемой системы имеет видt ∈ [t0 , tk ], где y ∗ , tk — заданы,ẏ = f (y, u), y(t0 ) = y ∗ ,u(·) ∈ U = {u(·) ∈ L∞ ([t0 , tk ], Rs )u(t) ∈ Ω ⊂ Rs },(D24.2)где Ω — ограниченное, замкнутое выпуклое и регулярное множество [13], аy(tk ) ∈ M = {ϕi = 0,i = 1, .

. . , m < n}.Критерий качестваtkf0 (y, u, t)dt + ϕ0 (y(tk )) → min .J(u) =t0u(·)∈UВсе функции являются гладкими по y, u и измеримыми по t.Определение 23. Допустимый процесс {y 0 (·), u0 (·)} является понтрягинским локальным минимумом, если существует δ > 0 такое, чтодля любого допустимого управления u(·) ∈ U, для которого u0 (·) −u(·)L1 < δ и |y 0 (tk ) − y(tk )| < δ выполняется неравенство J(u(·)) ≥J(u0 (·)).229Из определения следует, что в рассматриваемом нами случае управляемый процесс, являющийся сильным локальным минимумом (см. лекцию 23),является одновременно и понтрягинским локальным минимумом.Функция Понтрягина имеет вид H(ψ, y, u) = ψ f (y, u) − λ0 f0 (y, u, t), алагранжиан — L = ψ ẏ − H.Теорема 37.

Для того, чтобы допустимый управляемый процесс{y 0 (·), u0 (·)} являлся понтрягинским локальным минимумом, необходимо и достаточно существование ненулевого вектора (λ0 , λ1 , . . . , λm )при λ0 ≥ 0, ε ≥ 0 и абсолютно непрерывной вектор-функции(ψ1 (t), . . . , ψn (t)) таких, что выполнены следующие условия:1.функция ψ(t) является решением уравнения Эйлера∂L0d ∂L0+=0dt ∂ ẏ∂yилиψ̇ = −2.f (y 0 (t), u0 (t))∂yψ + λ0;условие трансверсальности при t = tkψ (tk ) = −mj=03.f0 (y 0 (t), u0 (t), t)∂yλj∂ϕj (y 0 (tk ));∂yусиленное условие максимума по управлениюH(ψ(t), y 0 (t), u0 (t)) ≥ H(ψ(t), y 0 (t), u(t)) + ε|u0 (t) − u|2при всех u ∈ Ω и почти всюду по t ∈ [t0 , tk ], гдеε = 0 при рассмотрении необходимости;ε > 0 при рассмотрении достаточности.Дополнение к лекции 28. О смешанных стратегияхреализации игрыВ том случае, когда седловой точки в игровой задаче методики тестирования не существует, можно перейти к так называемому смешанному расширению игры.Процедуру перехода к смешанному расширению объясним в случае, когдарассматривается игра на конечном множестве стратегий управления и возмущения.Обозначим ui = ui (t) ∈ U, i = 1, 2, .

. . , n, а vj = vj (t) ∈ V ,j = 1, 2, . . . , m — конечный набор стратегий по управлению и возмущениюв задаче стабилизации.230Перебирая все стратегии, можно составить матрицу⎛J(u1 , v1 ) J(u2 , v1 ) . . . J(un , v1 )⎜ J(u1 , v2 ) J(u2 , v2 ) . . . J(un , v2 )R=⎜⎝............J(u1 , vm ) J(u2 , vm ) . . . J(un , vm )⎞⎟⎟⎠которая называется матрицей игры.

Обозначим Rij = J(ui , vj ) и вычислим0 = maxj mini Rij и 0 = mini maxj Rij . Если 0 = 0 , то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях ui и vj .Пример 1. Игра против природы.Пусть природа имеет два состояния: дождь и сухо. При прогулке в сухуюпогоду без плаща турист получает удовольствие в 10 баллов, а в плаще — 8баллов. Прогулка под дождем в плаще приносит 7 баллов, а без плаща — 1балл. Отказ от прогулки приносит 0 баллов. Таким образом у туриста 3 стратегии: 1) выйти без плаща; 2) выйти в плаще; 3) отказаться от прогулки.Матрица игры выглядит следующим образом1 7 0R=.10 8 0В этой игре есть седловая точка: mini maxj Rij = maxj mini Rij = 7, соответствующая стратегии природы — «дождь» и стратегии туриста — «прогулка в плаще». И туристу и природе в этой игре невыгодно отклоняться отих оптимальных стратегий, при которых они получают гарантированный выигрыш в 7 баллов.Пример 2.

Приведем пример матричной игры, где не существует седловой точки:Пусть стратегии управления ui = i, i = 1, 2, 3, 4, стратегии возмущенияvj = j, j = 1, 2, 3, 4, а функционал представляет расстояние между точкамиi, j,то есть Rij = J(ui , vj ) = |i − j|. Тогда матрица игры⎛⎞0 1 2 3⎜1 0 1 2⎟⎟R=⎜⎝2 1 0 1⎠3 2 1 0В этой игре 0 = mini maxj Rij = 2 > 0, а 0 = maxj mini Rij = 0, то естьседловой точки не существует и следовательно не существует чистой максиминной оптимальной стратегии возмущений, (также и управлений) дающейгарантированный результат.В случае, когда не существует седловой точки игры в чистых стратегиях,можно перейти к смешанному расширению игры, когда стратегиивыбираютсяслучайным образом.

Рассмотримξ = (ξ1 , . . . , ξn ), где ni=1 ξi = 1,векторыη=1,η≥0,которыеимеютсмыслξi ≥ 0 и η = (η1 , . . . , ηm ),где mjjj=1231вероятности выбора стратегии ui и vj соответственно. В качестве критерияигры теперь рассмотрим математическое ожидание исходного функционалаK(ξ, η) = M [J(u, v)] =mn Rij ξi ηj .i=1 j=1Можно записать K(ξ, η) = (η R)ξ = η (Rξ). Стратегии ξ, η в расширенойигре называются смешанными.В матричной игре можно считать Rij > 0, поскольку если добавить положительную константу ко всем элементам матрицы R, то игра не меняется.Теорема 38. Всякая матричная игра имеет седловую точку в смешанных стратегиях.Доказательство.С каждой расширенной игрой можно связать пару задач линейного программирования следующим образом.Рассмотрим вектор p = (1, 1, . .

. , 1) состоящий из n единиц и вектор w =(1, 1, . . . , 1) состоящий из m единиц.Составим задачу линейного программированияmin η wηη R ≥ p ,η≥0(D28.3)и двойственную к нейmax ξ pξRξ ≤ w,ξ ≥ 0.(D28.4)Поскольку Rij > 0 то в первой задаче существует допустимое решение,если выбрать элементы вектора η достаточно большими.Во второй игре решение ξ = 0 тоже является допустимым. В теории линейного программирования доказывается, что в этом случае существует решение первой и второй задачи и они совпадают по функционалу. Обозначимэто решениеη w = ξ p = r0 > 0.Произведем замену η ∗ = rη0 ≥ 0 и ξ ∗ = rξ0 ≥ 0.

∗Тогда выполнены условия ηj∗ = 1 иξi = 1 и η ∗ , ξ ∗ являются решением смешанной задачи.Поскольку w ≥ Rξ а η R ≥ p , тоr0 = η w ≥ η (Rξ) = (η R)ξ ≥ p ξ = r0 ,откуда следует η Rξ = r0 .232Вычислим функционал смешанной задачиK(ξ ∗ , η ∗ ) = η ∗ Rξ ∗ =(η Rξ)1= .r02r0Пусть теперь ξ и η — произвольные смешанные стратегии управления ивозмущения. Тогда выполненоK(ξ , η ∗ ) = η ∗ Rξ =1 11η Rξ ≥ p ξ == K(ξ ∗ , η ∗ )r0r0r0и111≤ η w == K(ξ ∗ , η ∗ ),r0r0r0откуда следует существование седловой точки в смешанных стратегиях.Замечание 19. Заметим, что в отличие от случая существования седловой точки в чистых стратегиях процедура тестирования усложняется, поскольку этап 2 надо проводить многократно, моделируя случайный выбор стратегии возмущений в соответствии с вероятностями, заданными вектором η ∗ .Усложняется и третий этап процедуры, поскольку для полученияобъективной оценки качества управления надо вычислить статистические показатели (доверительные интервалы) оценки тестирования.Переход к смешанному расширению игры возможен и в случае, когда обаигрока имеют бесконечное множество стратегий.

Однако, в отличие от конечномерного случая, здесь седловая точка в смешанных стратегиях может несуществовать. Даже сам средний выигрыш зависит от выбора вероятностныхмер, связанных с множествами стратегий U и V .Если множества стратегий U и V представляют собой метрические компакты, а функция выигрыша J(u, v) непрерывна по совокупности переменных, то седловая точка ( цена игры ) для смешанного расширения игры существуют [31].Более того, если цена игры выпукла по u для каждого v/inV и множество стратегий U выпукло (заметим, что эти свойства выполняются для рассматриваемой в задаче тестирования дифференциальной игры, которая можетбыть редуцирована к геометрической игре, где функция выигрыша представляет расстояние между точками множеств достижимости подсистем по управлению и по возмущению), то выполнены следующие замечательные свойстваструктуры оптимального решения:а) существует цена игры K0 , равнаяK(ξ ∗ , η ) = η Rξ ∗ = η RξK0 = min max J(u, v).u∈U v∈Vб) оптимальное решение первого игрока u существует в чистых стратегиях;233в) спектр оптимальной смешанной стратегии второго игрока v конечени состоит не более, чем из n + 1 точки множества V .Пример 3.

Тестирование точности сближения космического модуляс орбитальной станцией.Станция движется с постоянной скоростью по круговой орбите. Относительно нее в плоскости орбиты движется модуль, снабженный продольными(маршевыми) и боковыми реактивными двигателями.

Программное движениемодуля в задаче сближения реализуется с помощью маршевых двигателей исостоит из участка разгона, участка свободного движения с постоянной скоростью и участка торможения. Линеаризованные уравнения в отклонениях отпрограммного движения имеют вид:⎧ẋ1⎪⎪⎪⎪⎪⎪ẋ2⎪⎪⎪⎨ ẋ3⎪ẋ4⎪⎪⎪⎪⎪ẋ5⎪⎪⎪⎩ẋ6= x2 ,= vr (t),= x4 ,= −x5 up (t),(D28.5)= x6 ,= Mr (t)/Bz .Здесь x = (x1 , x3 ) — отклонение от программной траектории в плоскостидвижения космического модуля, x5 — отклонение по углу от программногодвижения, up (t) — программное управление маршевыми двигателями (заданные функции времени), u(·) ∈ U = {u(·) ∈ L∞ [t0 , t1 ] |u(t)| ≤ f, f = const }— стабилизирующее боковое управления, vr (t) — ошибка тяги маршевыхдвигателей, Mr (t) — возмущающий момент, связанный с разнотяговостьюмаршевых двигателей, Bz — момент инерции модуля. Предположим, что начальные условия x(t0 ) = x0 фиксированы.С помощью боковых двигателей космонавт пытается уменьшить отклонение от станции в момент причаливания — критерий качества управленияимеет вид J = x21 (tk ) + x23 (tk ).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее