В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 29
Описание файла
PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 29 страницы из PDF
. .f 1 = b2 , f 2 = Af 1 , . . . , f j+1 = Af j , . . .Пусть такжеg m+1f l+1==α1 g 1 + · · · + αm g m ,β1 f 1 + · · · + βl f l ,(D5.2)и каждый из наборов {g 1 , . . . , g m } и {f 1 , . . . , f l } состоит из линейно независимых векторов.В свете вышесказанного каждый из наборов представляет базис управляемого подпространства соответственно при помощи управления u1 и припомощи управления u2 . Если пара (A, B) управляема, то m + l ≥ n и среди векторов указанных наборов найдется n линейно независимых векторов,которые в совокупности могут быть выбраны в качестве базиса полного пространства. Очевидно, выбор базиса в общем случае неоднозначен.Из всех возможных вариантов такого выбора базиса два представляютнаибольший практический интерес.1. Базис полного пространства составим из всех векторов первого набора, дополнив их до n векторов первыми векторами второго набора{g 1 , .
. . , g m , f 1 , . . . , f r }, m + r = n. Имеет место представлениеf r+1 = γ1 g 1 + · · · + γm g m + δ1 f 1 + · · · + δr f r .(D5.3)209Введем векторы ξ = (ξ1 . . . ξm ) и η = (η1 . . . ηr ) , составленные из контравариантных координат вектора x в новом базисеx = ξ1 g 1 + · · · + ξm g m + η1 f 1 + · · · + ηr f r .(D5.4)Подставив (D5.4) в (D5.1), аналогично предыдущему, получим с учетом (D5.2)и (D5.3):ξ̇η̇где⎛⎜⎜A11 = ⎜⎝⎛⎜⎜A22 = ⎜⎝A11 ξ + A12 η + b1 u1 ,A22 η + b2 u2 ,==01...000...0......01...000...0......···...···...00...100...1α1α2...αm⎞⎛(D5.5)00...0⎞......00...0γ1⎜⎟γ2⎜⎟⎟ , A12 = ⎜..⎝⎠···....γm⎛⎛⎞δ111⎜ 0 ⎟⎜ 0δ2 ⎟⎟⎜⎜⎟12..
⎟ , b = ⎜ .. ⎟ , b = ⎜ ..⎠⎝⎝ .⎠..δr00⎞⎟⎟⎟,⎠⎞⎟⎟⎟.⎠Пары (A11 , b1 ) и (A22 , b2 ), очевидно, управляемы.Задачу стабилизации можно решить при помощи линейной обратной связи u1 = c1 ξ, u2 = c2 η. В результате характеристическое уравнение получившейся системы распадается на дваdet (λEm − (A11 + b1 c1 )) = 0,det (λEr − (A22 + b2 c2 )) = 0,в каждом из которых векторы c1 и c2 можно выбрать так, чтобы коэффициенты этих уравнений были любыми наперед заданными. В частности, можетбыть обеспечена экспоненциальная устойчивость системы с любой напередзаданной степенью устойчивости.2.
Базис полного пространства будем составлять, выбирая поочередновекторы из наборов {g 1 , . . . , g m } и {f 1 , . . . , f l } до тех пор, пока очереднойвектор не окажется линейно зависимым от ранее выбранных векторов.Пусть им оказался вектор f k+1 . Недостающую часть базиса доберем из очередных векторов набора {g i }. В результате получим базис{g1 , . . . , g s , f 1 , . . . , f k }, где s ≥ k, s + k = n. Имеют место представленияg s+1f k+1==μ1 g 1 + · · · + μs g s + ν1 f 1 + · · · + νk f k ,γ1 g 1 + · · · + γk g k + γk+1 g k+1 + δ1 f 1 + · · · + δk f k .(D5.6)В последнем соотношении содержатся два разноименных вектора с одинаковыми старшими индексами, что эквивалентно дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно старших производных. Для того, чтобы210освободиться от этого обстоятельства, которое могло бы причинить нам вычислительные трудности, проведем некоторые преобразования.Введем векторы fj = f j − γk+1 g j и управление u = u1 + γk+1 u2 .
Легковидеть, что fj+1 = Afj . В новых переменных исходные соотношения перепишутся следующим образомẋgs+1fk+1=Ax + u g 1 + u2 f1 ,=μ1 g 1γ1 g 1=+ ··· ++··· +μs g sγk g k(D5.7)++ν1 f1δ1 f1+ · · · + νk fk ,+ · · · + δk fk ,(D5.8)гдеμ1μkμk+1μs=···==···=μ1 + ν1 γk+1 ,γj = γj + γk+1 δj ,μk + νk γk+1 ,μk+1 ,γj = 0,j = 1, . . . , kj>k(D5.9)μs .Покажем, что существует базис {p1 , . . . , ps , v 1 , . .
. , v k }, в котором векторx = ξ1 p1 + · · · + ξs ps + η1 v 1 + · · · + ηk v k(D5.10)описывается следующими уравнениямиξ̇1ξ̇2ξ˙sη̇1η̇2η̇k==···=ξ2 ,ξ3 ,==···=η2 ,η3 ,μ1 ξ1 + · · · + μs ξs + γ1 η1 + · · · + γk ηk + u ,δ1 η1 + · · · + δk ηk + ν1 ξ1 + · · · + νk ξk + u2 .В самом деле, подставив (D5.10) в (D5.1), получим соотношения для определения базисных векторовu1 : g 1 = ps ,ξs : Aps = ps−1 + μs ps ,ξs−1 : Aps−1 = ps−2 + μs−1 ps ,···ξk : Apk = pk−1 + μk ps + νk v k ,···ξ2 : Ap2 = p1 + μ2 ps + ν2 v k ,ξ1 : Ap1 = μ1 ps + ν1 v k ,u2 :f1 = v k ,ηk : Av k = v k−1 + δk v k + γk ps ,ηk−1 : Av k−1 = v k−2 + δk−1 v k + γk−1ps ,·········η2 : Av 2 = v 1 + δ2 v k + γ2 ps ,η1 : Av 1 = δ1 v k + γ1 ps .211Теперь следует положитьpsps−1ps−2pk−1p1vkv k−1v1===···=···===···=g1,g 2 − μs g 1 ,g 3 − μs g 2 − μs−1 g 1 ,g s−k+2 − μs g s−k+1 − · · · − μk g 1 − νk f1 ,g s − μs g s−1 − · · · − μ2 g 1 − νk fk−1 − · · · − ν2 f1 ,f1 ,f2 − δk f1 − γk g 1 ,f k − δk fk−1 − · · · − δ2 f1 − γk g k−1 − · · · − γ2 f1 .Соотношения при ξ1 и η1 выполняются тождественно.
Очевидно, что набор{p1 , . . . , ps , v 1 , . . . , v k } составляет базис.Пусть измеряются все компоненты вектора состояния x и значит могутбыть вычислены величины ξ и η. Задачу стабилизации будем решать по принципу обратной связи, сформировав управления u и u2 в видеuu2==−(γ1 η1 + · · · + γk ηk ) + c1 ξ,−(ν1 ξ1 + · · · + νk ξk ) + c2 η.(D5.11)Напомним, что u = u1 + γk+1 u2 .
Отсюда находится u1 . В результате такоговыбора полная система распадается на две замкнутые подсистемыξ̇1 = ξ2 ,ξ̇2 = ξ3 ,...ξ˙s = (μ1 + c11 )ξ1 + · · · + (μs + c1s )ξs ,η̇1 = η2 ,η̇2 = η3 ,...η̇k = (δ1 + c21 )η1 + · · · + (δk + c2k )ηk .Векторы c1 и c2 могут быть выбраны так, чтобы обеспечить в каждой изподсистем любые наперед заданные характеристические уравнения, а, сталобыть, обеспечить желаемую экспоненциальную устойчивость.В заключение пунктов 1 и 2 заметим, что изложенные в них процедуры могут быть названы по своему результату декомпозицией (расщеплением) уравнений динамической системы по компонентам вектора управления.3. Перейдем теперь к задаче построения алгоритма оценивания для систем с несколькими выходами (величина z — вектор).
Процедура построениябудет сопряжена аналогичной процедуре в задаче управления.Для простоты, но не нарушая общности, будем считать, что вектор z двумерен: z = (z1 z2 ). Имеемz1 = h1 x,212z2 = h2 ,ẋ = Ax.(D5.12)Введем две последовательности векторовg 1 = h1 , g 2 = A g 1 , . . . , g j+1 = A g j , . . .f 1 = h2 , f 2 = A f 1 , .
. . , f j+1 = A f j , . . .Пустьg m+1f l+1α1 g 1 + · · · + αm g m ,β1 f 1 + · · · + βl f l ,==(D5.13)и каждый из наборов {g 1 , . . . , g m }, {f 1 , . . . , f l } состоит из линейно независимых векторов. Тогда каждый из наборов представляет базис подпространства,вполне наблюдаемого при помощи, соответственно, измерений z1 и z2 . Еслипара (A, H) вполне наблюдаема, то m + l ≥ n и среди векторов указанныхнаборов найдется n линейно независимых, которые и могут быть выбраны вкачестве базиса полного пространства.Но выбор базиса неоднозначен.
Из всех вариантов такого выбора рассмотрим (в этом и следующем пунктах) два наиболее употребительные.Составим базис полного пространства из первого набора, дополненногодо n векторов первыми векторами второго набора {g 1 , . . . , g m , f 1 , . . . , f r },m + r = n. Имеет место представлениеf r+1 = γ1 g 1 + · · · + γm g m + δ1 f 1 + · · · + δr f r .(D5.14)Введем векторы ξ = (ξ1 . . .
ξm ) и η = (η1 . . . ηr ) , составленные из ковариантных координат вектора x в новом базисеξj = x g j (j = 1, . . . , m),ηi = x f i (i = 1, . . . , r).Получим с учетом (D5.13) и (D5.14),ξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = ξ3 ,...ξ˙m = α1 ξ1 + · · · + αm ξm ,z1 = ξ1 ,η̇1 = η2 ,η̇2 = η3 ,...η̇r = γ1 ξ1 + · · · + γm ξm + δ1 η1 + · · · + δr ηr ,z2 = η1 .Или в матричной формеξ˙z1где⎛A11==A11 ξ,e1(m) ξ,0 1 0⎜ 0 0 1⎜=⎜ . . .⎝ ..
.. ..α1 α2 . . .... 0... 0.· · · ..... ...η̇z2==A21 ξ + A22 η,e1(r) η.⎛⎞00 ...⎜ 0 ...0 ⎟⎜⎟.. ⎟ , A21 = ⎜ ..⎝ . ···⎠.γ1 γ2αm00......⎞00 ⎟⎟.. ⎟ ,. ⎠γm213⎛A220 1 0⎜0 0 1⎜=⎜ . . .⎝ .. .. ..δ1 δ2 . . .⎛ ⎞⎛ ⎞⎞... 0 011⎜0⎟⎜0⎟... 0 0 ⎟⎜ ⎟ 1⎜ ⎟⎟ 1. . ⎟ , e(m) = ⎜ .. ⎟ , e(r) = ⎜ .. ⎟ .⎝.⎠⎝.⎠· · · .. .. ⎠00. . . . . .
δrКажется естественным следующий алгоритм оцениванияξ˜˙η̃˙==˜A11 ξ˜ + K 1 (z1 − e1(m) ξ),2˜A21 ξ + A22 η̃ + K (z2 − e1(r) η̃).(D5.15)(A11 − K 1 e1(m) )Δξ,A21 Δξ + (A22 − K 2 e1(r) )Δη.(D5.16)Уравнения ошибокΔξ˙Δη̇==Характеристическое уравнение последней системы расщепляется на дваdet (λEm − (A11 − K 1 e1(m) )) = 0,det (λEr − (A22 − K 2 e1(r) )) = 0.Вследствие наблюдаемости пар (A11 , e1(m) ), (A22 , e1(r) ) в каждом из характеристических уравнений выбором соответственно векторов K 1 и K 2 можнообеспечить любые наперед заданные коэффициенты, а, стало быть, и асимптотическую устойчивость уравнений ошибок.4.
Базис полного пространства будем составлять, выбирая поочередно векторы из наборов {g 1 , . . . , g m }, {f 1 , . . . , f l } до тех пор, пока очередной вектор не окажется линейно зависимым от предыдущих. Пусть имоказался вектор f r+1 . Недостающую часть базиса доберем из очередных векторов набора {g i }. В результате получим совокупность векторов{g 1 , . . . , g s , f 1 , . . .
, f r }, r ≤ s, s + r = n. Имеют место разложенияg s+1f r+1==μ1 g 1 + · · · + μs g s + ν1 f 1 + · · · + νr f r ,(D5.17)γ1 g 1 + · · · + γr g r + γr+1 g r+1 + δ1 f 1 + · · · + δr f r .Аналогично тому, как это делалось в задаче управления, проведем некоторыепреобразования, дабы освободиться от наличия во втором соотношении двухразноименных векторов с одинаковыми старшими индексами.Введем векторы fj = f j − γr+1 g j , (fj+1 = A fj ), и новое «измерение»z = f1 x = z2 − γr+1 z1 .В новых величинах соотношения (D5.17) перепишутся в видеfr+1γi214==γ1 g 1 + · · · + γr g r + δ1 f1 + · · · + δr fr ,γi + δi ∗ γr+1 , i = 1, . . . , r.(D5.18)Покажем, что существует базис {p1 , .
. . , ps , q 1 , . . . , q r }, в котором ковариантные координаты вектора x описываются следующим образомξjz1ξ̇1ξ̇2====···=ξ˙sx pj (j = 1, . . . , s),ξ1 ,μs ξ1 + ξ2 + νs z2 ,μs−1 ξ1 + ξ3 + νs−1 z2 ,ηizη̇1η̇2μ1 ξ1 + ν1 z2 ,η̇r====···=x q i (i = 1, . . . , r),η1 ,δr η1 + γr z1 + η2 ,δr−1 η1 + η3 + γr−1z1 ,δ1 η1 + γ1 z1 ,причем νj = 0 при j > r.Последовательно имеем из первого столбца==···=ξ1ξ2ξsx g 1 = x p1 ,ξ̇1 − μs ξ1 − νs z2 = x (g 2 − μs g 1 − νs f 1 ) = x p2 ,x (g s − μs g s−1 − · · · − μ2 g 1 − νs f s−1 − · · · − ν2 f 1 ) = x ps .Последнее уравнение столбца выполняется тождественно в силу (D5.17).Аналогично,η1η2ηr==···=x f1 = x q 1 ,x (f2 − δr f1 − γr g 1 ) = x q 2 ,x (fr − δr fr−1 − · · · − δ2 f1 − γr g r−1 − · · · − γ2 g 1 ) = x q r .В качестве алгоритма оценивания выберем следующийξ̃˙1˙ξ̃sη̃˙ 1η̃˙ r=···μs ξ̃1 + ξ˜2 + νs z2 + K11 (z1 − ξ˜1 ),==···=μ1 ξ˜1 + ν1 z2 + K1s (z1 − ξ̃1 ),δr η̃1 + η̃2 + γr z1 + K21 (z − η̃1 ),δr η̃1 + γ1 z1 + K2r (z − η̃1 ).Уравнения ошибок оказываются расщепленными на две независимые друг отдруга группы:Δξ˙1 = (μs − K11 )Δξ1 + Δξ2 ,···Δξ̇s = (μ1 − K1s )Δξ1 ,Δη̇1 = (δr − K21 )Δη1 + Δη2 ,···Δη̇r = (δ1 − K2r )Δη1 .Из предыдущего ясно, что в каждой из подсистем параметры K1j и K2i можно выбрать так, чтобы соответствующие характеристические уравнения имелилюбые наперед заданные коэффициенты, а, стало быть, так, чтобы уравненияошибок были асимптотически устойчивы.215Дополнение к лекции 13.