Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 29

PDF-файл В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 29 Механика управляемых систем (53170): Лекции - 7 семестрВ.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем: Механика управляемых систем - PDF, страница 29 (53170) - СтудИ2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 29 страницы из PDF

. .f 1 = b2 , f 2 = Af 1 , . . . , f j+1 = Af j , . . .Пусть такжеg m+1f l+1==α1 g 1 + · · · + αm g m ,β1 f 1 + · · · + βl f l ,(D5.2)и каждый из наборов {g 1 , . . . , g m } и {f 1 , . . . , f l } состоит из линейно независимых векторов.В свете вышесказанного каждый из наборов представляет базис управляемого подпространства соответственно при помощи управления u1 и припомощи управления u2 . Если пара (A, B) управляема, то m + l ≥ n и среди векторов указанных наборов найдется n линейно независимых векторов,которые в совокупности могут быть выбраны в качестве базиса полного пространства. Очевидно, выбор базиса в общем случае неоднозначен.Из всех возможных вариантов такого выбора базиса два представляютнаибольший практический интерес.1. Базис полного пространства составим из всех векторов первого набора, дополнив их до n векторов первыми векторами второго набора{g 1 , .

. . , g m , f 1 , . . . , f r }, m + r = n. Имеет место представлениеf r+1 = γ1 g 1 + · · · + γm g m + δ1 f 1 + · · · + δr f r .(D5.3)209Введем векторы ξ = (ξ1 . . . ξm ) и η = (η1 . . . ηr ) , составленные из контравариантных координат вектора x в новом базисеx = ξ1 g 1 + · · · + ξm g m + η1 f 1 + · · · + ηr f r .(D5.4)Подставив (D5.4) в (D5.1), аналогично предыдущему, получим с учетом (D5.2)и (D5.3):ξ̇η̇где⎛⎜⎜A11 = ⎜⎝⎛⎜⎜A22 = ⎜⎝A11 ξ + A12 η + b1 u1 ,A22 η + b2 u2 ,==01...000...0......01...000...0......···...···...00...100...1α1α2...αm⎞⎛(D5.5)00...0⎞......00...0γ1⎜⎟γ2⎜⎟⎟ , A12 = ⎜..⎝⎠···....γm⎛⎛⎞δ111⎜ 0 ⎟⎜ 0δ2 ⎟⎟⎜⎜⎟12..

⎟ , b = ⎜ .. ⎟ , b = ⎜ ..⎠⎝⎝ .⎠..δr00⎞⎟⎟⎟,⎠⎞⎟⎟⎟.⎠Пары (A11 , b1 ) и (A22 , b2 ), очевидно, управляемы.Задачу стабилизации можно решить при помощи линейной обратной связи u1 = c1 ξ, u2 = c2 η. В результате характеристическое уравнение получившейся системы распадается на дваdet (λEm − (A11 + b1 c1 )) = 0,det (λEr − (A22 + b2 c2 )) = 0,в каждом из которых векторы c1 и c2 можно выбрать так, чтобы коэффициенты этих уравнений были любыми наперед заданными. В частности, можетбыть обеспечена экспоненциальная устойчивость системы с любой напередзаданной степенью устойчивости.2.

Базис полного пространства будем составлять, выбирая поочередновекторы из наборов {g 1 , . . . , g m } и {f 1 , . . . , f l } до тех пор, пока очереднойвектор не окажется линейно зависимым от ранее выбранных векторов.Пусть им оказался вектор f k+1 . Недостающую часть базиса доберем из очередных векторов набора {g i }. В результате получим базис{g1 , . . . , g s , f 1 , . . . , f k }, где s ≥ k, s + k = n. Имеют место представленияg s+1f k+1==μ1 g 1 + · · · + μs g s + ν1 f 1 + · · · + νk f k ,γ1 g 1 + · · · + γk g k + γk+1 g k+1 + δ1 f 1 + · · · + δk f k .(D5.6)В последнем соотношении содержатся два разноименных вектора с одинаковыми старшими индексами, что эквивалентно дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно старших производных. Для того, чтобы210освободиться от этого обстоятельства, которое могло бы причинить нам вычислительные трудности, проведем некоторые преобразования.Введем векторы fj = f j − γk+1 g j и управление u = u1 + γk+1 u2 .

Легковидеть, что fj+1 = Afj . В новых переменных исходные соотношения перепишутся следующим образомẋgs+1fk+1=Ax + u g 1 + u2 f1 ,=μ1 g 1γ1 g 1=+ ··· ++··· +μs g sγk g k(D5.7)++ν1 f1δ1 f1+ · · · + νk fk ,+ · · · + δk fk ,(D5.8)гдеμ1μkμk+1μs=···==···=μ1 + ν1 γk+1 ,γj = γj + γk+1 δj ,μk + νk γk+1 ,μk+1 ,γj = 0,j = 1, . . . , kj>k(D5.9)μs .Покажем, что существует базис {p1 , . . . , ps , v 1 , . .

. , v k }, в котором векторx = ξ1 p1 + · · · + ξs ps + η1 v 1 + · · · + ηk v k(D5.10)описывается следующими уравнениямиξ̇1ξ̇2ξ˙sη̇1η̇2η̇k==···=ξ2 ,ξ3 ,==···=η2 ,η3 ,μ1 ξ1 + · · · + μs ξs + γ1 η1 + · · · + γk ηk + u ,δ1 η1 + · · · + δk ηk + ν1 ξ1 + · · · + νk ξk + u2 .В самом деле, подставив (D5.10) в (D5.1), получим соотношения для определения базисных векторовu1 : g 1 = ps ,ξs : Aps = ps−1 + μs ps ,ξs−1 : Aps−1 = ps−2 + μs−1 ps ,···ξk : Apk = pk−1 + μk ps + νk v k ,···ξ2 : Ap2 = p1 + μ2 ps + ν2 v k ,ξ1 : Ap1 = μ1 ps + ν1 v k ,u2 :f1 = v k ,ηk : Av k = v k−1 + δk v k + γk ps ,ηk−1 : Av k−1 = v k−2 + δk−1 v k + γk−1ps ,·········η2 : Av 2 = v 1 + δ2 v k + γ2 ps ,η1 : Av 1 = δ1 v k + γ1 ps .211Теперь следует положитьpsps−1ps−2pk−1p1vkv k−1v1===···=···===···=g1,g 2 − μs g 1 ,g 3 − μs g 2 − μs−1 g 1 ,g s−k+2 − μs g s−k+1 − · · · − μk g 1 − νk f1 ,g s − μs g s−1 − · · · − μ2 g 1 − νk fk−1 − · · · − ν2 f1 ,f1 ,f2 − δk f1 − γk g 1 ,f k − δk fk−1 − · · · − δ2 f1 − γk g k−1 − · · · − γ2 f1 .Соотношения при ξ1 и η1 выполняются тождественно.

Очевидно, что набор{p1 , . . . , ps , v 1 , . . . , v k } составляет базис.Пусть измеряются все компоненты вектора состояния x и значит могутбыть вычислены величины ξ и η. Задачу стабилизации будем решать по принципу обратной связи, сформировав управления u и u2 в видеuu2==−(γ1 η1 + · · · + γk ηk ) + c1 ξ,−(ν1 ξ1 + · · · + νk ξk ) + c2 η.(D5.11)Напомним, что u = u1 + γk+1 u2 .

Отсюда находится u1 . В результате такоговыбора полная система распадается на две замкнутые подсистемыξ̇1 = ξ2 ,ξ̇2 = ξ3 ,...ξ˙s = (μ1 + c11 )ξ1 + · · · + (μs + c1s )ξs ,η̇1 = η2 ,η̇2 = η3 ,...η̇k = (δ1 + c21 )η1 + · · · + (δk + c2k )ηk .Векторы c1 и c2 могут быть выбраны так, чтобы обеспечить в каждой изподсистем любые наперед заданные характеристические уравнения, а, сталобыть, обеспечить желаемую экспоненциальную устойчивость.В заключение пунктов 1 и 2 заметим, что изложенные в них процедуры могут быть названы по своему результату декомпозицией (расщеплением) уравнений динамической системы по компонентам вектора управления.3. Перейдем теперь к задаче построения алгоритма оценивания для систем с несколькими выходами (величина z — вектор).

Процедура построениябудет сопряжена аналогичной процедуре в задаче управления.Для простоты, но не нарушая общности, будем считать, что вектор z двумерен: z = (z1 z2 ). Имеемz1 = h1 x,212z2 = h2 ,ẋ = Ax.(D5.12)Введем две последовательности векторовg 1 = h1 , g 2 = A g 1 , . . . , g j+1 = A g j , . . .f 1 = h2 , f 2 = A f 1 , .

. . , f j+1 = A f j , . . .Пустьg m+1f l+1α1 g 1 + · · · + αm g m ,β1 f 1 + · · · + βl f l ,==(D5.13)и каждый из наборов {g 1 , . . . , g m }, {f 1 , . . . , f l } состоит из линейно независимых векторов. Тогда каждый из наборов представляет базис подпространства,вполне наблюдаемого при помощи, соответственно, измерений z1 и z2 . Еслипара (A, H) вполне наблюдаема, то m + l ≥ n и среди векторов указанныхнаборов найдется n линейно независимых, которые и могут быть выбраны вкачестве базиса полного пространства.Но выбор базиса неоднозначен.

Из всех вариантов такого выбора рассмотрим (в этом и следующем пунктах) два наиболее употребительные.Составим базис полного пространства из первого набора, дополненногодо n векторов первыми векторами второго набора {g 1 , . . . , g m , f 1 , . . . , f r },m + r = n. Имеет место представлениеf r+1 = γ1 g 1 + · · · + γm g m + δ1 f 1 + · · · + δr f r .(D5.14)Введем векторы ξ = (ξ1 . . .

ξm ) и η = (η1 . . . ηr ) , составленные из ковариантных координат вектора x в новом базисеξj = x g j (j = 1, . . . , m),ηi = x f i (i = 1, . . . , r).Получим с учетом (D5.13) и (D5.14),ξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = ξ3 ,...ξ˙m = α1 ξ1 + · · · + αm ξm ,z1 = ξ1 ,η̇1 = η2 ,η̇2 = η3 ,...η̇r = γ1 ξ1 + · · · + γm ξm + δ1 η1 + · · · + δr ηr ,z2 = η1 .Или в матричной формеξ˙z1где⎛A11==A11 ξ,e1(m) ξ,0 1 0⎜ 0 0 1⎜=⎜ . . .⎝ ..

.. ..α1 α2 . . .... 0... 0.· · · ..... ...η̇z2==A21 ξ + A22 η,e1(r) η.⎛⎞00 ...⎜ 0 ...0 ⎟⎜⎟.. ⎟ , A21 = ⎜ ..⎝ . ···⎠.γ1 γ2αm00......⎞00 ⎟⎟.. ⎟ ,. ⎠γm213⎛A220 1 0⎜0 0 1⎜=⎜ . . .⎝ .. .. ..δ1 δ2 . . .⎛ ⎞⎛ ⎞⎞... 0 011⎜0⎟⎜0⎟... 0 0 ⎟⎜ ⎟ 1⎜ ⎟⎟ 1. . ⎟ , e(m) = ⎜ .. ⎟ , e(r) = ⎜ .. ⎟ .⎝.⎠⎝.⎠· · · .. .. ⎠00. . . . . .

δrКажется естественным следующий алгоритм оцениванияξ˜˙η̃˙==˜A11 ξ˜ + K 1 (z1 − e1(m) ξ),2˜A21 ξ + A22 η̃ + K (z2 − e1(r) η̃).(D5.15)(A11 − K 1 e1(m) )Δξ,A21 Δξ + (A22 − K 2 e1(r) )Δη.(D5.16)Уравнения ошибокΔξ˙Δη̇==Характеристическое уравнение последней системы расщепляется на дваdet (λEm − (A11 − K 1 e1(m) )) = 0,det (λEr − (A22 − K 2 e1(r) )) = 0.Вследствие наблюдаемости пар (A11 , e1(m) ), (A22 , e1(r) ) в каждом из характеристических уравнений выбором соответственно векторов K 1 и K 2 можнообеспечить любые наперед заданные коэффициенты, а, стало быть, и асимптотическую устойчивость уравнений ошибок.4.

Базис полного пространства будем составлять, выбирая поочередно векторы из наборов {g 1 , . . . , g m }, {f 1 , . . . , f l } до тех пор, пока очередной вектор не окажется линейно зависимым от предыдущих. Пусть имоказался вектор f r+1 . Недостающую часть базиса доберем из очередных векторов набора {g i }. В результате получим совокупность векторов{g 1 , . . . , g s , f 1 , . . .

, f r }, r ≤ s, s + r = n. Имеют место разложенияg s+1f r+1==μ1 g 1 + · · · + μs g s + ν1 f 1 + · · · + νr f r ,(D5.17)γ1 g 1 + · · · + γr g r + γr+1 g r+1 + δ1 f 1 + · · · + δr f r .Аналогично тому, как это делалось в задаче управления, проведем некоторыепреобразования, дабы освободиться от наличия во втором соотношении двухразноименных векторов с одинаковыми старшими индексами.Введем векторы fj = f j − γr+1 g j , (fj+1 = A fj ), и новое «измерение»z = f1 x = z2 − γr+1 z1 .В новых величинах соотношения (D5.17) перепишутся в видеfr+1γi214==γ1 g 1 + · · · + γr g r + δ1 f1 + · · · + δr fr ,γi + δi ∗ γr+1 , i = 1, . . . , r.(D5.18)Покажем, что существует базис {p1 , .

. . , ps , q 1 , . . . , q r }, в котором ковариантные координаты вектора x описываются следующим образомξjz1ξ̇1ξ̇2====···=ξ˙sx pj (j = 1, . . . , s),ξ1 ,μs ξ1 + ξ2 + νs z2 ,μs−1 ξ1 + ξ3 + νs−1 z2 ,ηizη̇1η̇2μ1 ξ1 + ν1 z2 ,η̇r====···=x q i (i = 1, . . . , r),η1 ,δr η1 + γr z1 + η2 ,δr−1 η1 + η3 + γr−1z1 ,δ1 η1 + γ1 z1 ,причем νj = 0 при j > r.Последовательно имеем из первого столбца==···=ξ1ξ2ξsx g 1 = x p1 ,ξ̇1 − μs ξ1 − νs z2 = x (g 2 − μs g 1 − νs f 1 ) = x p2 ,x (g s − μs g s−1 − · · · − μ2 g 1 − νs f s−1 − · · · − ν2 f 1 ) = x ps .Последнее уравнение столбца выполняется тождественно в силу (D5.17).Аналогично,η1η2ηr==···=x f1 = x q 1 ,x (f2 − δr f1 − γr g 1 ) = x q 2 ,x (fr − δr fr−1 − · · · − δ2 f1 − γr g r−1 − · · · − γ2 g 1 ) = x q r .В качестве алгоритма оценивания выберем следующийξ̃˙1˙ξ̃sη̃˙ 1η̃˙ r=···μs ξ̃1 + ξ˜2 + νs z2 + K11 (z1 − ξ˜1 ),==···=μ1 ξ˜1 + ν1 z2 + K1s (z1 − ξ̃1 ),δr η̃1 + η̃2 + γr z1 + K21 (z − η̃1 ),δr η̃1 + γ1 z1 + K2r (z − η̃1 ).Уравнения ошибок оказываются расщепленными на две независимые друг отдруга группы:Δξ˙1 = (μs − K11 )Δξ1 + Δξ2 ,···Δξ̇s = (μ1 − K1s )Δξ1 ,Δη̇1 = (δr − K21 )Δη1 + Δη2 ,···Δη̇r = (δ1 − K2r )Δη1 .Из предыдущего ясно, что в каждой из подсистем параметры K1j и K2i можно выбрать так, чтобы соответствующие характеристические уравнения имелилюбые наперед заданные коэффициенты, а, стало быть, так, чтобы уравненияошибок были асимптотически устойчивы.215Дополнение к лекции 13.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее