Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 21

PDF-файл В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 21 Механика управляемых систем (53170): Лекции - 7 семестрВ.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем: Механика управляемых систем - PDF, страница 21 (53170) - СтудИ2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 21 страницы из PDF

Стационарные системы при бесконечном времени управленияРассмотрим случай, когда система стационарна, а время управления бесконечно, т.е. tk = ∞, A, B, G, N = const . В этом случае, вообще говоря, может быть J(u) → ∞.Добавим условие управляемости (см. лекцию 3):rank[B, AB, . . . , An−1 B] = n,A, B = const .Тогда управляемая система стабилизируема, следовательно, существуют управления u = Kx такие, что |x(t)| ≤ Ce−λt и функционал J(u) конечен. Следовательно, поставленная задача имеет смысли верна следующая теорема.145Теорема 24 (Калман, 1962). Если система управляема, то ∃lim L(t0 ) = L0 > 0, где L0 — единственное решение алгебtk −t0 →∞раического уравнения РиккатиL0 A + A L0 + G − L0 BN −1 B L0 = 0.(20.1)Покажем, что при u0 = −N −1 B L0 x система экспоненциальноустойчива.Рассмотрим функцию Ляпунова V = x L0 x.

Тогда∂V dxdV== 2x L0 (A − BN −1 B L0 )x =dt ∂x dt= x (AL0 + L0 A ) − 2L0 BN −1 B L0 x =(20.2)−1 = x − L0 BN B L0 − G x == −x Gx − u0 N u0 < 0,так как по условию G > 0, N > 0. Таким образом, производная функции Ляпунова в силу системы отрицательно определена, откуда имеетместо асимптотическая устойчивость системы.Вычислим оптимальное значение функционала. Поскольку u0 =−N −1 B L0 x, из (20.2) следует∞∞000J(u ) = (x Gx + u N u )dt = (x Gx+t0+x L0 BN −1 B L0 x)dt =t0∞−dV= V (t0 ) − V (∞) = V (t0 ).dtt0Следовательно, J(u ) = V (t0 ) = x(t0 ) L0 x(t0 ) и получена явная зависимость оптимальной величины функционала от начальных условий.Теперь найдем оценку сверху для самих отклонений. Из (20.2) следуетdV= −x Gx − u0 N u0 ≤ −x Gx < 0,dtт.к. матрицы G > 0, N > 0 по условию.Известно, что существует ортогональное преобразование x = Sξ,приводящее положительно определенную квадратичную форму к диагональному виду,nλi ξi2 ,x Gx =0i=1146где λi > 0 — собственные значения матрицы G.

Тогда получим оценкуλmin x2 ≤ x Gx ≤ λmax x2 .Аналогично для квадратичной формыμmin x2 ≤ x L0 x ≤ μmax x2 .Используя полученные неравенства, получимdVλmin≤ −x Gx ≤ −λmin x2 ≤ −V,dtμmaxоткуда следуетλminV (t) ≤ V (t0 )exp −(t − t0 ) .μmaxНоλmin1μmaxV ≤x(t0 )2 e− μmax (t−t0 ) ,μminμminпотому верно неравенство/λminμmaxx(t) ≤|x(t0 )| e− 2μmax (t−t0 ) ,μminx(t)2 ≤откуда следует экспоненциальная устойчивость нулевого решения замкнутой системы.147Лекция 21Квадратичная стабилизация и линейныематричные неравенстваРассмотрим теперь другой подход к решению поставленной впредыдущей лекции задаче. Нами было получено, что для линейнойстационарной управляемой системы(21.1)ẋ = Ax + Buи критерия качества∞J = (x Gx + u N u)dt,G = G ≥ 0, N = N > 0(21.2)t0управление в виде обратной связи u = −N −1 B L0 x, где L0 — решение алгебраического уравения Риккати (20.1), стабилизирует замкнутую систему (21.1), а функция V (x) = x L0 x является для неефункцией Ляпунова, и вдоль траекторий системы функция∞V (t) = (x Gx + u N u)dttубывает.Теперь попытаемся, не связываясь с уравнением Риккати, найтиматрицу L = L > 0 такую, чтобы квадратичная форма V = x Lxбыла функцией Ляпунова для замкнутой системы (21.1) с управлением u = −N −1 B Lxẋ = (A − BN −1 B L)x = Ak x.(21.3)Производная функции Ляпунова в силу системы удовлетворяет условиюdV̇ = V (x) = x (LAk + Ak L)x < 0,dtесли выполнены неравенстваLAk + Ak L < 0,L > 0.(21.4)Подставляя в неравенство (21.4), выражение для матрицы Ak получим(21.5)LA + A L − 2LBN −1 B L < 0.148Обозначим обратную матрицу S = L−1 и умножим (21.5) слева исправа на S.

ПолучимAS + SA − 2BN −1 B < 0,S > 0.(21.6)Следовательно, надо разрешить относительно S матричное неравенство (21.6), которое является линейным матричным неравенством (LMI).Линейным матричным неравенством называется неравенство относительно неизвестных переменных x = (x1 , .

. . , xm ) следующеговидаF (x) = F0 + x1 F1 + · · · + xm Fm > 0,(21.7)где Fi — действительные симметричные матрицы размера n × n, т.е.Fi = Fi , i = 0, . . . , m.Для любого решения x матрица F (x) > 0 является положительноопределеннойz F (x)z > 0, ∀z ∈ Rn , z = 0.Рассмотрим более общее, чем (21.6) неравенствоAX + XA + W > 0,W = W > 0,(21.8)где A, W — заданные матрицы, а X — неизвестная матрица. Тогдавыбрав базис {E1 , .

. . , Em }, m = n(n + 1)/2 в пространстве симметричных матриц (или в изоморфном ему евклидовом пространстве Rm ),запишем неравенство (21.8) в видеmmX=xj Ej ,xj (AEj + Ej A ) + W > 0,j=1j=1что имеет вид (21.7).Линейное матричное неравенство (21.7) определяетвыпуклоеограничение на вектор x, т.е множество F = {x F (x) > 0} выпукло. Действительно, если x1 , x2 ∈ F и α ∈ [0, 1], тоF (αx1 + (1 − α)x2 ) = αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) > 0.Понятно, что система линейных матричных неравенствF1 (x) > 0, . . .

, Fk (x) > 0может быть записана как одно неравенство⎛⎞00F1 (x)F2 (x)0 ⎠ > 0.F (x) = ⎝ 000Fk (x)149Для решения линейных матричных неравенств разработаны эффективные методы численного решения, основанные на идеях выпуклойоптимизации.Вернемся к неравенству (21.6) и посмотрим, как меняется функционал J при различных решениях S (соответственно L = S −1 ).Введем параметр γ > 0 и усилим неравенство (21.6), добавив слагаемоеAS + SA − 2BN −1 B + γ(BN −1 B + SGS) ≤ 0,S > 0, (21.9)где матрица G ≥ 0, и попытаемся найти решение этого квадратичногоматричного неравенства.Нам понадобится следующая лемма, доказательство которойможно найти в [32]:Лемма 1. Матричное уравнение ЛяпуноваAP + P A + W = 0при W = W имеет единственное решение тогда и только тогда, когда Re(λi +λj ) = 0 для всех собственных значений λi матрицы A.

При этом∞P = eAt W eA t dt > 0t0тогда и только тогда, когда A гурвицева и либо:1) W > 0;2) W = CC и пара (A, C) управляемая.Следовательно, если существует положительно определенное решение уравнения Ляпунова, то матрица A гурвицева (устойчивая).Следствие 1. Если матрица A гурвицева и W > 0, ẋ = Ax, x(t0 ) =x0 , то значение функционала J можно вычислить по формуле∞(21.10)J = x W x dt = x0 P x0 ,t0где P — решение уравнения, сопряженного к рассмотренномувыше уравнению ЛяпуноваP A + A P + W = 0.Докажем это.150Пусть W = D D. Пара (A, D) наблюдаема.

Тогда P можно представить в виде∞P = eA (t−t0 ) D DeA(t−t0 ) dt > 0.t0Поскольку решение системы ẋ = Ax, с начальным условием x(t0 ) =x0 есть x(t) = eA(t−t0 ) x0 , то получим∞∞A(t−t0 ) D DeA(t−t0 ) x0 = xJ = x W xdt = x0 e0 P x0 .t0t0Следствие 2 (неравенство Ляпунова). Пусть матрица A гурвицева, пара (A, B) управляема и P0 — решение уравнения ЛяпуноваAP0 + P0 A + BB = 0.Тогда неравенство ЛяпуноваAP + P A ≤ −BB разрешимо, причем для любого решения P справедливо неравенство P ≥ P0 .Применим следствие 1 к лемме 1 для системы с устойчивой матрицей Ak = A − BN −1 B L и матрицей функционала W = G +LBN −1 B L. Напомним, что u = −N −1 B S −1 x, где L = S −1 некоторая матрица.Соответствующее такой системе уравнение Ляпунова запишетсятак:−1 AB L).(21.11)k Lk + Lk Ak = −(G + LBNПолучив решение Lk > 0 уравнения (21.11), значение функционаламожно вычислить по формуле (21.10): J = x0 Lk x0 .

Заметим, что вуравнении Ляпунова (21.11) матрица L должна удовлетворять неравенству (21.6) или усиленному неравенству (21.9).Умножив левую часть неравенства (21.9) слева и справа на S −1 ,получимLA + A L − 2LBN −1 B L ≤ −γ(G + LBN −1 B L).(21.12)Перепишем (21.12) в виде11−1 B L)Ak ( L) + ( L)Ak ≤ −(G + LBNγγ151Вычтем из этого неравенства равенство (21.11) и получим неравенство11A(21.13)k ( L − Lk ) + ( L − Lk )Ak ≤ 0.γγКак уже говорилось, матрица Ak устойчива и существует положительно определенное решение уравнения Ляпунова (21.11): Lk > 0.В свою очередь матрица P = γ1 L − Lk удовлетворяет неравенствуЛяпунова (21.13), и следовательно P ≥ 0.Таким образом, выполнены неравенства1 1J = xx0 Lx0 = xS −1 x0 ,0 Lk x0 ≤γγ 0где S > 0 — решение квадратичного неравенства (21.9). Это квадратичное неравенство можно заменить на линейное, пользуясь следующей леммой [18]:Лемма 2.

Дана блочная матрицаX11 X12X=X21 X22где X11 , X22 —квадратные матрицы.Если det|X22 | = 0, то X невырождена тогда и только тогда,−1X21 (дополнение по Шуру)когда матрица Q = X11 − X12 X22невырождена иdet|X| = det|X22 |det|Q|Действительно, если вычесть из первой строки матрицы X вторую,−1, получимумноженную слева на X12 X22−1X11 − X12 X22X210X=X22X21откуда следует требуемый результат.Следствие 3. Если X11 = X11, X22 = X22, X21 = X12, тоX > 0 ⇐⇒ X22 > 0,Q > 0.Отметим, что если X12 = 0, а X22 = βEm , нестрогое неравенствоX ≥ 0 выполняется, если и только если β > 0, Q ≥ 0.Воспользуемся леммой 2, чтобы представить квадратичное неравенство (21.9) в линейном виде.Представим матрицу G в виде квадратного корня G = DD . Тогдасистема√γSDAS + SA + (γ − 2)BN −1 B √ ≤ 0,S > 0 (21.14)γD S−E152эквивалентна (21.9). Действительно, по следствию 3 леммы 2 неравенство (21.14) выполнено, если и только если дополнение по ШуруQ = AS + SA + (γ − 2)BN −1 B + γSGS ≤ 0,что совпадает с левой частью неравенства (21.9).

Попутно мы получили такой результат: множество решений квадратичного неравенства(21.9) выпукло.Теперь можно получить оценку сверху для функционала. Если дляданного γ > 0 существует решение системы (21.14), то применив обратную связьu = −N −1 B S −1 x,можно обеспечить значение функционала не более чем∞−1J = (x Gx + u N u)dt ≤ γ −1 xx0 .0S(21.15)0Для того, чтобы найти минимум функционала, надо решить задачуодномерной минимизации правой части неравенства по параметру γ ∈(0, ∞).Как видим, на первый взгляд задача стабилизации с использованием линейных матричных неравенств решается сложнее, чемлинейно-квадратичная оптимальная задача (через уравнения Риккати).

Но, как покажем ниже, решение с использованием LMI обобщается на случай, когда в системе присутствуют мультипликативныенеопределенности.153Лекция 22Стабилизация линейной системы приналичии возмущенийРезультаты предыдущей лекции распространяются на случай, когда в управляемой системе присутствуют возмущения и (или) неопределенности.1. Робастная квадратичная стабилизация линейнойсистемыРассмотрим частный случай, когда матрица управляемой системысодержит неопределенностиq ∈ Q ⊂ Rm ,ẋ = A(q)x + Bu,(22.1)где Q — выпуклое множество.

(Множество выпукло, если для любыхq1 , q2 ∈ Q, следует λ1 q1 + λ2 q2 ∈ Q, при λ1 + λ2 = 1, λi ≥ 0).Можно рассматривать разные виды неопределенностей:а) интервальная неопределенностьqi− ≤ qi ≤ qi+ ,i = 1, 2 . . . , m.b) сферическая неопределенностьq ∈ Q = {(q − q0 ) W −1 (q − q0 ) ≤ 1},где W — симметричная положительно определенная матрица. Множество Q — эллипсоид с центром в точке q0 .c) аффинная матричная неопределенностьmqi Ai ,q∈QA(q) = A0 +i=1где A0 , Ai — заданные матрицы, а множество Q — выпуклый многогранник в Rm .Поставим задачу робастной квадратичной стабилизации [32]:найти управление u = Kx такое, чтобы все замкнутые системыẋ = (A(q) + BK)x,были асимптотически устойчивы.154x(0) = x0 ,q∈QРассмотрим решение для случая с) — аффинной неопределенности. Попытаемся найти u = Kx так, чтобы для всех q ∈ Q гарантировать некоторый заданный уровень μ для квадратичного критериякачества∞J = (x Gx + u N u)dt ≤ μ.0Для простоты будем считать, что матрицы B, G = G > 0, N = N >0 известны точно.Чтобы сформулировать результат для случая матричной аффинной неопределенности, воспользуемся материалом прошлой лекции итем фактом, что необходимым и достаточным условием выполнениялинейного матричного неравенстваF (x, q) ≥ 0,q ∈ Q,где Q — многогранник, является выполнение конечного числа неравенств(22.2)F (x, q j ) ≥ 0, j = 1, 2, .

. . , lв вершинах q j многогранника Q.Надо отметить, что число этих неравенств может получиться оченьбольшим, например для куба или параллелепипеда l = 2m , а если ин2тервально ограничен каждый элемент матрицы A, то l = 2n .Нам известно решение задачи о квадратичном регуляторе прификсированных q j−1J ≤ γ −1 xx0 ,0 Sгде симметричная матрица S > 0 является решением системы линейных неравенств√A(q j )S + SA(q j ) + (γ − 2)BN −1 B γSD√ ≤ 0,γD S−EG = DD ,j = 1, 2, . .

. , l.Для решения этой задачи необходимо использовать методы решениясистемы линейных неравенств большой размерности.2. Стабилизация при наличии аддитивных возмущенийПостановка задачи об устойчивости системы при наличиипостоянно-действующих возмущений дана в работе [29].155Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть дана возмущеннаясистема дифференциальных уравнений(22.3)ẏ = Y (t, y) + r(t).Известно лишь, что постоянно-действующие возмущения r(t) =(r1 (t), .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5075
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее