В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 21
Описание файла
PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 21 страницы из PDF
Стационарные системы при бесконечном времени управленияРассмотрим случай, когда система стационарна, а время управления бесконечно, т.е. tk = ∞, A, B, G, N = const . В этом случае, вообще говоря, может быть J(u) → ∞.Добавим условие управляемости (см. лекцию 3):rank[B, AB, . . . , An−1 B] = n,A, B = const .Тогда управляемая система стабилизируема, следовательно, существуют управления u = Kx такие, что |x(t)| ≤ Ce−λt и функционал J(u) конечен. Следовательно, поставленная задача имеет смысли верна следующая теорема.145Теорема 24 (Калман, 1962). Если система управляема, то ∃lim L(t0 ) = L0 > 0, где L0 — единственное решение алгебtk −t0 →∞раического уравнения РиккатиL0 A + A L0 + G − L0 BN −1 B L0 = 0.(20.1)Покажем, что при u0 = −N −1 B L0 x система экспоненциальноустойчива.Рассмотрим функцию Ляпунова V = x L0 x.
Тогда∂V dxdV== 2x L0 (A − BN −1 B L0 )x =dt ∂x dt= x (AL0 + L0 A ) − 2L0 BN −1 B L0 x =(20.2)−1 = x − L0 BN B L0 − G x == −x Gx − u0 N u0 < 0,так как по условию G > 0, N > 0. Таким образом, производная функции Ляпунова в силу системы отрицательно определена, откуда имеетместо асимптотическая устойчивость системы.Вычислим оптимальное значение функционала. Поскольку u0 =−N −1 B L0 x, из (20.2) следует∞∞000J(u ) = (x Gx + u N u )dt = (x Gx+t0+x L0 BN −1 B L0 x)dt =t0∞−dV= V (t0 ) − V (∞) = V (t0 ).dtt0Следовательно, J(u ) = V (t0 ) = x(t0 ) L0 x(t0 ) и получена явная зависимость оптимальной величины функционала от начальных условий.Теперь найдем оценку сверху для самих отклонений. Из (20.2) следуетdV= −x Gx − u0 N u0 ≤ −x Gx < 0,dtт.к. матрицы G > 0, N > 0 по условию.Известно, что существует ортогональное преобразование x = Sξ,приводящее положительно определенную квадратичную форму к диагональному виду,nλi ξi2 ,x Gx =0i=1146где λi > 0 — собственные значения матрицы G.
Тогда получим оценкуλmin x2 ≤ x Gx ≤ λmax x2 .Аналогично для квадратичной формыμmin x2 ≤ x L0 x ≤ μmax x2 .Используя полученные неравенства, получимdVλmin≤ −x Gx ≤ −λmin x2 ≤ −V,dtμmaxоткуда следуетλminV (t) ≤ V (t0 )exp −(t − t0 ) .μmaxНоλmin1μmaxV ≤x(t0 )2 e− μmax (t−t0 ) ,μminμminпотому верно неравенство/λminμmaxx(t) ≤|x(t0 )| e− 2μmax (t−t0 ) ,μminx(t)2 ≤откуда следует экспоненциальная устойчивость нулевого решения замкнутой системы.147Лекция 21Квадратичная стабилизация и линейныематричные неравенстваРассмотрим теперь другой подход к решению поставленной впредыдущей лекции задаче. Нами было получено, что для линейнойстационарной управляемой системы(21.1)ẋ = Ax + Buи критерия качества∞J = (x Gx + u N u)dt,G = G ≥ 0, N = N > 0(21.2)t0управление в виде обратной связи u = −N −1 B L0 x, где L0 — решение алгебраического уравения Риккати (20.1), стабилизирует замкнутую систему (21.1), а функция V (x) = x L0 x является для неефункцией Ляпунова, и вдоль траекторий системы функция∞V (t) = (x Gx + u N u)dttубывает.Теперь попытаемся, не связываясь с уравнением Риккати, найтиматрицу L = L > 0 такую, чтобы квадратичная форма V = x Lxбыла функцией Ляпунова для замкнутой системы (21.1) с управлением u = −N −1 B Lxẋ = (A − BN −1 B L)x = Ak x.(21.3)Производная функции Ляпунова в силу системы удовлетворяет условиюdV̇ = V (x) = x (LAk + Ak L)x < 0,dtесли выполнены неравенстваLAk + Ak L < 0,L > 0.(21.4)Подставляя в неравенство (21.4), выражение для матрицы Ak получим(21.5)LA + A L − 2LBN −1 B L < 0.148Обозначим обратную матрицу S = L−1 и умножим (21.5) слева исправа на S.
ПолучимAS + SA − 2BN −1 B < 0,S > 0.(21.6)Следовательно, надо разрешить относительно S матричное неравенство (21.6), которое является линейным матричным неравенством (LMI).Линейным матричным неравенством называется неравенство относительно неизвестных переменных x = (x1 , .
. . , xm ) следующеговидаF (x) = F0 + x1 F1 + · · · + xm Fm > 0,(21.7)где Fi — действительные симметричные матрицы размера n × n, т.е.Fi = Fi , i = 0, . . . , m.Для любого решения x матрица F (x) > 0 является положительноопределеннойz F (x)z > 0, ∀z ∈ Rn , z = 0.Рассмотрим более общее, чем (21.6) неравенствоAX + XA + W > 0,W = W > 0,(21.8)где A, W — заданные матрицы, а X — неизвестная матрица. Тогдавыбрав базис {E1 , .
. . , Em }, m = n(n + 1)/2 в пространстве симметричных матриц (или в изоморфном ему евклидовом пространстве Rm ),запишем неравенство (21.8) в видеmmX=xj Ej ,xj (AEj + Ej A ) + W > 0,j=1j=1что имеет вид (21.7).Линейное матричное неравенство (21.7) определяетвыпуклоеограничение на вектор x, т.е множество F = {x F (x) > 0} выпукло. Действительно, если x1 , x2 ∈ F и α ∈ [0, 1], тоF (αx1 + (1 − α)x2 ) = αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) > 0.Понятно, что система линейных матричных неравенствF1 (x) > 0, . . .
, Fk (x) > 0может быть записана как одно неравенство⎛⎞00F1 (x)F2 (x)0 ⎠ > 0.F (x) = ⎝ 000Fk (x)149Для решения линейных матричных неравенств разработаны эффективные методы численного решения, основанные на идеях выпуклойоптимизации.Вернемся к неравенству (21.6) и посмотрим, как меняется функционал J при различных решениях S (соответственно L = S −1 ).Введем параметр γ > 0 и усилим неравенство (21.6), добавив слагаемоеAS + SA − 2BN −1 B + γ(BN −1 B + SGS) ≤ 0,S > 0, (21.9)где матрица G ≥ 0, и попытаемся найти решение этого квадратичногоматричного неравенства.Нам понадобится следующая лемма, доказательство которойможно найти в [32]:Лемма 1. Матричное уравнение ЛяпуноваAP + P A + W = 0при W = W имеет единственное решение тогда и только тогда, когда Re(λi +λj ) = 0 для всех собственных значений λi матрицы A.
При этом∞P = eAt W eA t dt > 0t0тогда и только тогда, когда A гурвицева и либо:1) W > 0;2) W = CC и пара (A, C) управляемая.Следовательно, если существует положительно определенное решение уравнения Ляпунова, то матрица A гурвицева (устойчивая).Следствие 1. Если матрица A гурвицева и W > 0, ẋ = Ax, x(t0 ) =x0 , то значение функционала J можно вычислить по формуле∞(21.10)J = x W x dt = x0 P x0 ,t0где P — решение уравнения, сопряженного к рассмотренномувыше уравнению ЛяпуноваP A + A P + W = 0.Докажем это.150Пусть W = D D. Пара (A, D) наблюдаема.
Тогда P можно представить в виде∞P = eA (t−t0 ) D DeA(t−t0 ) dt > 0.t0Поскольку решение системы ẋ = Ax, с начальным условием x(t0 ) =x0 есть x(t) = eA(t−t0 ) x0 , то получим∞∞A(t−t0 ) D DeA(t−t0 ) x0 = xJ = x W xdt = x0 e0 P x0 .t0t0Следствие 2 (неравенство Ляпунова). Пусть матрица A гурвицева, пара (A, B) управляема и P0 — решение уравнения ЛяпуноваAP0 + P0 A + BB = 0.Тогда неравенство ЛяпуноваAP + P A ≤ −BB разрешимо, причем для любого решения P справедливо неравенство P ≥ P0 .Применим следствие 1 к лемме 1 для системы с устойчивой матрицей Ak = A − BN −1 B L и матрицей функционала W = G +LBN −1 B L. Напомним, что u = −N −1 B S −1 x, где L = S −1 некоторая матрица.Соответствующее такой системе уравнение Ляпунова запишетсятак:−1 AB L).(21.11)k Lk + Lk Ak = −(G + LBNПолучив решение Lk > 0 уравнения (21.11), значение функционаламожно вычислить по формуле (21.10): J = x0 Lk x0 .
Заметим, что вуравнении Ляпунова (21.11) матрица L должна удовлетворять неравенству (21.6) или усиленному неравенству (21.9).Умножив левую часть неравенства (21.9) слева и справа на S −1 ,получимLA + A L − 2LBN −1 B L ≤ −γ(G + LBN −1 B L).(21.12)Перепишем (21.12) в виде11−1 B L)Ak ( L) + ( L)Ak ≤ −(G + LBNγγ151Вычтем из этого неравенства равенство (21.11) и получим неравенство11A(21.13)k ( L − Lk ) + ( L − Lk )Ak ≤ 0.γγКак уже говорилось, матрица Ak устойчива и существует положительно определенное решение уравнения Ляпунова (21.11): Lk > 0.В свою очередь матрица P = γ1 L − Lk удовлетворяет неравенствуЛяпунова (21.13), и следовательно P ≥ 0.Таким образом, выполнены неравенства1 1J = xx0 Lx0 = xS −1 x0 ,0 Lk x0 ≤γγ 0где S > 0 — решение квадратичного неравенства (21.9). Это квадратичное неравенство можно заменить на линейное, пользуясь следующей леммой [18]:Лемма 2.
Дана блочная матрицаX11 X12X=X21 X22где X11 , X22 —квадратные матрицы.Если det|X22 | = 0, то X невырождена тогда и только тогда,−1X21 (дополнение по Шуру)когда матрица Q = X11 − X12 X22невырождена иdet|X| = det|X22 |det|Q|Действительно, если вычесть из первой строки матрицы X вторую,−1, получимумноженную слева на X12 X22−1X11 − X12 X22X210X=X22X21откуда следует требуемый результат.Следствие 3. Если X11 = X11, X22 = X22, X21 = X12, тоX > 0 ⇐⇒ X22 > 0,Q > 0.Отметим, что если X12 = 0, а X22 = βEm , нестрогое неравенствоX ≥ 0 выполняется, если и только если β > 0, Q ≥ 0.Воспользуемся леммой 2, чтобы представить квадратичное неравенство (21.9) в линейном виде.Представим матрицу G в виде квадратного корня G = DD . Тогдасистема√γSDAS + SA + (γ − 2)BN −1 B √ ≤ 0,S > 0 (21.14)γD S−E152эквивалентна (21.9). Действительно, по следствию 3 леммы 2 неравенство (21.14) выполнено, если и только если дополнение по ШуруQ = AS + SA + (γ − 2)BN −1 B + γSGS ≤ 0,что совпадает с левой частью неравенства (21.9).
Попутно мы получили такой результат: множество решений квадратичного неравенства(21.9) выпукло.Теперь можно получить оценку сверху для функционала. Если дляданного γ > 0 существует решение системы (21.14), то применив обратную связьu = −N −1 B S −1 x,можно обеспечить значение функционала не более чем∞−1J = (x Gx + u N u)dt ≤ γ −1 xx0 .0S(21.15)0Для того, чтобы найти минимум функционала, надо решить задачуодномерной минимизации правой части неравенства по параметру γ ∈(0, ∞).Как видим, на первый взгляд задача стабилизации с использованием линейных матричных неравенств решается сложнее, чемлинейно-квадратичная оптимальная задача (через уравнения Риккати).
Но, как покажем ниже, решение с использованием LMI обобщается на случай, когда в системе присутствуют мультипликативныенеопределенности.153Лекция 22Стабилизация линейной системы приналичии возмущенийРезультаты предыдущей лекции распространяются на случай, когда в управляемой системе присутствуют возмущения и (или) неопределенности.1. Робастная квадратичная стабилизация линейнойсистемыРассмотрим частный случай, когда матрица управляемой системысодержит неопределенностиq ∈ Q ⊂ Rm ,ẋ = A(q)x + Bu,(22.1)где Q — выпуклое множество.
(Множество выпукло, если для любыхq1 , q2 ∈ Q, следует λ1 q1 + λ2 q2 ∈ Q, при λ1 + λ2 = 1, λi ≥ 0).Можно рассматривать разные виды неопределенностей:а) интервальная неопределенностьqi− ≤ qi ≤ qi+ ,i = 1, 2 . . . , m.b) сферическая неопределенностьq ∈ Q = {(q − q0 ) W −1 (q − q0 ) ≤ 1},где W — симметричная положительно определенная матрица. Множество Q — эллипсоид с центром в точке q0 .c) аффинная матричная неопределенностьmqi Ai ,q∈QA(q) = A0 +i=1где A0 , Ai — заданные матрицы, а множество Q — выпуклый многогранник в Rm .Поставим задачу робастной квадратичной стабилизации [32]:найти управление u = Kx такое, чтобы все замкнутые системыẋ = (A(q) + BK)x,были асимптотически устойчивы.154x(0) = x0 ,q∈QРассмотрим решение для случая с) — аффинной неопределенности. Попытаемся найти u = Kx так, чтобы для всех q ∈ Q гарантировать некоторый заданный уровень μ для квадратичного критериякачества∞J = (x Gx + u N u)dt ≤ μ.0Для простоты будем считать, что матрицы B, G = G > 0, N = N >0 известны точно.Чтобы сформулировать результат для случая матричной аффинной неопределенности, воспользуемся материалом прошлой лекции итем фактом, что необходимым и достаточным условием выполнениялинейного матричного неравенстваF (x, q) ≥ 0,q ∈ Q,где Q — многогранник, является выполнение конечного числа неравенств(22.2)F (x, q j ) ≥ 0, j = 1, 2, .
. . , lв вершинах q j многогранника Q.Надо отметить, что число этих неравенств может получиться оченьбольшим, например для куба или параллелепипеда l = 2m , а если ин2тервально ограничен каждый элемент матрицы A, то l = 2n .Нам известно решение задачи о квадратичном регуляторе прификсированных q j−1J ≤ γ −1 xx0 ,0 Sгде симметричная матрица S > 0 является решением системы линейных неравенств√A(q j )S + SA(q j ) + (γ − 2)BN −1 B γSD√ ≤ 0,γD S−EG = DD ,j = 1, 2, . .
. , l.Для решения этой задачи необходимо использовать методы решениясистемы линейных неравенств большой размерности.2. Стабилизация при наличии аддитивных возмущенийПостановка задачи об устойчивости системы при наличиипостоянно-действующих возмущений дана в работе [29].155Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть дана возмущеннаясистема дифференциальных уравнений(22.3)ẏ = Y (t, y) + r(t).Известно лишь, что постоянно-действующие возмущения r(t) =(r1 (t), .