Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 78

PDF-файл Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 78 Квантовые вычисления (53151): Книга - 7 семестрДж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2: Квантовые вычисления - PDF, страница 78 (53151) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 78 страницы из PDF

,- А sшЧтобы найтиа именноF3ЛА,е2"мы иснользуем требование положительностиимеет поnожитеJIЬНЫС собственные значения:, -ЛtrF3+det.F 3 =0,==Л=1-А±АсоsЛ ~ О, ==> А ,;:;е2,1l±cosB/2F3,РЬШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К l'JIABE 5437При В Е[0, 1r] таким наибольшим А, при I<Отором оба1ния остаются положительными. является А ___:__собсwенных значе­1 + cos0/2. Следовюельно,максима:Iыюе приобретение информации равноI(B;A) ~· 2sin2 ~ ~ 1-cos~.с) В после.сней отчаянной попьrrке Боб nозвращается к измерению фонНсймана, I<Оторое «Выявляет р:П.'IИЧИС>> между [и} и[·v}.Эта схема действи­те,;rьно оказынается наилучшей.Вероятности:р(1[и) =cos2(е~''}р(2[и) =sin2 ( 8 ~").p(u) ~12•").р( l[v) -sin 2(е ~p(2[v)cos2(е~"}=p(v) ~12·Условная 1нтрония:Н(В[А) = - [sin 2 ( 8 ~ ") Jog (sin 2 ( 0 ~т.)) с1cos2 (е : 7Г) log ( cosz (е ~ т.)) J.Энтропия Шеннона:Н(В) = -1 11]-1 log2 + -2 lои~2[2= 1.в·шимная информация:Т(В; А) -1+ sin28(~ ''}og ( sin 2 ( 0 ~ ")) ++ cos2(11+7Г)- 4=1-( 2(8+"))- 4log cosН2 (cos2 ( 8 ~ "))РRШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ438d)Несмотря на то что в условии задачи не бьшо раздела(d),в се кон­тексте полезно рассмотреть границу Холево, если, конечно, мы увере­ны в разумности результатов~ полученных в предыдущих часiЯх этой за~дачи.Граница Холево утверждает, что приобретаемая Бобом информацияограничена сверху доступной информацией источника Алисы Асс(Е) == S(p)- 'E,p,S(p,).

Поскольку оба сигнальных состояния Алисы яюяютхся чистыми сосrояниями, дос1)'Пная информация сводится к энтропии фонНеймана, которую мы можем вычислить путем диагонализации:. 2е ) '21 cos 2е sш1 . ,-sш2,\/\ =2-,\+ !4[(1 + "os' 2е_) sin22е_2 -cos 2е2е_2 sin 2 е_]=О2,.ze2 ~. 21±12cos о ="COS,о4"21±1/2V 1 -s1n2или.,еsш4.Таким образом, приобретаемая Бобом информация ограничена услониемПостроив график приобретаемой Бобом информации, как функции для каж­дой из трех схем вместе с границей Холево, мы видим, что нанлучшим вы­бором Боба является сратеrия (с), несмотря на то, что граница Холево ненасыщается.

На диаграмме ниже стратеmи а, Ь, с иh(для Холе во) помече­ны соответствующими кодами а.1буки Морзе 15.2. Относительная энтропияа) Эта задача содежит небольтую трудность, поско.Тhку А и В не обяза­тельно коммутируют между собой. Однако, работая с некоммутврующимиобъектами, мы можем примелить обычный трюк и разлагать все выраже­ния по компонентам обычных коммутирующих чисел. Пустьбазисом, днагонали.зующим А, и пусть1Коды азбуки Морзе: а<-+· -;Ь<--+-• • ·;с+---->{1i)}являетсяба.зис, диагоналнзующий{ij)}-• -·;R.h....... · · · · . - llpuм. перев.РЕШЕНИЯ УНРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ5439108.'б..../.·/'420,51,532,52Разлагая по этим базисам, мы имеемtr [J(B)- f(A)] - l.>I!(B)- !(a,)li} =~ L(ilf(B)- f(a,)lj}(jli}=i,ji,ji,j·~ L(ii(B- a,)f'(a,)li} = tr [(В- A)J'(A)].Ь) Этот результат, подобно многим перавенетвам в теории информации,следует из перавеяства lnx ~ х - 1.

Достаточно показюъ, что g(x) == -х ln х является вогнутой функцией, следовательно, вогнутой явдяетсяи функция f(x) = g(x)fln2. Доказательство дЛЯ g(x):g(y)- g(x) = -ylny + xlnx == у(lнх-lny)+= у ln ~- (у-х) ln х ~~у(~=lnx =-1) -(y-x)lnx=(y-x)(-1-lnx)~(у-g(x) -110rнyrax фующиа(х- у)=x)g'(x);"'* f(x) -- вощутак функция.РЕШЕНИ~ УIIРАЖНJ.::НИЙ440с) Применяя результаты (а) и (Ь), находим, что относительная энтропиянеотрицательна 1 :[(р- о-) ( -logo-- 1 ~ 2 )],tt"[-plogp+ o-logo-] ( trсогласно частям (а) и {Ь).

Далее,- tr plogp + tro-logo- ( -tr plogo- + tro-logo-,- tr р logp ( - tr plogu,ООd)Пусть( Lr plog р- tr plogu,( S(p]u).матрица плотности, соннадающая с единицей в поднростран­u -стве, являющемся носителем р. К искомому ре1уJIЬтату ведет выражениенеотрицате,Jт.ности относительной энтропии межцу р и и в ба.1исе, в кото­ром они обе диагональны:О( S(p]u) -S(p) -trplogu,S(p) ( -tr[p 1 logu 1 + ... +pologu 0- - (JogЬ) tr(p 11.+ Pu)е) Используя неотрицательность относительнойи РА:g]-- log li.энтропии междур АВРв, находимS(РАв IPA ® Рв) ~ -S(РАв)- tr [РАв log(P.4 ® PJJ)] ~О,S(РАв) ( - tr [Рлв(lоgрА ®lв~+ lA ® log Рв)J ~+ S(рв)·- tr Рл logpA - tr Рв lOJ!, Рн - S(pA)t) Рассмотрим матрицу плотности р А в и ее частичные следы, данные соотношениямиРв1что=L·\]e,)(e.JФормально, дшJ того чтобы это дохаз.ательсmо былD верным, нам нужно показать,f(x)является вогнутой нри х =О.

(р иrrмо1уr иметь некотuрые обращающиеся в нульсобственные значения.) Бы можеrе проверить самостоятельно, чru нри этомвогнутой функцией.f(x)остаетсяPEtUF:HИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5Субм.J:итивность1QС1Ъэнтропиизтойсистемы441доказываетобщуювогну-S(p):-tr [(~,\;(P;)л®(fe,)(e,f)в)log (~\(Pj)л®(iej)(eзf)в)]( S (~·\Р,)-tr([~Л,Ie,)(e,flog ~ \le,)(e,f] .fe,), ro сумма по j сводится к-i = j. Упростим левую частъ (LHS) этого неравен­Если мы берем след но системе В в ба,зисеодному ее снаr·асмому сства:1LHS = - tr [ (= - tr [ (= -t.r [~ ,\р, ® fc,)(c,l) log (Л,р, ®fc,)(e,f)]~>·iPi <:& fe;)(e,l)( log р, ® 1 + 1 ®log Л,fe,)(e,f)]~ Л,р, log р, ® fe,) (с, 1] -- tr [~ Л,р, ®fe,) (е, flog(Л;! е,) (c,f)]=с_ ~Л,S(р,) -trp, [~A,Ie,)(e,flog(Л,fe,)(e,l)]=1 Здесьн ходе преобразований используется равенство~1де Р=L Л,S(р,)- L Л, log Л,.PlogP-ред.-= le){el, Q=Гlog(l-Q)--P(Q+!Q'+iQ'I-PQ ( 11- Р-1...

)! + ~ +" ·) ~О,нроекrоры нu а-щимно оvшrональныс nодпространства.- Прим.РЕШ!:Н11.Е УПРАЖJНШИЙ442Подставляя этот результат обратно в неравснство субад;щтивности, мы по­лучим усповие вогнутости:I.;\S(p,)~L-\ log Л, ( 8 (I.:л,р,) -L Л, logЛ,,z2~~-\S(p,) ( 8 (~·\Р}5.3.Монотонвос•ь .llипдблада- УльманаИспо;Iьзуя некоторые разработанные в задаче5.2приемы, мы находим, чтосвойство монотонности нозволяет вывести некоторые очень полезные ре­зультаты.а) Ilрименяя свойство монотонности к состоящей из трех частей системе,получим свойство счюгой субаддитивности:8(Рлв1Рл ® Рв) ( S(РлвоiРл ®Рве),-S(Рлв)- tr [Рлв log(pл ® Рв)] ( -8(Рлве)-tr [Рлвеlоg(рл ®Рве)],-8(Рлв)+ 8(рл) + S(Рв)+ 8(Рл) + 8(Рве),-8(Рлвс) + 8(Рвс),( -8(Рлве)-S(Рлв)+ S(рв)(8(Рлве)+ 8(Рв)( S(Рлв)Ь) Действие супероператора$+ 8(Рве).на матрицу ruютносш р л (и л) можно пред­ставить, как вычисление следа по окружению после приведения его в кон­такт с системой А и совместной с Рл (и л) унитарной эволюции:Рлв = И(рл ® (!е)(еi) 8 )И- 1 ,и АВ= И(и л® (!e)(e!) 8$рл = trв Рлв,$стА= trв <Т АВ')U1РЕШЕНИЯ УПРАЖНtНИЙ К ГЛАВЕ4435Энтропия ·фон Неймана матрицы плотности инвариантна относительноунитарной эволюции или присоединения чисrого состояния.

Опуская дляпростоты индексы чистого состоянияle} и унитарной матрицы U, мы ви­дим:S(Рлвl<Т лв) ~ tr [И(рл ® [e)(c[)U- 1 log (И(Рл ® [е}(е[)И- 1 )]­-tr[U(pл®\e)(e[)U1log(U(o-л®\e}(e[)U-')] ~-tr [U(рл ® [e)(e[)U~ 1 U !оg(Рл ® [е)(еi)И- 1 ]- tr [U (р А ® [е) (е\)fГ 1 И log(<Т А ® \е} (е[)И- 1 ] =- tr [(Рл ® [e)(e\)log(pл ® \е)(е\)]- tr [(Рл@ [е}(е[) log(o- А@ [е) (е[)] == tr(p.4 1ogpл)- tr(pлlogo-л)~= S(pлlo-л).Вместе с монотонностью Линдблада-Ульмана зто дает искомый результатс) Рассмотрим матрицы плотности, опре;~е;Iенные соотношениямихххОтносительная энтропия S(РлвlРл@ Рв) в точности совнадает с инфор­мацией Холево л:(<") (для краткости опущены индексы подсистем А и В):S(Рлв !Рл ® Pн)=tr [ ( ~>хРх ® lex}(exl) log (~:ГуРу® [еу)(еу[)]- tr [ (~РхРх ® lex}(exl) log ( ~PwPw ~PzleJ(ez[)].®РЬШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ444Так же как и в задачев базисеS(p5.2 (t)~мы можем взять след по состояниям системы ВleJ, снод.я с~мы по улв IРл Рв) ?;tr [иzI< оляому слагаемому каждую:~>хРх log Рх е lcx) (e.l] ++ tr [ ~РхРх е ie,)(e.llog(pxl;x)(<,l)]- tr [-~РхРх log ( ~PwP~ ® lex)(exl)] ~РхРх ® log (Pxiex)(e х 1)] =- tr [·~ - l:PxS(px)- ~р,, logpx(z:>xPx) +-f Sх+LPx Jogpx =х~ - ~pxS(px) + S ( ~РхРх) ==5.4.x(t:).ПОЗМ Переса- Вутерсаа) Записанные в обозначениях Дирака сигнальные состояния Алисы flмеютвидI'P1)=1 Т),I'P2> ~ -HI r> - vГз11>).i'Рз),_-HI r> -t vЗI t>)РЕШRНИЯ УПТ'АЖIIГ:НИЙ К ГЛАВЕ5445Диракавекие обозначения IЮЗIЮJJяют очень быстро выразить состоянияIФi)- I'PJ I'Pi) (i ~IФ,) ~ 1Т1) ~1, 2, :J) в базисе Белла:~ ~(IФ+)+IФ-)),IФ2) = i(l Т)- /3111) (1 Т)- /Зill)=~ ±(1 Н)+ Зl Н)- /3(1 Н)+ ll Ш) ~~н2(1Н) !IЩ)-(Iii!-IЩ)-/З(IЩ+IlШ)=1= -2J2- (21Ф+) - IФ-) - /ЗIФ+))'.IФз)- ~(1 1) + /3111) (1 1) + J31ll) ~- Н1 т+ з1 щ + JЗ(I щ + 11 ш)= -1-2J2=(21Ф+) -IФ-) + J31Ф ')),Матрина плотности, соответствующая приготовлению Атисы, представляетсобой одну треть сум"ы проеюuровРЕШЕНИЕ УПРАЖНFНИЙ446Возможно это у;,ивительно, что матрица плотности диarx)Нa.Thiia в ба­зисе Белла.

Следовательно, энтропией фон Неймана этого источника явля­етсяЬ) <<Достаточно хорошее измерение» (ДХИ), I<Оторым следует нопъзов:\ТJ,сяБобу, чтобы декодировать сигнал Алисы, представляет' собой ПОЗ:М, опре­деляемую операторамиF, ~ c-'/'IФ,)(Ф,IG- 1 1 2 , где G ~ Зр:1F, =3(' ~'")vzzooОоО Оооо'о~vГz ~vГа'-'( J,2 ~F6vГзоо{J,63vГз1~vГа3о~,;2vГа1~vГзvГа~vГз3оооi}:)о.оОказывается, что эта ПОЗМ в действителыrости является ортогональнымизмерением, определяющими состояниями которого служатIФ ,)=}з (IФ+)+ У.'21Ф-)),IФ,)=)б У21Ф+) ~ IФ-) ~ v'31Ф+) ),IФз)=)б( У21Ф+) ~ IФ-)(IФ 4 ) = IФ-),с) Как и в задаче5.1, чтобы+ JЗ}[т+)),(для полноты базиса).вычислить взаимную информацию между при­готовленнем Алисы и измереннем Боба, мы должны начать с вычисленияРЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5447вероятностей.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее