Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 4

PDF-файл Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 4 Квантовые вычисления (53151): Книга - 7 семестрДж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2: Квантовые вычисления - PDF, страница 4 (53151) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 4 страницы из PDF

Таким обра1ом, ес:ш бы у нас былквантовый компьютер, который мог бы факторнзовать 130-разрядное числоза один месяц (конечно, у насcro нет,пока по крайней мере!), то, слс,1уя ал­горитму Шора, оп смог бы факторизоватЪ 400-разрядное число менее, чемза три года. Чем сложнее задача, тем большим преимушеством обиадаетквантовый компьютер.Результат Шора нробудил мой собственный интерес к квантовой ин­формации (если бы не Шор, не ду\-ШЮ, чrо я преподавал бы зтот курс).Очень прия·nrо размыш.1Ять о проблемах, требующих знания теории слож­ности, квантовой теории и нрик.:шдных наук.1.4.Квантовая сложностьКонечно, работа Шора имела серьезную предысторию.

На то, чrо кван­товая система может выполнять вычисления, бьшо впервые явно указаноПолем Бениоффом и независимо Ричардом Фейнманом в 1982 году 2 В из­вестном смысле интерес к этой nроблемс был понятен, принимая по внима­ние неуклонную тенденцию миниатюризации в микросхемотехнике. Еслизта тендеющя бул;ет продо.:Iжаться, мы неизбежно приблизимся к режи­му, в ко·юром квантоnая теория исключительно важна для функциониро­вания вычисшпе~1ьных устройств. Возможно, это набтодение обеснечиnанекоторую мотивацию после работы Бениоффа. Однако r;швная мотивапияФейнмана бьша совершенно иной и весьма интересной. Чтобы понять точ­ку зрения Фейнмана, необходимо более точное математическое описаниеквантовой информации и квантовых вычислений.НедеJшмой С)\ИI-IИцей ю1ассичсской информации яв:mется бит: объект,1. Соответству-который может принимать .JIIOбoe из двух значений: О или1R.

Rivest, А. Shamir, L. Adleman.- При.м. peiJ.Р. Benioff, Quantum-Mechanical Hamiltonian Mode]s of Turing Machines, J. Stal Phys., 29,515, (1982); R.P. Feynman, Simulation Physics \\'ith Computers Int J. Theor. Phys., 21, 467 (1982);2русские пе~uоды в сборнике статей Квантовый ко.мпьютер и квантовые вычисления под ред.В.А. Садовничеrо, Ижевск, РХ.Д (1999). Нпервые идея квантовых uычислеiiИЙ f:iыла выдвинутаЮ.И. Маяиным имtщно в связи с большей информационной кмкостью квантовых систем. См.Ю.И. Мании BычurJlUМne и 11е6uчислимое, Сов.

Радио, М.,1980.llpuм. ред.Г.1АВА 122ющая спишща кваитовой информат,иикиантовый fiит ишi 1\.убшп. Куби1нрсдставляет собой вектор в двумерном кшшлсксном векторном простран­стве со скалярным (внутренним) нроизведением; и3 уважения к к:шссиче­скому биту бу,т~ем на1ывать элементы ортонормированноrо базиса в этомпространстве !О) и[1). То та нор,щрованный вектор может бытr, прсжтав-лен в виде:iW)~ а.!О)+ Ь[l),fnl 2 + IЬI2~ 1,(1.4)г;J;е а, Ь Е С. Мы можем выполнить иэ.\.fсренис, которое проецируетна базис\0), \1).Ре3уОJыат такого И3мерения не е~с·гсрминирован)1/-·)- вероят­ность тонJ, что в итоге мы получим IO), равна ia.l 2, а вероятность ТОПJ, чтомы получим \1), равна [Ь\ 2 .Квантовое состояние i'v' кубитов можно изобр<L1ить вектором в 2N -мер­ном 11ространствс.

В качестве орrонормированного бюиса н '}ТОМ простран­стве можно выбрать состояния, в которых каждый кубит имеет определен­нос значениеjO)ИШIjl).Их можно обо.1начип. J(Jюичными последоватсль­ностя!\ш чисел, тюсими как:IOllJOOJa ...10о1).( 1. 5)Произво.JЫIЫЙ норМИJЮВанный вектор разлагается в данном базисе как2.v -1(1 .6):.t=')где кажл;ой двоичной nосJIСдовательности сопоставяется номер, равный со­ответствующему ей числу в двоичной системе счисления и измсняющийсяв преде.1ах от О до 2N ~ 1.

Здесь величины а.хкомплексные числа, удо­влетворяющие условию L \ах \2 = 1. Если мы измеряем все lvr кубитов,хпроспируя каждый из них на базис{10), \1)},то вероятность получениярезультата [х) равна \а.х\ 2 ,Итак,квантовоевычис.1ение можно описать СJJСдующим обрюом ..Мы собираемN кубитов и готовим их в стющартном нача.iiьном состоя­нии, таком как \0)\0)fO) · · ·IO) или fx ~ 0) . .Затем применяем к ним уни­тарное нреобраюпание U.

(Преобра.1ование U сконструировано как произ­НСitСнис стаJТJtартных квантовых логических веNmилей, унитарных преоб­разований, которые действуют лишь на неско.1ько кубитов отювременно).После применениябазис{\0), fl)}.Uмы измеряс:\1 все :кубиты путем проецирования наИтогом измерения явСJястся результат вычисления.

Такимобразом, окончательным результатом является классическая информация,которая может быть распечатана на Шiсте бумаги и онубникована в журна­ле «Фи:шкл Ревью>>(Physical Revicw).1.4.КВАlЛОВАЯ СJIОЖНОС1Ъ23Обратите внимание па то, что реализованный квантовым компьюте­ром алгорил.1 является вероятностныА-1. То есть мы можем выполнить однуи 1у же ОIJсрацию /J:rшжды и, вследспше случайности процесса квантовогоизмерения, по.~ить разные результаты. Фактически, квантовый алmритм1юрождает распределение вероятностей возможных результаrов. (В дей­СТ!ШТС."lьности алгоритм фаiС10ризации Шара не гарантирует успеха в полу­чении простых множите.Jей; он достигает цели лишь с определенной веро­ятностью.

Однако этого-достаточно, цоскольку легко проверить, верны JШнайденные множители).Из ;щнного описания должно быть ясно, что квантовый компьютер,в отличие от классического, п:олжен бу;(ет работать в соответствии с ЩJУ­гими физическими принципами. Тем не менее он не сможет сделать ни­чего сверх тот, что может де.'JаТЬ к.rшссический компьютер. Классическиекомпьютеры могут храню_·,, векторы, враща·п~ их и мо;~елироnап~ процессквантового и.·змерения, просцируя векторы на юаимно ортогона.11ьпые оси.То есп. rстассичсский компьютер, несомненно, может скопь угодно точнои-митировать (моделировать) квантовый компьютер. Паше представлениео том, что яшrяется вычислимым, не зависит от того, попьзуемся мы клас­сическим или квантоным компьютером.Но мы должны считаться с тем, как много времени занимает это моде­.тирование.

Предположим, у нас есп. компьютер, который оперирует с уме­ренным количеслюм кубитов, например,N = 100.Тогда, чтобы предста­вить типичное квантшюе состояние компьютера, нам приnтось бы запи­1030сать 2л· = 2 с'""' 10комплексных чисел! Ни один из суш,ествуiОщих ИJШбулущнх !tифровых компьютеров не сможет сделать этого. А выпшrnениенроизнолыюго поворота вектора в пространстве размерности 10 30 находит­ся ;щлеко за прелелами вычислителъных способностей moбoro мыслимогоклассического компьютера.(Конечно, N классических битов тоже могут принимать2N возмож­ных :шачсний.

Но полное описание конфигурации каждого из них оченьпросто-::.то ~1иоичная пос~Jедоватепьность дт~ной I\Г. Квантовая информа­ция ОТJшчается тем, что полное описание даже одной типичной конфигура­ции/'./ кубиrов очень сдожно).Итак, классический компыотер действительно может имитироватьквантовый, но с ростом числа кубитов1Vимитация становится крайненезффективной. Квантовая механика сложна (с точки зрения вычиСJJе­ний), нотому что мы цолжны работать с огромными матрицами - гиль­берrовu прос1ранство слишком велико.

Это наблю;Jение припело Фейнманак прсл:nоложению, что квантовый компьютер может оказаться способнымиыпо:щять определенные '~адания, недосяrаемые для шобого возможногоГЛАВА241к..:1ассического компьютера (кнанrовому компьютеру не нужно моделиро­вать самого себя!). Похоже, что результат Шора по~держиnает зту точкузрения.Так ;rn неизбежен этот вывод? В конце концов, моделированис должнопредоставить способ определения вероятностей всех возможных результа­тов окончательного и..1мерения. При классическом моделировании совсемне обя:~<iтелыю елелопать полному описанию кванrовоrо состоянияJ'vrку­битов.

Нас впоШiе устроил бы классический верояттюстный алгоритм, ре­зультаты каюрого не определяются однозначно входом, а возникают в соот­ветствии с тем распредедением верояпюстей, которое генерируется кванто­вым вычислением. Мы моr.1и бы рассчитывать на выпоJПIСН11С ликалыюгамщелирования, при котором каждый кубит в каждый момент времени име­ет опредепенное зпачепис, а каждый квантовый вентиm. может действоватьна кубиты ра:~Шiчными возможны.ми снособами, которые определяются ге­нератором (псевдо-) случайных чисел. Такое моделирование было бы го­раздо проще, чем описание эвоmоции вектора в экспопенциалыю огромномпространстве.О;щако Rывод теоремы Джона Белла однозначно говорит о том, чтотакое моделирование осуществить невозможно: не существует лттлышговероятоостн.ого алгоритма, способного воспроизводить результаты кван­товой механики.

Таким образом, хотя доказательство этого отсутствует, ка­жется весьма правдоподобным, что моделирование квантоRОJ""О компьютераявляется очень сложной 'Ш;щчей для любого классическо1 о компьютера.Чтобы :тучше понять, почему математическое описание квантовой ин­формющи с необходимостью такое СJюжнос, представим квантовую систе­му ЗN кубито11 (N1), состоящую из трех ПОI(Систс" по N кубитов»каждая (называемых подсистемами( 1), (2)и(3)).Мы случайным образомвыбираем квантовое состояние 3N кубитов, а затем разделяем три подси­стемы, отllравпяя (!)в Санта-Барбару, (3)- в Сан-ДИего, в то время как (2)остается в Пасадене.

ТеперЕ:. мы бы хотели щюизнссти некоторые измере­ния, чтобы как можно больше узнать о квантовом состоянии. Чтобы облеr­~шть себе за.л;ачу, предста.вим, что мы имеем огромное количество коnийсостояния системы, поэтому мы можем измерить любую из них, а так­же какие УI"<щно наблюдаемые 1 . Но при одном услою-ш: нам разрешеновыпо.··:шять измерения лишь внутри одной из подсистем ~ коллективныеизмерения, снимающие границы между подсистемами, запрещены. Тоглдд.""IЯ типичного состояния системы13Nкубитов наши измерения почти ни-Мы не можем сделать kОПИИ неизвестноrо кванrовоrо С<lстояния сами, но можем попро­сить приятслк приготовить множество идентичных ю:JПИЙ состояния (он :но может, потому чтознает, что делап.) и не сообщать нам о том, что оп c.JeJJaл.] .5.25КВ."'-НТUВЫЙ 11АРАЛЛЕЛИ3Мчего о нем не скажу~: Почти вся информация, отmrчающая одно состо­яние от другого, сол;ержится в иелокальных КfJрреляциях между результа­тами измерений в подсистемах (1), (2) и (3).

Зто и есть те самые нело­кальные корреляции, коrорые Белл считал важнейшей частью физическогоописания.Мы увидим, что объем информации можно определить количественнос помощью энтропии (большая энтропия подразумевает незначительнуюинформацию). Если мы. выбираем сос:тояние ЗN кубитов случайно, то по­чти всеrда нахолим, что энтропия каждой подсистемы очень близка кS SO' N- г(N 11 !,ре:<ультат, пюученный Доном Пей,lЖСМ.

Здесь(1.7)N· максимальновозмож­ное значение энтропии. соответствующее случаю, в котором ПО!\ СИстема во­обще не несет доступной информапии. Таким образом, рассматривая каж­;(уiО подсистему независи:мо, при большомNмы можем иметь ;~оступ лишьк экспоненциалыю малому количеству информат,ии.Тосетьизмерениядаюточеньмалоинформации,еслимынеучитываем корреляции рс1улыатов, полученных в Сан-Диего, Пасаденеи Санта-Барбаре.llтерминологии, которой я пользуюсь, измерение кор­релщии считается «комсктивным» измерением (даже если бы фактическионо бьшо выполнено ~кспсриментаmrами, которые наблюдали ра:-шые ча­сти одной и той же копии состояния, а ]атем созвонились, чтобы сравнитьсвои резул~таты).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее