Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 18

PDF-файл Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 18 Квантовые вычисления (53151): Книга - 7 семестрДж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2: Квантовые вычисления - PDF, страница 18 (53151) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 18 страницы из PDF

Квантовая система, определенная в двумерном гиш.бертовом про­странстве, на-зывается кубuтом. Наибанее общая матрица плотвостикубита имеет видгде Р- трехJ<Омпонентвый векrор длинынии IPI = 1.IPI .::;1. В чистом состоя­Разложение Шмн~та. Для шобой квантовой системы, состоящей из двухчастей А и В (бинарная система), гилъбертово пространство являет­ся тензорным произведением11.А ® 11. в.Для любого чистого состоя­ния IФ) АВ бинарной системы существуют ортонормированные ба-зисы{li)A} в НА и {li')в} в Н в такие, что(2.121)Уравнеине(2.121) па-зывается разложением fЛАtидта состоянияIФ) Ав.В двухкубитовом чистом состоянии подсистемы А и В по отдедьносrnописываются операторами плотностиРА и Рв; из уравнения(2.121)872.7.

УПРАЖНЕНИЯследуе1; чrо рА и Рв имеют одинаковые иенулевые собственные зна­чения(pi).Количество иенулевых собственных значений называетсячислом Шмидта сосrояния11/J) АВ·Двухкубитовое чистое состояниена..1ывается запутанным, если его число IПмидта больше единицы.Ансамбли. Операторы плотности в гильбертовам пространстве образуютвыпуклое множество, а чистые состояния представляют собой край­ние тачки этого множества. Смешанное состояние системы А можетбыть приготовлево как ансамбль чистых сосwяний многими различ­ными способами, неразличимыми экспериментально, если мы наблю­дае:м IО.лько систему А. Для тобого смешанного состояния РА си­стемы А .любое приготовление р А как анса.мбля чистых состояний,в нринципе можно реализова.т-ь, выполняя измерение в другой систе­ме В, с коrорой запутана система А.

Фактически щm множества такихприготоuлений смешанного состояния р А существует единственное за­путанное состояние А и В такое, что любое из этих приготовленийможет быть реализовано нуrем измерения соответствующей набшода­емой в В (теорема ЖХЙR). Выполняя измерение в системе В и сооб­щая его результат в систему А, мы можем выделить из смеси чисrоесостояние, ныбранное из одного из ансамблей.2.7.Упражнения2.1. Точность воспроизведеииg вероитиостиой гипотезы. Один кубит(объект со спином-~) находится в неизвестном чистом состоянии 1ф},случайно выбранном из равномерно распределеиного по сфере Блохаансамбля. Мы наугад считаем, что этим состоянием является IФ). Чемун среднем равна определяемая соотношениемF=I(ФIФ)I 2(2.122)точiюсть воспроизведения нашей гипотезы?2.2. Точностьвоспроизведенияnoc..'le измерения.После случайного вы­бора однокубитового чистого сосrояния, как в предыдущей задаче, мывыполняем измерение спина вдоль осиZ.Это измерение приготавли­вает СОС1uяние, описываемое матрицей nлотности(2.123)ГЛАВА 288(1дс Р 1.! обозначает проекюр на сосюянне спин-вверх и;ш спин-внюR,~ОЛЬ ОСИ z).

С KaiOJЙ R среi\НСМ ТОЧНОСТЫОF= (ФIРIФ)(2.124)11/•)? (Улуч­по сравнению с ответом к нрсдыдущей задаче является гру­эта матрица Iшотности воспроизводит началыюе состояниешениеFбой мерой 1шu, как много мы узнаем:, выполнив измерение).2.3. Разложение Шмидта.Для двухкубитовопJ состоянияIФ)лв= ~li}л(~li}в+ v{ll}в)11~il}л ( v{1 ilв + ~ll}n)1) Вычислите Рл = tг 8 (1Ф)лв лв(ФI) и Рв2)tгА(IФ)лв _48 (ФI).Найдите ра1ложение Шмидта состояния IФ} АВ.2.4.

Трехкубнтовое чистоета(2.125)нрои3вОJIЬНОП)состояние. С-уществует ли раЗJюжение Шмид­трехкубитовшочис·1uгосостояния?Тоес·Iъ сс­;ш 11fl) АВС ··· нроизвольпый вектор в Н л ® 1i 8 ®Не, то можем лимы найти ортшuнальные базисы { 1i) А}, {li) в} и { li} с}, такие 'ПО(2.126)Истолкуйте ваш ответ.2.5.Квантовые коррелsrции в смешанном СОС'J·оянии.

Рассмочшммат­рицу цлотности !!Бух кубитов:(2 127)где1обозначает единичную4х4-матрицу, а(2.128)Пусть мы измеряем первый спин вдош, осигдеii·т =cosB.n., а второй- вдоJIЬ оси ·l11,Какова вероятность ТОl'О, что оба спина находятсяв состоянии «спин-вверх» вдоль соот~етствующих осей?ГЛАВАОсновы11:3Измерение и эволюцияЗа пределами ортогональных измерений3.1.3.1.1.Ортогональные измеренияМы хотели бы исследовать свойства обобщетtых измерений, кото­рые можно реализовать в системе А, выполняя ортоп:ша.IЬныс измеренияв большей системе.

содержащей А. Но снача."Iа, следуя к...1ассической трак­rовке фон Ilеймана, кратко обсудим, как в принципс могут быть выполненыортогональные измерения произвольной наблюдаемой.Чтобы измерить наблюдаемую М, мы модифицируем 1 амильтониапtlселеннuй, включая в не1 о с.вязь между этой наблюдаемой и «перемеп­ной-указателем»(<<pointer>>variaЫe), которая будет иrрать роль прибора.С'вязь 3а1tутывает собственные состояния наблюдаемой с раз.rrичимыми со­стояниями 11рибора, так что, <шаблюдая» за прибором, мы можем пригото­вить собствсшюе состояние наблюдаемой.Конечно, зто не вполне удовлетворительная модель измерения, по­скольку мы не объясниди, как можно измерить (Шеременную-указатеm.».Как можно видеть, позиция фон Неймана состояла в том, что в принциuевозможно скоррелировать состояния микроскопической J(вантовой системысо значениями макроскопической :классической переменной, которые, са­мо собой разумеется, мы снособны ра.з...tичать.

Конечно, возможно и жела­тельно боJ:ее обстоятельное обт.яснение; мы еще вернемся к этой нроблсмениже.'VIы можем прсдставлять себе прибор как пробиую частицу, распро­страняющуюся свободно, за исключением ее регулируемой связи с изме­ряемой квантовой системой. Нели мы намерены измерять положение этойпробной частицы,roв начальном сосrоянии должен быть приrоrовлен до­статочно узкий ИОШ!ОIЮЙ пакст; но не сдишком, поскольку очень узкий вол­новой накет будет сJшшком быстро расшrываться. Ес;ш начальная ширинаволнового вакста равна д:t:, неонределенность его скорости буll:ет иметьГЛАВА 390порядок.6.-v = .6.pjm ~ hjm.6.x, такчrо, спустя времяt, пакет расползетсядо ширины.6.x(t).6.х + __]'1J_,=минимапьное значение которой имеет прядокСледовательно,(3.1)m.6.x[.6.х] 2 ~ htjm,[.6.x(t)J2если эксnеримент продолжается в течениевремениt,то раэрешенис, которшu мы можем добиться в определении конечногоположения пробпой частицы, ограничено «стандартным квантовым преде-_,ом»;fhi.6.х ~(.6.x)sqr, ~ у;;t-(3.2)Будем считать нашу нробную чаСТНJlУ достаточно тяжелой, чrобы эrо огра­ничение было несущественным.Гамильтониан,описывающийвзаимодействиеквантовойсистемыс пробной частицей, имеет вид:Н= Н 0 + 2~ Р 2 + ЛМР,где Р 2 /2m-(3.3)гамЮIЬrоннан свободной пробной частицы (который в даль­нейшем будет игнорироваться, поскольку пробная частица насrолько тя­жела, что расimыванием се волнового пакета можно нрснсбречь), Н 0 ~невозмущенный гамильтониан измеряемой системы, Л·-··константа связи,которую мы можем менять по своему усмотрению.

Измеряемая наблюдае­мая М связана с импульсом Р пробной частицы.Rсли М не коммутирует с Н 0 , то нас будет беспокоить, как зта наблю­даемая изменяется в процессе измерения_ Чтобы упростить анализ, nред­положим, что ИШI [М, Н 0 ]-=О, ИШI же измерение выполняется насто.1ь­ко быстро, что в ходе его можно препебречr, свободной эволюцией систе­мы. Тогда гамШIЬтониан(3 3)можно аштрокеимировать одним слагаемымН :е ЛМР (щс, конечно же, [М, Р] =О, так какМ-наблюдаемая систе­мы, а Р-наблюдаемая пробной частицы), а оператор зволюции во време-ни-U(t) :е ехр [- iЛtMP],(34)Разлагая в базисе! в котором наблюдаемая М диагональнаМ= L:;ia}M0 (aj,(3.5)аnредставимU (t)в видеU(t) ""L la} ехр [- iЛtM0 P] (aj.а(3.6)3.1. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ91Вспомним теперь, что Р генерирует параллельиые переносы положенияпробной частицы: в координатном представлении Р = -i d~, так чтоехр( -ix 0 P)=ехр (- х 0 _1_) и разножеиле в ряд Тейлора даетdxехр( -ix 0 P),P(x) ~ ,Р(х- ха)-(3.7)Другими словами, оператор ехр( -ix 0 P), действуя на волновой пакет, перс­мещает его на х 0 .

Оrсюда видно, что если наша квантовая система начинаетэволюцию из сулерпозицин собстве!!I!ых состоя!!I!Й оператора М, перво­начально не запутанной с пространствеиным ооmювым пакетом пробнойчастицы 11/,(х)), то по истече!!I!И времени t ее квантовое состояние звоmо­цвонирует вU(t) (~ a.la) ® I,P(x))) ~ a.la) ® IФ(х- ЛtМ.)).=(3.8)Теперь положение пробной частицы коррелирует со значениями набтодае­мой М. Если воmюnой пакет достаточно узок, чтобы мы моrШI разрешитьвсе значения м. (что имеет место при lдxl;SIЛtM.I), тогда всякий ра.з,измеряя (неважно как!) положение пробной частицы, мы будем готовить2собстеенное состояние набпюдаемой м С вероятностьюмы обна­•.la.lружим, что пшюжсние пробной частицы сместилось на ведичину ЛtМа, и,la)следовательно, приготовим собстве!!I!ое состояниеоператора М. Такимобразом, мы приходим к выводу, что начальное состояние 1'1') квантовойсистемы проецирустся наla)с вероятностьюl(al'l')l 2Это и есть модельортогональною измерения фон Неймана.Классическим примерам служит прибор Штерна-Герлаха.

Чтобы из­мерить <Тз объекта со спином-1/2, мы пропускаемeioчерез область неод­нородного магнитного поля(3.9)Магнитный момент объекта равенсвязъJla, а индуцируемая магнитным полем-(3.10)В этом случае и 3 является измеряемой набтодаемой, связанной с положе­нием z, а не с импульсом пробной частицы.

В этом нет ничего страшно­го, nоскольку z генерирует транс.'1Яции импульса Р z и, следовательно, эта92ГЛАВА 3связь сообщает импулhс пробной частице. Мы можем различить, сдвинул­ся объект вверх или вниз и таким обра·юм определить спиновое состояние1i z)мую>ЕIИn. и.1LJ.Конечно, поворачивая магнит, можно измерить наблюдае­Как показало обсуждение квантовоrо ластика, одного только факта воз·(3.8) еще не достаточно для объясне­никновения запутанною состоянияния, почему процедура измерения готовит собственное сосmяние операто­ра М. В nринципс измерение пробной частипы могло бы спроеuиропать еесостояние на некоторую специфическую суперпозицию собственных состо­яний оnератора положения, и таким обра·юм приrо'lовить квантовую систе­му в суперпознции собственных состояний оператора М.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее