Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 18
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 18 страницы из PDF
Квантовая система, определенная в двумерном гиш.бертовом пространстве, на-зывается кубuтом. Наибанее общая матрица плотвостикубита имеет видгде Р- трехJ<Омпонентвый векrор длинынии IPI = 1.IPI .::;1. В чистом состояРазложение Шмн~та. Для шобой квантовой системы, состоящей из двухчастей А и В (бинарная система), гилъбертово пространство является тензорным произведением11.А ® 11. в.Для любого чистого состояния IФ) АВ бинарной системы существуют ортонормированные ба-зисы{li)A} в НА и {li')в} в Н в такие, что(2.121)Уравнеине(2.121) па-зывается разложением fЛАtидта состоянияIФ) Ав.В двухкубитовом чистом состоянии подсистемы А и В по отдедьносrnописываются операторами плотностиРА и Рв; из уравнения(2.121)872.7.
УПРАЖНЕНИЯследуе1; чrо рА и Рв имеют одинаковые иенулевые собственные значения(pi).Количество иенулевых собственных значений называетсячислом Шмидта сосrояния11/J) АВ·Двухкубитовое чистое состояниена..1ывается запутанным, если его число IПмидта больше единицы.Ансамбли. Операторы плотности в гильбертовам пространстве образуютвыпуклое множество, а чистые состояния представляют собой крайние тачки этого множества. Смешанное состояние системы А можетбыть приготовлево как ансамбль чистых сосwяний многими различными способами, неразличимыми экспериментально, если мы наблюдае:м IО.лько систему А. Для тобого смешанного состояния РА системы А .любое приготовление р А как анса.мбля чистых состояний,в нринципе можно реализова.т-ь, выполняя измерение в другой системе В, с коrорой запутана система А.
Фактически щm множества такихприготоuлений смешанного состояния р А существует единственное запутанное состояние А и В такое, что любое из этих приготовленийможет быть реализовано нуrем измерения соответствующей набшодаемой в В (теорема ЖХЙR). Выполняя измерение в системе В и сообщая его результат в систему А, мы можем выделить из смеси чисrоесостояние, ныбранное из одного из ансамблей.2.7.Упражнения2.1. Точность воспроизведеииg вероитиостиой гипотезы. Один кубит(объект со спином-~) находится в неизвестном чистом состоянии 1ф},случайно выбранном из равномерно распределеиного по сфере Блохаансамбля. Мы наугад считаем, что этим состоянием является IФ). Чемун среднем равна определяемая соотношениемF=I(ФIФ)I 2(2.122)точiюсть воспроизведения нашей гипотезы?2.2. Точностьвоспроизведенияnoc..'le измерения.После случайного выбора однокубитового чистого сосrояния, как в предыдущей задаче, мывыполняем измерение спина вдоль осиZ.Это измерение приготавливает СОС1uяние, описываемое матрицей nлотности(2.123)ГЛАВА 288(1дс Р 1.! обозначает проекюр на сосюянне спин-вверх и;ш спин-внюR,~ОЛЬ ОСИ z).
С KaiOJЙ R среi\НСМ ТОЧНОСТЫОF= (ФIРIФ)(2.124)11/•)? (Улучпо сравнению с ответом к нрсдыдущей задаче является груэта матрица Iшотности воспроизводит началыюе состояниешениеFбой мерой 1шu, как много мы узнаем:, выполнив измерение).2.3. Разложение Шмидта.Для двухкубитовопJ состоянияIФ)лв= ~li}л(~li}в+ v{ll}в)11~il}л ( v{1 ilв + ~ll}n)1) Вычислите Рл = tг 8 (1Ф)лв лв(ФI) и Рв2)tгА(IФ)лв _48 (ФI).Найдите ра1ложение Шмидта состояния IФ} АВ.2.4.
Трехкубнтовое чистоета(2.125)нрои3вОJIЬНОП)состояние. С-уществует ли раЗJюжение Шмидтрехкубитовшочис·1uгосостояния?Тоес·Iъ сс;ш 11fl) АВС ··· нроизвольпый вектор в Н л ® 1i 8 ®Не, то можем лимы найти ортшuнальные базисы { 1i) А}, {li) в} и { li} с}, такие 'ПО(2.126)Истолкуйте ваш ответ.2.5.Квантовые коррелsrции в смешанном СОС'J·оянии.
Рассмочшмматрицу цлотности !!Бух кубитов:(2 127)где1обозначает единичную4х4-матрицу, а(2.128)Пусть мы измеряем первый спин вдош, осигдеii·т =cosB.n., а второй- вдоJIЬ оси ·l11,Какова вероятность ТОl'О, что оба спина находятсяв состоянии «спин-вверх» вдоль соот~етствующих осей?ГЛАВАОсновы11:3Измерение и эволюцияЗа пределами ортогональных измерений3.1.3.1.1.Ортогональные измеренияМы хотели бы исследовать свойства обобщетtых измерений, которые можно реализовать в системе А, выполняя ортоп:ша.IЬныс измеренияв большей системе.
содержащей А. Но снача."Iа, следуя к...1ассической тракrовке фон Ilеймана, кратко обсудим, как в принципс могут быть выполненыортогональные измерения произвольной наблюдаемой.Чтобы измерить наблюдаемую М, мы модифицируем 1 амильтониапtlселеннuй, включая в не1 о с.вязь между этой наблюдаемой и «перемепной-указателем»(<<pointer>>variaЫe), которая будет иrрать роль прибора.С'вязь 3а1tутывает собственные состояния наблюдаемой с раз.rrичимыми состояниями 11рибора, так что, <шаблюдая» за прибором, мы можем приготовить собствсшюе состояние наблюдаемой.Конечно, зто не вполне удовлетворительная модель измерения, поскольку мы не объясниди, как можно измерить (Шеременную-указатеm.».Как можно видеть, позиция фон Неймана состояла в том, что в принциuевозможно скоррелировать состояния микроскопической J(вантовой системысо значениями макроскопической :классической переменной, которые, само собой разумеется, мы снособны ра.з...tичать.
Конечно, возможно и желательно боJ:ее обстоятельное обт.яснение; мы еще вернемся к этой нроблсмениже.'VIы можем прсдставлять себе прибор как пробиую частицу, распространяющуюся свободно, за исключением ее регулируемой связи с измеряемой квантовой системой. Нели мы намерены измерять положение этойпробной частицы,roв начальном сосrоянии должен быть приrоrовлен достаточно узкий ИОШ!ОIЮЙ пакст; но не сдишком, поскольку очень узкий волновой накет будет сJшшком быстро расшrываться. Ес;ш начальная ширинаволнового вакста равна д:t:, неонределенность его скорости буll:ет иметьГЛАВА 390порядок.6.-v = .6.pjm ~ hjm.6.x, такчrо, спустя времяt, пакет расползетсядо ширины.6.x(t).6.х + __]'1J_,=минимапьное значение которой имеет прядокСледовательно,(3.1)m.6.x[.6.х] 2 ~ htjm,[.6.x(t)J2если эксnеримент продолжается в течениевремениt,то раэрешенис, которшu мы можем добиться в определении конечногоположения пробпой частицы, ограничено «стандартным квантовым преде-_,ом»;fhi.6.х ~(.6.x)sqr, ~ у;;t-(3.2)Будем считать нашу нробную чаСТНJlУ достаточно тяжелой, чrобы эrо ограничение было несущественным.Гамильтониан,описывающийвзаимодействиеквантовойсистемыс пробной частицей, имеет вид:Н= Н 0 + 2~ Р 2 + ЛМР,где Р 2 /2m-(3.3)гамЮIЬrоннан свободной пробной частицы (который в дальнейшем будет игнорироваться, поскольку пробная частица насrолько тяжела, что расimыванием се волнового пакета можно нрснсбречь), Н 0 ~невозмущенный гамильтониан измеряемой системы, Л·-··константа связи,которую мы можем менять по своему усмотрению.
Измеряемая наблюдаемая М связана с импульсом Р пробной частицы.Rсли М не коммутирует с Н 0 , то нас будет беспокоить, как зта наблюдаемая изменяется в процессе измерения_ Чтобы упростить анализ, nредположим, что ИШI [М, Н 0 ]-=О, ИШI же измерение выполняется насто.1ько быстро, что в ходе его можно препебречr, свободной эволюцией системы. Тогда гамШIЬтониан(3 3)можно аштрокеимировать одним слагаемымН :е ЛМР (щс, конечно же, [М, Р] =О, так какМ-наблюдаемая системы, а Р-наблюдаемая пробной частицы), а оператор зволюции во време-ни-U(t) :е ехр [- iЛtMP],(34)Разлагая в базисе! в котором наблюдаемая М диагональнаМ= L:;ia}M0 (aj,(3.5)аnредставимU (t)в видеU(t) ""L la} ехр [- iЛtM0 P] (aj.а(3.6)3.1. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ91Вспомним теперь, что Р генерирует параллельиые переносы положенияпробной частицы: в координатном представлении Р = -i d~, так чтоехр( -ix 0 P)=ехр (- х 0 _1_) и разножеиле в ряд Тейлора даетdxехр( -ix 0 P),P(x) ~ ,Р(х- ха)-(3.7)Другими словами, оператор ехр( -ix 0 P), действуя на волновой пакет, персмещает его на х 0 .
Оrсюда видно, что если наша квантовая система начинаетэволюцию из сулерпозицин собстве!!I!ых состоя!!I!Й оператора М, первоначально не запутанной с пространствеиным ооmювым пакетом пробнойчастицы 11/,(х)), то по истече!!I!И времени t ее квантовое состояние звоmоцвонирует вU(t) (~ a.la) ® I,P(x))) ~ a.la) ® IФ(х- ЛtМ.)).=(3.8)Теперь положение пробной частицы коррелирует со значениями набтодаемой М. Если воmюnой пакет достаточно узок, чтобы мы моrШI разрешитьвсе значения м. (что имеет место при lдxl;SIЛtM.I), тогда всякий ра.з,измеряя (неважно как!) положение пробной частицы, мы будем готовить2собстеенное состояние набпюдаемой м С вероятностьюмы обна•.la.lружим, что пшюжсние пробной частицы сместилось на ведичину ЛtМа, и,la)следовательно, приготовим собстве!!I!ое состояниеоператора М. Такимобразом, мы приходим к выводу, что начальное состояние 1'1') квантовойсистемы проецирустся наla)с вероятностьюl(al'l')l 2Это и есть модельортогональною измерения фон Неймана.Классическим примерам служит прибор Штерна-Герлаха.
Чтобы измерить <Тз объекта со спином-1/2, мы пропускаемeioчерез область неоднородного магнитного поля(3.9)Магнитный момент объекта равенсвязъJla, а индуцируемая магнитным полем-(3.10)В этом случае и 3 является измеряемой набтодаемой, связанной с положением z, а не с импульсом пробной частицы.
В этом нет ничего страшного, nоскольку z генерирует транс.'1Яции импульса Р z и, следовательно, эта92ГЛАВА 3связь сообщает импулhс пробной частице. Мы можем различить, сдвинулся объект вверх или вниз и таким обра·юм определить спиновое состояние1i z)мую>ЕIИn. и.1LJ.Конечно, поворачивая магнит, можно измерить наблюдаеКак показало обсуждение квантовоrо ластика, одного только факта воз·(3.8) еще не достаточно для объясненикновения запутанною состоянияния, почему процедура измерения готовит собственное сосmяние оператора М. В nринципс измерение пробной частипы могло бы спроеuиропать еесостояние на некоторую специфическую суперпозицию собственных состояний оnератора положения, и таким обра·юм приrо'lовить квантовую систему в суперпознции собственных состояний оператора М.