С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 7
Описание файла
PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
х, + бдс Статистическое описание возможно лишь при условии, что отношение М„'йз' устойчиво, т. е. при йг- со оно стремится к определенному пределу, равному Р,. гл ~ методы тгонии случапных оинкшмн При достаточно малом Лх соотношение (4) позволяет произвести переход к плотности распределения вероятностей. Учитывая (2), можно написать сн(х, 1) = !пп — — ' ) )т'т ()) Ат М (т) (1.!.5) Функцию сн (х, 1) можно определить из массового опыта, пользуясь формулами (4), (5) *).
Во многих случаях в этом довольно громоздком методе нет нужды, так как функцию сн(х, 1) удается найти теоретическим путем на основании модельных представлений о случайном процессе. Функцию та(х, 1) называют также одномерным распределением вероятностей. Статистическое усреднение, Используя распределения вероятностей, можно вычислить различные статистические средние, т. е. средние по ансамблю реализаций. Например, среднее значение случайного процесса х (1), равное 5; х,,()) (х) = !'нп (1.!.6) и- находится как (х) = ~ хси(х, () с)х. (1. 1. 7) где (т)„— число реализаций в и-и интервале.
Умножив и разделив на Лх и учитывая (5), найдем (х) = !нп т — — — Лх 1)гп ~х„сн(х„() Лх, 'кт ба да а.а Лх У л и и в пределе при Ьх- 0 получим для (х) выражение (7). Кроме угловых скобок, статистическое усреднение далее обозначается также чертой сверху: (х) = — х В зависимости от удобства записи формул в этой книге используются оба символа статистического усреднения. ') См. также 4 С сде длн так назыааемыз стацнопарнык процессов указан метод отыскании распределения по одной реализации.
Действительно, группируя реализации х~ ) (1) в (6) по интервалам х„-=- х = х„+ Лх, получим Х,а хл)'а (х) =!'нп 25 З ! слтчхнныв пяоцассы Среднее х имеет смысл регулярной, т. е. вполне предсказуемой, характеристики случайного процесса, который часто бывает удобно записывать в виде суммы регулярной составляющей х(() и флуктуационной компоненты (или просто флуктуации) х((): х (г) = х (1) + х (1). (1.1.8) Из (8) непосредственно следует, что среднее значение флуктуации равно нулю: (х(()) =О.
Согласно (8) различные реализации случайного процесса различаются лишь флуктуациями, регулярные же компоненты для всех реализаций совпадают: х<, (1) =х (г)+х~ ~((), (!.1.9) Эту запись можно еще несколько уточнить, выделив постоянную и переменную составляющие флуктуации: Ат~ (О = $о(гл~+ а~~в~ (0. (1,1.10) Здесь $щ,— постоянный параметр, случайным образом меняющийся от реализации к реализации и равный в среднем нулю. В соответствии с (9) и (!О) вместо (8) можно написать х (1) = д (0+ ва+ $ И). (1.1.1 1) Среднее значение какой-либо функции Р(х) случайного процесса определяется, аналогично (7), как (г' (х))= ) гв (х, У) Р(х) 4х.
(1.1.12) Статистические средние случайного процесса в общем случае зависят от времени д В дальнейшем зта зависимость выделяется в формулах лишь в тех случаях, когда она имеет существенное значение для рассматриваемой задачи. Пользуясь (!2), можно записать выражения для различных средних: моментов т„=(х") = ~ х"ш(х) г(х (и=1,2,3,...), (1 1 18) центральных моментов )з„= ((х — х)") =(х"), (1.!.14) характеристической функции В (и)=(е'" ). (!.!.!5) Последнюю можно также интерпретировать как фурье-образ распределения вероятностей: 0(и).=- ( и"'к (х) дх. (1.1.!б) гл с мвтоды тнояии слтчлиных ехнкции В отличие от распределения вероятностей в (х), характеристическая функция, вообще говоря, комплексна. Она также ограничена по модулю: (8(и)!( $ в(х)(еы" /дх= )г в(х)дх=1.
Среднее значение (12) произвольной функции г" (х) можно выразить через 8(и) и фурье-образ функции Е(х), а именно: (Е (х)) = ~ 8 (и) ~р (и) ди, (1.!.18) ! ге (и) = — ~ Р(х) е-'""е(х. (1.1.19) Как видно из определения (12) оператора статистического усред- нения, этот оператор — линейный, коммутирующий с произволь- ным линейным оператором !., не зависящим от х, т, е. ,(у, =у ()е).
В частности, среднее значение интеграла равно интегралу от среднего значения, а среднее производной — производной от среднего. Разложение в ряд по моментам. Характеристическая функция 8(и), распределение вероятное~ей в (х) и статистическое среднее общего вида (12) могут быть представлены в виде рядов, коэффициенты которых определяются моментами (!3). Разлагая экспоненту в ряд по х, из (15) непосредственно находим (сч ! (1.1.20) а=О Отсюда видно, что моменты могут быть найдены дифференцированием характе(,истической функции: в„=- „„) 8(и)~ ! ('е'г~ , еи,) и=э Соответственно, зная характеристическую функцию, можно найти распределение вероятностей, выполнив обратное преобразование Фурье: в(х) = — ~ 8(и) егы Ди, (1.1.! 7) $ ! случАиные пРопессы Подставив разложение (2й) в выражение (17) для функции распределения вероятностей, получим ш (х) — ~ ~и ~,- и» ((и)и (и »=Π— ис Но — ~ е-'""((и)" с(и=( — 1)и(- -) б(х), П.1.22) где б (х) — дельта-функция.
Соотноц1ение (22) можно доказать, интегрируя по частям выражение для б-функции б (х) = ... ~ сг-си»,)н ! й»и Таким образом, представление ш(х) в виде ряда по моментам будет иметь вид (1,1.23) и=и Подставляя (23) в (12) и учитывая, что ~ г (х')( — „, ) б(х' — х) с(х'=( — !)" ~ — „1 Р(х), (1.1.24) находим также (1.!.25) Последнее соотношение представляет собой просто результат усреднения ряда Тейлора для функции Р(х). При г (х) =е'и" (25) переходит в (20).
Неравенство Чебышева. Момент второго порядка пзи = х' определяет среднюю интенсивность случайного процесса. Особую роль при статистических оценках играет центральный момент второго порядка, или дисперсия (см. (14)), Пи=Ни =хз — (х)и== ~ (х — х)и пс(х) 3х. (1.1.26) — ис Этот параметр характеризует среднюю интенсивность флуктуаций. Под среднеквадратичным отклонением случайной величины (от среднего) понимают корень квадратный из дисперсии, т. е. величину о.
ГЛ ! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАПНЫХ ФУНКЦИИ (к-сса «!-ла со оз=~ ~ + ~ + ~ ~)(х — х)'ц!(х)!(х) — со к — ла к+пав )к — ла со + ~ (х — х)' н! (х) !(х. В последних интегралах (х — х)' ~п'о', и, следовательно, !Ск — па о Ов~л и'О'~ ~ + ~ ) и!(Х) !(Х. — со *ф са (1.1.27) Но согласно (2) к-ла со + ~ ~ ю (х) !(т =- Р (~ х — х ~ ~ по).
(1.!.28) — со к -!. па Подставив (28) в (27), получим искомое неравенство в виде Р () х — х ! '=- по) = Р (! Х ! ="- по) =. —, ! (1.1.2 9 (1.1.30) или Более точная оценка для вероятности Отклонения от среднего может быть получена, если извесзен центральный момент более высокого порядка. Выкладки, аналогичные приведенным выше, приводят к следующему результату: При т = 1 (3!) совпадает с (30).
Кумулянты. Используя разложение логарифма !п (! + х) = ~ ( — !)и-'— л=! и полагая 1+х= а (и), получим а(и) =ехр ~ ( — !)и-' л.= ! Нетрудно получить неравенство, связывающее величину о с вероятностью того, что флуктуация е будет больше, чем по (и — некоторое положительное число) Подьатегральное выражение в (26) неотрицательно, и можно написать $ ! случлиные пвоцессы Подставив сюда из (20) ~=-! и собирая в показателе экспоненты члены одного порядка по и, получим для характеристической функции следующее выражение: (4!4)» 0(и) =ехр т — !А, «=! (!.1.32) или !п 0 (и) = ~~) †, й„.
»=! Коэффициенты й„называются кумулянтами. Между моментами и кумулянтами имеется однозначная связь, причем и„выражается через моменты до п-го порядка включительно [2 — 4$ Например, й! !по йэ )44 и Йэ )Ь4 Й4 (44 Зра (1.!.34) Й4 = р, — 10рэ(4„ /г4 = р» — 15(44)44 — 10рз — 30(44. Если ввести безразмерные нормированные кумулянты й /и» (1.1.35) то (33) примет вид Если же предположить, что отличны от нуля только два первых кумулянта, й4=т! и й,=оэ, то согласно (32) характеристическая функция будет (17ЕЗЕ) ! 0 (и) = ехр (4ит! — — и'о'). 2 Подставив (36) в (17), получим ! Г (Х вЂ” »4!)4 1 и!(х) = —,— — схр[— 1' виа» ~ ва4 (1.1.37) %» (!»ю)» и 1п 0 (и) =- г »=! С помощью конечного числа моментов нельзя получить удобную аппроксимацию для распределения вероятностей: согласно (23) функция и (х) определяется при этом как сумма б-функции и ее производных.
Напротив, конечное число кумулянтов определяет и4 (х) без каких-либо подобных особенностей Например, зная первые два момента т, и и,, предполагая, что остальные моменты равны нулю, и используя (23), мы получим для распределения вероятностей выражение и4(х) =б(х) — т,б (х)+ -тэб (х). гл к мвтоды твоиии слкчхпных екикции Распределение (37) имеет вид плавной колоколообразной кривой с максимумом в точке х = иь Это распределение называется гауссовским или нормальным Интересно, что случаем (36) исчерпываются все возможности представления 0 (и) с помощью конечного числа кумулянтов: согласно теореме, доказанной Марцинкевичем [9[, преобразуя по Фурье функцию 8(и) =ехр гг —, й„, ((к) к 1 (1.1.38) мы можем получить неотрицательное распределение ги (х) =.- 0 лишь при й) =1, 2 или Ж =сю (подробнее см.