Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика

С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 7

PDF-файл С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 7 Математические модели флуктуационных явлений (53103): Книга - 7 семестрС.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика: Математические модели флуктуационных явлений - PDF, страница 7 (53103) - СтудИзб2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 7 страницы из PDF

х, + бдс Статистическое описание возможно лишь при условии, что отношение М„'йз' устойчиво, т. е. при йг- со оно стремится к определенному пределу, равному Р,. гл ~ методы тгонии случапных оинкшмн При достаточно малом Лх соотношение (4) позволяет произвести переход к плотности распределения вероятностей. Учитывая (2), можно написать сн(х, 1) = !пп — — ' ) )т'т ()) Ат М (т) (1.!.5) Функцию сн (х, 1) можно определить из массового опыта, пользуясь формулами (4), (5) *).

Во многих случаях в этом довольно громоздком методе нет нужды, так как функцию сн(х, 1) удается найти теоретическим путем на основании модельных представлений о случайном процессе. Функцию та(х, 1) называют также одномерным распределением вероятностей. Статистическое усреднение, Используя распределения вероятностей, можно вычислить различные статистические средние, т. е. средние по ансамблю реализаций. Например, среднее значение случайного процесса х (1), равное 5; х,,()) (х) = !'нп (1.!.6) и- находится как (х) = ~ хси(х, () с)х. (1. 1. 7) где (т)„— число реализаций в и-и интервале.

Умножив и разделив на Лх и учитывая (5), найдем (х) = !нп т — — — Лх 1)гп ~х„сн(х„() Лх, 'кт ба да а.а Лх У л и и в пределе при Ьх- 0 получим для (х) выражение (7). Кроме угловых скобок, статистическое усреднение далее обозначается также чертой сверху: (х) = — х В зависимости от удобства записи формул в этой книге используются оба символа статистического усреднения. ') См. также 4 С сде длн так назыааемыз стацнопарнык процессов указан метод отыскании распределения по одной реализации.

Действительно, группируя реализации х~ ) (1) в (6) по интервалам х„-=- х = х„+ Лх, получим Х,а хл)'а (х) =!'нп 25 З ! слтчхнныв пяоцассы Среднее х имеет смысл регулярной, т. е. вполне предсказуемой, характеристики случайного процесса, который часто бывает удобно записывать в виде суммы регулярной составляющей х(() и флуктуационной компоненты (или просто флуктуации) х((): х (г) = х (1) + х (1). (1.1.8) Из (8) непосредственно следует, что среднее значение флуктуации равно нулю: (х(()) =О.

Согласно (8) различные реализации случайного процесса различаются лишь флуктуациями, регулярные же компоненты для всех реализаций совпадают: х<, (1) =х (г)+х~ ~((), (!.1.9) Эту запись можно еще несколько уточнить, выделив постоянную и переменную составляющие флуктуации: Ат~ (О = $о(гл~+ а~~в~ (0. (1,1.10) Здесь $щ,— постоянный параметр, случайным образом меняющийся от реализации к реализации и равный в среднем нулю. В соответствии с (9) и (!О) вместо (8) можно написать х (1) = д (0+ ва+ $ И). (1.1.1 1) Среднее значение какой-либо функции Р(х) случайного процесса определяется, аналогично (7), как (г' (х))= ) гв (х, У) Р(х) 4х.

(1.1.12) Статистические средние случайного процесса в общем случае зависят от времени д В дальнейшем зта зависимость выделяется в формулах лишь в тех случаях, когда она имеет существенное значение для рассматриваемой задачи. Пользуясь (!2), можно записать выражения для различных средних: моментов т„=(х") = ~ х"ш(х) г(х (и=1,2,3,...), (1 1 18) центральных моментов )з„= ((х — х)") =(х"), (1.!.14) характеристической функции В (и)=(е'" ). (!.!.!5) Последнюю можно также интерпретировать как фурье-образ распределения вероятностей: 0(и).=- ( и"'к (х) дх. (1.1.!б) гл с мвтоды тнояии слтчлиных ехнкции В отличие от распределения вероятностей в (х), характеристическая функция, вообще говоря, комплексна. Она также ограничена по модулю: (8(и)!( $ в(х)(еы" /дх= )г в(х)дх=1.

Среднее значение (12) произвольной функции г" (х) можно выразить через 8(и) и фурье-образ функции Е(х), а именно: (Е (х)) = ~ 8 (и) ~р (и) ди, (1.!.18) ! ге (и) = — ~ Р(х) е-'""е(х. (1.1.19) Как видно из определения (12) оператора статистического усред- нения, этот оператор — линейный, коммутирующий с произволь- ным линейным оператором !., не зависящим от х, т, е. ,(у, =у ()е).

В частности, среднее значение интеграла равно интегралу от среднего значения, а среднее производной — производной от среднего. Разложение в ряд по моментам. Характеристическая функция 8(и), распределение вероятное~ей в (х) и статистическое среднее общего вида (12) могут быть представлены в виде рядов, коэффициенты которых определяются моментами (!3). Разлагая экспоненту в ряд по х, из (15) непосредственно находим (сч ! (1.1.20) а=О Отсюда видно, что моменты могут быть найдены дифференцированием характе(,истической функции: в„=- „„) 8(и)~ ! ('е'г~ , еи,) и=э Соответственно, зная характеристическую функцию, можно найти распределение вероятностей, выполнив обратное преобразование Фурье: в(х) = — ~ 8(и) егы Ди, (1.1.! 7) $ ! случАиные пРопессы Подставив разложение (2й) в выражение (17) для функции распределения вероятностей, получим ш (х) — ~ ~и ~,- и» ((и)и (и »=Π— ис Но — ~ е-'""((и)" с(и=( — 1)и(- -) б(х), П.1.22) где б (х) — дельта-функция.

Соотноц1ение (22) можно доказать, интегрируя по частям выражение для б-функции б (х) = ... ~ сг-си»,)н ! й»и Таким образом, представление ш(х) в виде ряда по моментам будет иметь вид (1,1.23) и=и Подставляя (23) в (12) и учитывая, что ~ г (х')( — „, ) б(х' — х) с(х'=( — !)" ~ — „1 Р(х), (1.1.24) находим также (1.!.25) Последнее соотношение представляет собой просто результат усреднения ряда Тейлора для функции Р(х). При г (х) =е'и" (25) переходит в (20).

Неравенство Чебышева. Момент второго порядка пзи = х' определяет среднюю интенсивность случайного процесса. Особую роль при статистических оценках играет центральный момент второго порядка, или дисперсия (см. (14)), Пи=Ни =хз — (х)и== ~ (х — х)и пс(х) 3х. (1.1.26) — ис Этот параметр характеризует среднюю интенсивность флуктуаций. Под среднеквадратичным отклонением случайной величины (от среднего) понимают корень квадратный из дисперсии, т. е. величину о.

ГЛ ! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАПНЫХ ФУНКЦИИ (к-сса «!-ла со оз=~ ~ + ~ + ~ ~)(х — х)'ц!(х)!(х) — со к — ла к+пав )к — ла со + ~ (х — х)' н! (х) !(х. В последних интегралах (х — х)' ~п'о', и, следовательно, !Ск — па о Ов~л и'О'~ ~ + ~ ) и!(Х) !(Х. — со *ф са (1.1.27) Но согласно (2) к-ла со + ~ ~ ю (х) !(т =- Р (~ х — х ~ ~ по).

(1.!.28) — со к -!. па Подставив (28) в (27), получим искомое неравенство в виде Р () х — х ! '=- по) = Р (! Х ! ="- по) =. —, ! (1.1.2 9 (1.1.30) или Более точная оценка для вероятности Отклонения от среднего может быть получена, если извесзен центральный момент более высокого порядка. Выкладки, аналогичные приведенным выше, приводят к следующему результату: При т = 1 (3!) совпадает с (30).

Кумулянты. Используя разложение логарифма !п (! + х) = ~ ( — !)и-'— л=! и полагая 1+х= а (и), получим а(и) =ехр ~ ( — !)и-' л.= ! Нетрудно получить неравенство, связывающее величину о с вероятностью того, что флуктуация е будет больше, чем по (и — некоторое положительное число) Подьатегральное выражение в (26) неотрицательно, и можно написать $ ! случлиные пвоцессы Подставив сюда из (20) ~=-! и собирая в показателе экспоненты члены одного порядка по и, получим для характеристической функции следующее выражение: (4!4)» 0(и) =ехр т — !А, «=! (!.1.32) или !п 0 (и) = ~~) †, й„.

»=! Коэффициенты й„называются кумулянтами. Между моментами и кумулянтами имеется однозначная связь, причем и„выражается через моменты до п-го порядка включительно [2 — 4$ Например, й! !по йэ )44 и Йэ )Ь4 Й4 (44 Зра (1.!.34) Й4 = р, — 10рэ(4„ /г4 = р» — 15(44)44 — 10рз — 30(44. Если ввести безразмерные нормированные кумулянты й /и» (1.1.35) то (33) примет вид Если же предположить, что отличны от нуля только два первых кумулянта, й4=т! и й,=оэ, то согласно (32) характеристическая функция будет (17ЕЗЕ) ! 0 (и) = ехр (4ит! — — и'о'). 2 Подставив (36) в (17), получим ! Г (Х вЂ” »4!)4 1 и!(х) = —,— — схр[— 1' виа» ~ ва4 (1.1.37) %» (!»ю)» и 1п 0 (и) =- г »=! С помощью конечного числа моментов нельзя получить удобную аппроксимацию для распределения вероятностей: согласно (23) функция и (х) определяется при этом как сумма б-функции и ее производных.

Напротив, конечное число кумулянтов определяет и4 (х) без каких-либо подобных особенностей Например, зная первые два момента т, и и,, предполагая, что остальные моменты равны нулю, и используя (23), мы получим для распределения вероятностей выражение и4(х) =б(х) — т,б (х)+ -тэб (х). гл к мвтоды твоиии слкчхпных екикции Распределение (37) имеет вид плавной колоколообразной кривой с максимумом в точке х = иь Это распределение называется гауссовским или нормальным Интересно, что случаем (36) исчерпываются все возможности представления 0 (и) с помощью конечного числа кумулянтов: согласно теореме, доказанной Марцинкевичем [9[, преобразуя по Фурье функцию 8(и) =ехр гг —, й„, ((к) к 1 (1.1.38) мы можем получить неотрицательное распределение ги (х) =.- 0 лишь при й) =1, 2 или Ж =сю (подробнее см.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее