Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел

Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел

PDF-файл Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел Теория чисел (52997): Лекции - 7 семестрЮ.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел: Теория чисел - PDF (52997) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория чисел" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций потеории чиселЛектор — Юрий Валентинович НестеренкоIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.ПредисловиеОт наборщикаЧто можно сказать про эти лекции? Я думаю, что они оказались вполне качественными. В первую очередьиз-за того, что Нестеренко — отличный лектор. Поэтому при наборе не приходилось особо задумываться надразличными утверждениями — всё было понятно.

Ну, разумеется, как во всяком продукте человеческого труда,здесь возможны разные нехорошие баги. Увидите их — сообщайте мне. Желаю приятного ботанья!Выражаю благодарность Диме и Мише Вельтищевым за помощь в наборе, за выслушивание моих глупыхвопросов по особенностям TEX’a и MetaPost’a и за контроль TEX-нической грамотности, а также КабировойГульнаре за предоставление некоторых лекций, на которых я не присутствовал (да-да, и такое бывало).Юхименко Александр (alesandro1985@mail.ru)От редакцииМы выражаем благодарность наборщику, без деятельности которого этот курс не существовал бы.

Текстполностью отредактирован, часть доказательств написана более подробно.В этой версии вроде нейтрализованы все опечатки, поступившие нам до 17-го января. Кресты на поляхубраны, потому что лажи исправлено много, и новые кресты ставить лень.Пока глобально остаётся неисправленным две вещи: 1◦ : более подробное рассуждение про выбор T в первойглаве (спасибо Саше Юхименко и Мише Левину за замечания), и 2◦ : ещё нужно капитально пропатчить тексттеоремы Линдемана – Вейерштрасса и её окрестностей.

Многое там этом разделе ещё не исправлено, сейчасмаловато времени. Если оно появится, редактура по 1◦ появится сегодня-завтра, если нет — после 22-го января.Редактура 2◦ в любом случае дело очень ответственное, и там нужно много того, чего сейчас нет, а именновремени.Последняя компиляция: 17 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.БлагодарностиБлагодарность за поиск лажи выражается Паше Наливайко, Володе Филатову, Юре Дружинину, самомутоварищу наборщику, Альмире Червовой, Сергею Гладких, Коле Рудому, Мише Левину, Мише Берштейну,Юре Притыкину и даже Сене Акопяну, который вообще с другого потока.Используемые обозначенияОбычно простое Pчисло мы будем обозначать буквой p (если p занята, то далее по алфавиту q или r).

Есливстречается запись, то это означает, что суммирование ведется по всем простым числам, меньшим x. Иногда,p<xразумеется, мы будем использовать букву p для обозначения произвольного натурального числа, не обязательнопростого.• p x — означает, что число p делит число x..• x .. p — означает, что число x делится на p.• (a, b) — наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b. Аналогичное обозначение используется и дляНОД нескольких чисел: (a1 , . .

. , an ).• [a, b] — наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b. Аналогичное обозначение используется и для НОКнескольких чисел: [a1 , . . . , an ].• f (x) ∼ g(x) ⇔f (x)g(x)→ 1, x → ∞.• #A — количество элементов в множестве A.• Z+ — множество целых неотрицательных чисел.Литература[1] Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б.

Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та,1984.[2] Хасс. Лекции по теории чисел.2Оглавление1.Введение1.1. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Основная теорема арифметики . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.Асимптотический закон распределения простых чисел2.1. Оценки Чебышева для функции π(x) . . . . . . . . . . . . . .2.2. Функция Чебышева и ее связь с π(x) . . . . . . . . . . . . . .2.3. Дзета-функция Римана . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .2.3.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . . .2.3.2. Мультипликативные функции. Формула Эйлера . . .2.3.3. Аналитическое продолжение ζ-функции . . . . . . . .2.3.4. Оценки ζ-функции и её производной . . .

. . . . . . .2.3.5. Гипотеза Римана и теоремы о нулях ζ-функции . . .2.4. Доказательство асимптотического закона простых чисел . .3.4.Теорема Дирихле3.1. Частные случаи теоремы Дирихле. Сравнения по модулю3.1.1. Простейший частный случай: an = 4n + 3 . . . . . .3.1.2. Сравнения по модулю и их простейшие свойства . .3.1.3. Ещё одно доказательство бесконечностимножества простых чисел вида 4n ± 1 .

. . . . . . .3.2. Характеры Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . .3.2.2. L-функции Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Доказательство теоремы Дирихле . . . . . . . . . .444.........557991011121315. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17171717..................................................................................................................................................................................................................................................................................................1920202123Алгебраические и трансцендентные числа4.1. Алгебраические числа .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Свойства алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Целые алгебраические числа . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3. Теорема о примитивном элементе . . . . . . . . . . . . . .4.1.4. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел4.2. Проблема квадратуры круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.

Расширения полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Нормальные расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Норма в конечных расширениях . . . . . . . . . . . . . .4.4. Приближение иррациональных чисел рациональными . . . . . .4.4.1. Приближение действительных чисел рациональными . .4.4.2. Приближение алгебраических чисел рациональными .

.4.5. Теорема Линдемана – Вейерштрасса и её следствия . . . . . . .4.5.1. Трансцендентность e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2. Иррациональность π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.3. Доказательство теоремы Линдемана – Вейерштрасса . . .4.5.4. Следствия из теоремы Линдемана – Вейерштрасса .

. . .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2424242627282829293031313232323434373..............1. Введение1.1. Простые числаОпределение. Натуральное число n называется составным, если может быть представлено в виде n = uv,где u, v > 1. Натуральное число, не являющееся составным, называется простым. Число 1 не является ни простым, ни составным по определению..

. 11} и 213466917 − 1.Вот пара интересных примеров простых чисел: 11. . 11} 4 11| .{z| .{z3232Утверждение 1.1. Пусть M ∈ N и p > 1 — наименьший делитель M . Тогда p — простое. Предположим, что p = uv, где u, v > 1. Тогда u и v — делители M , меньшие p. Теорема 1.2 (Евклид).

Множество простых чисел бесконечно. Допустим, существует лишь конечное множество простых чисел {p1 , . . . , pn }. Рассмотрим число M :=:= p1 · p2 · . . . · pn + 1. Пусть p — его наименьший делитель. Очевидно, M не делится ни на одно из чиселpi . Согласно предыдущему утверждению, либо число p является простым, либо p = 1 (то есть само число Mпростое). В обоих случаях мы получили ещё одно простое число. С древних времен известен способ нахождения простых чисел (решето Эратосфена).

К настоящему моментуимеются некоторые его модификации, которые лишь незначительно ускоряют процесс поиска.Теорема 1.3 (Решето Эратосфена). Выписываем числа 1, 2, 3, . . . , n и вычёркиваем единицу. Далее, первое незачёркнутое число p обводим рамкой и вычёркиваем все числа, кратные ему, начиная c p2 . Затем берёмпервое невычеркнутое и необведённое число, с ним делаем то же самое, и так далее.

Обведённые числа сутьвсе простые числа в диапазоне от 1 до n. Заметим, что вычеркиваются лишь составные числа, поэтому простые останутся невычеркнутыми. Предположим, что число a не вычеркнуто, и a = pv, где p, v > 1. Пусть p — минимальный делитель a. Тогда он прост.Но p2 6 pv = a, значит, число a в свое время нужно было вычеркнуть. Составных чисел бесконечно много, но их в некотором смысле гораздо больше, чем простых. Вот примеротрезка натурального ряда длины n − 1, состоящего сплошь из составных чисел: n! + 2, n! + 3, . . . , n! + n. Такимобразом, между простыми числами встречаются сколь угодно большие пробелы.Тем не менее, в натуральном ряду встречаются и отрезки, на которых простых чисел сравнительно много.Так, на отрезке 1015 , 1015 + 150000 расстояние между соседними простыми числами не превосходит 276.До сих пор не доказан факт бесконечности пар простых чисел вида (n − 1, n + 1) (гипотеза «близнецов»).Самая большая на сегодняшний день такая пара — это (291 · 21553 ± 1).Еще одна до сих пор нерешённая задача (проблема Гольдбаха): каждое чётное число представимо в видесуммы двух простых.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее