Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел
Описание файла
PDF-файл из архива "Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория чисел" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций потеории чиселЛектор — Юрий Валентинович НестеренкоIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.ПредисловиеОт наборщикаЧто можно сказать про эти лекции? Я думаю, что они оказались вполне качественными. В первую очередьиз-за того, что Нестеренко — отличный лектор. Поэтому при наборе не приходилось особо задумываться надразличными утверждениями — всё было понятно.
Ну, разумеется, как во всяком продукте человеческого труда,здесь возможны разные нехорошие баги. Увидите их — сообщайте мне. Желаю приятного ботанья!Выражаю благодарность Диме и Мише Вельтищевым за помощь в наборе, за выслушивание моих глупыхвопросов по особенностям TEX’a и MetaPost’a и за контроль TEX-нической грамотности, а также КабировойГульнаре за предоставление некоторых лекций, на которых я не присутствовал (да-да, и такое бывало).Юхименко Александр (alesandro1985@mail.ru)От редакцииМы выражаем благодарность наборщику, без деятельности которого этот курс не существовал бы.
Текстполностью отредактирован, часть доказательств написана более подробно.В этой версии вроде нейтрализованы все опечатки, поступившие нам до 17-го января. Кресты на поляхубраны, потому что лажи исправлено много, и новые кресты ставить лень.Пока глобально остаётся неисправленным две вещи: 1◦ : более подробное рассуждение про выбор T в первойглаве (спасибо Саше Юхименко и Мише Левину за замечания), и 2◦ : ещё нужно капитально пропатчить тексттеоремы Линдемана – Вейерштрасса и её окрестностей.
Многое там этом разделе ещё не исправлено, сейчасмаловато времени. Если оно появится, редактура по 1◦ появится сегодня-завтра, если нет — после 22-го января.Редактура 2◦ в любом случае дело очень ответственное, и там нужно много того, чего сейчас нет, а именновремени.Последняя компиляция: 17 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.БлагодарностиБлагодарность за поиск лажи выражается Паше Наливайко, Володе Филатову, Юре Дружинину, самомутоварищу наборщику, Альмире Червовой, Сергею Гладких, Коле Рудому, Мише Левину, Мише Берштейну,Юре Притыкину и даже Сене Акопяну, который вообще с другого потока.Используемые обозначенияОбычно простое Pчисло мы будем обозначать буквой p (если p занята, то далее по алфавиту q или r).
Есливстречается запись, то это означает, что суммирование ведется по всем простым числам, меньшим x. Иногда,p<xразумеется, мы будем использовать букву p для обозначения произвольного натурального числа, не обязательнопростого.• p x — означает, что число p делит число x..• x .. p — означает, что число x делится на p.• (a, b) — наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b. Аналогичное обозначение используется и дляНОД нескольких чисел: (a1 , . .
. , an ).• [a, b] — наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b. Аналогичное обозначение используется и для НОКнескольких чисел: [a1 , . . . , an ].• f (x) ∼ g(x) ⇔f (x)g(x)→ 1, x → ∞.• #A — количество элементов в множестве A.• Z+ — множество целых неотрицательных чисел.Литература[1] Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б.
Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та,1984.[2] Хасс. Лекции по теории чисел.2Оглавление1.Введение1.1. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Основная теорема арифметики . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.Асимптотический закон распределения простых чисел2.1. Оценки Чебышева для функции π(x) . . . . . . . . . . . . . .2.2. Функция Чебышева и ее связь с π(x) . . . . . . . . . . . . . .2.3. Дзета-функция Римана . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .2.3.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . . .2.3.2. Мультипликативные функции. Формула Эйлера . . .2.3.3. Аналитическое продолжение ζ-функции . . . . . . . .2.3.4. Оценки ζ-функции и её производной . . .
. . . . . . .2.3.5. Гипотеза Римана и теоремы о нулях ζ-функции . . .2.4. Доказательство асимптотического закона простых чисел . .3.4.Теорема Дирихле3.1. Частные случаи теоремы Дирихле. Сравнения по модулю3.1.1. Простейший частный случай: an = 4n + 3 . . . . . .3.1.2. Сравнения по модулю и их простейшие свойства . .3.1.3. Ещё одно доказательство бесконечностимножества простых чисел вида 4n ± 1 .
. . . . . . .3.2. Характеры Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . .3.2.2. L-функции Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Доказательство теоремы Дирихле . . . . . . . . . .444.........557991011121315. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17171717..................................................................................................................................................................................................................................................................................................1920202123Алгебраические и трансцендентные числа4.1. Алгебраические числа .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Свойства алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Целые алгебраические числа . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3. Теорема о примитивном элементе . . . . . . . . . . . . . .4.1.4. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел4.2. Проблема квадратуры круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.
Расширения полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Нормальные расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Норма в конечных расширениях . . . . . . . . . . . . . .4.4. Приближение иррациональных чисел рациональными . . . . . .4.4.1. Приближение действительных чисел рациональными . .4.4.2. Приближение алгебраических чисел рациональными .
.4.5. Теорема Линдемана – Вейерштрасса и её следствия . . . . . . .4.5.1. Трансцендентность e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2. Иррациональность π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.3. Доказательство теоремы Линдемана – Вейерштрасса . . .4.5.4. Следствия из теоремы Линдемана – Вейерштрасса .
. . .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2424242627282829293031313232323434373..............1. Введение1.1. Простые числаОпределение. Натуральное число n называется составным, если может быть представлено в виде n = uv,где u, v > 1. Натуральное число, не являющееся составным, называется простым. Число 1 не является ни простым, ни составным по определению..
. 11} и 213466917 − 1.Вот пара интересных примеров простых чисел: 11. . 11} 4 11| .{z| .{z3232Утверждение 1.1. Пусть M ∈ N и p > 1 — наименьший делитель M . Тогда p — простое. Предположим, что p = uv, где u, v > 1. Тогда u и v — делители M , меньшие p. Теорема 1.2 (Евклид).
Множество простых чисел бесконечно. Допустим, существует лишь конечное множество простых чисел {p1 , . . . , pn }. Рассмотрим число M :=:= p1 · p2 · . . . · pn + 1. Пусть p — его наименьший делитель. Очевидно, M не делится ни на одно из чиселpi . Согласно предыдущему утверждению, либо число p является простым, либо p = 1 (то есть само число Mпростое). В обоих случаях мы получили ещё одно простое число. С древних времен известен способ нахождения простых чисел (решето Эратосфена).
К настоящему моментуимеются некоторые его модификации, которые лишь незначительно ускоряют процесс поиска.Теорема 1.3 (Решето Эратосфена). Выписываем числа 1, 2, 3, . . . , n и вычёркиваем единицу. Далее, первое незачёркнутое число p обводим рамкой и вычёркиваем все числа, кратные ему, начиная c p2 . Затем берёмпервое невычеркнутое и необведённое число, с ним делаем то же самое, и так далее.
Обведённые числа сутьвсе простые числа в диапазоне от 1 до n. Заметим, что вычеркиваются лишь составные числа, поэтому простые останутся невычеркнутыми. Предположим, что число a не вычеркнуто, и a = pv, где p, v > 1. Пусть p — минимальный делитель a. Тогда он прост.Но p2 6 pv = a, значит, число a в свое время нужно было вычеркнуть. Составных чисел бесконечно много, но их в некотором смысле гораздо больше, чем простых. Вот примеротрезка натурального ряда длины n − 1, состоящего сплошь из составных чисел: n! + 2, n! + 3, . . . , n! + n. Такимобразом, между простыми числами встречаются сколь угодно большие пробелы.Тем не менее, в натуральном ряду встречаются и отрезки, на которых простых чисел сравнительно много.Так, на отрезке 1015 , 1015 + 150000 расстояние между соседними простыми числами не превосходит 276.До сих пор не доказан факт бесконечности пар простых чисел вида (n − 1, n + 1) (гипотеза «близнецов»).Самая большая на сегодняшний день такая пара — это (291 · 21553 ± 1).Еще одна до сих пор нерешённая задача (проблема Гольдбаха): каждое чётное число представимо в видесуммы двух простых.