Лекция (9) (Лекции)
Описание файла
Файл "Лекция (9)" внутри архива находится в папке "Лекции". PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
16(4). 21.09.2001 ¤ ç ® ᮡá⢥ëå § 票ïåH^ = E á ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¯¥à â®à®¬ H^ , ª ª ¯à ¢¨«®, ¥à §à¥è¨¬ «¨â¨ç¥áª¨.¤ ª®, ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¬®£¨å 䨧¨ç¥áª¨ ¢ ¦ëå § ¤ ç ¤®áâ â®ç® ¬¥¥¥ ®¡é¨åà áá㦤¥¨©. DZãáâì £ ¬¨«ì⮨ á¨áâ¥¬ë ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥H^ = H^ 0 + H^ 1; << 1;£¤¥ H^0 { ®¯¥à â®à á ç¨áâ® ¤¨áªà¥âë¬ á¯¥ªâ஬, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ ¥£® ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï¨ á®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§¢¥áâë. DZ ç « ¤«ï ¯à®áâ®âë ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï íâ® ®¯¥à â®à ¥¢ë஦¤¥ë:H^ 0n = E0nn;X< m jn > = Æmn ;8 2 H =n < nj > :nDZਨ¬ ï ¢® ¢¨¬ ¨¥ á¢ï§ì ®¯¥à â®à®¢ H^ ¨ H^0 , ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® E0n ¨ n {¯à¨¡«¨¦¥ë¥ à¥è¥¨ï â®ç®© § ¤ ç¨:n = n + O();En= E0n + O():¥âà㤮 ãâ®ç¨âì áâàãªâãàã ¯®¯à ¢®çëå á« £ ¥¬ëå ¢ íâ¨å ä®à¬ã« å.
®¦®à áá㤨âì â ª: ¯®áª®«ìªã ®¯¥à â®à H «¨â¨ç¥áª¨ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥âà , ¬®¦® ®¦¨¤ âì, çâ® íâ® ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï ᮡá⢥ëå § 票© ¨ ᮡá⢥ë墥ªâ®à®¢. DZ®í⮬㠬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢¥«¨ç¨ë En ¨ n ¢ ä®à¬¥En= E0n + E1n + O(2 );n = n + (1)n + O(2 ):DZ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¦¥¨ï ¢ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ᮡá⢥ëå § 票©, ¯®«ã稬 á®®â®è¥¨¥H^ 00 + H^ 0(1)n + H^ 1n =E0nn + En0 (1)n + E1n n + O(2 ):1DZ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë n { à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨©(H^0 E0n)n = 0;â® ¯®«ã祮¥ à ¢¥á⢮ 㤮¢«¥â¢®à¨âáï á â®ç®áâìî ¤® á« £ ¥¬ëå ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯® , ¥á«¨ ¢¥ªâ®à 1n ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï(H^ 0 E0n)(1)n = F1;£¤¥= E1nnH^1 n:¬®¦¨¢ ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï ᪠«ïà® ¢¥ªâ®à n, ¯®«ã稬< n jF1 > = < n j(H^ 0 E0n )(1) n > = < (H^ 0 E0n )n j(1)n > = 0:F1 ª¨¬ ®¡à §®¬, à ¢¥á⢠< n jF1 > = 0¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î.
¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ § ç¥¨ï ¯®¯à ¢®ª ª ãà®¢ï¬ í¥à£¨¨ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥¯® ¯ à ¬¥âàã :E1n = < n jH^ 1 jn > :¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï(H^ 0 E0n)(1)n = F1;¥á«¨ ®® áãé¥áâ¢ã¥â, ®¯à¥¤¥«¥® á â®ç®áâìî ¤® á« £ ¥¬®£®, ¯à®¯®à樮 «ì®£® ¢¥ªâ®àã n. ᯮà廊¬áï ¨¬ â ª, çâ®¡ë ¢¥ªâ®àë n ¨ (1)n ¡ë«¨ ®à⮣® «ì묨¤à㣠¤àã£ã.
â® ®§ ç ¥â, çâ® ¤®«¦® ¡ëâì á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ à §«®¦¥¨¥(1)n =Xm6=nm Cmn:DZ®¤áâ ®¢ª í⮣® à §«®¦¥¨ï ¢ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï (1)n ¯à¨¢®¤¨â ª ï¢ë¬ ¢ëà ¦¥¨ï¬ª®íää¨æ¨¥â®¢ Cmn:< m jH^ 1 jn >Cmn =:EEn0m0 ¬¥â¨¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë Cmn â¨á¨¬¬¥âà¨çë ¯® ¨¤¥ªá ¬ m ¨ n. ᨫã í⮣®¢¥ªâ®àëX(1)n = n + mCmnm6=ná â®ç®áâìî ¤® ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯® ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë:< 1 m j1 n > = Æmn + O(2 ):2 ç¥ £®¢®àï, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥0 n = n =) 1nã¨â à® á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® .DZ®«¥§® ¯®¬¨âì, çâ® ¯à®æ¥¤ãà ¢ëç¨á«¥¨ï ᮡá⢥ëå § 票© ¨ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯® ¯ à ¬¥âàã ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ à ᯠ« áì ¤¢ íâ ¯ :1) á ç « ¢ëïá﫨áì ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨© ¯à¨¡«¨¦¥¨ï; ¢ १ã«ìâ ⥠¡ë« ©¤¥ ¯®¯à ¢ª ª ãà®¢ï¬ í¥à£¨¨ E0n ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® ¢¥«¨ç¨¥;2) ¯®á«¥ í⮣® ®ª § «®áì ¢®§¬®¦ë¬ ©â¨ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï, ª®â®à®¥ ®ª §ë¢ ¥âáï áâ 樮 ஬ ¯à¨ ãç¥â¥ íä䥪⮢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , á¢ï§ ëå á í¥à£¨¥© H^1 .â á奬 ®áâ ¥âáï ¢¥à®© ¨ ¯à¨ ãç¥â¥ ¢®§¬ãé¥¨ï ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢.
áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, á奬㠢â®à®£® ¯®à浪 . í⮬ á«ãç ¥ ¢ ãà ¢¥¨ï ¤«ï ᮡá⢥ëå§ ç¥¨© á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì â ª¨¥ à §«®¦¥¨ï ᮡá⢥ëå § 票© ¨ ᮡá⢥ë墥ªâ®à®¢:En = E0n + E1n + 2 E2n + O(3 );n = n + (1)n + 2(2)n + O(3 ): ᫨ ¢ ª ç¥á⢥ ¢¥«¨ç¨ E1n ¨ (1)n ¢§ïâì § 票ï, ©¤¥ë¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® , â® ãà ¢¥¨¥ H^ = E ¯à¨¬¥â ¢¨¤:2 (H^ 0 (2)n + H^ 1 (1) n ) =2 (E0n (2) n + E1n (1) n + E2n n ) + O(3 ):DZ॥¡à¥£ ï ¯®á«¥¤¨¬ á« £ ¥¬ë¬ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨, ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯®¯à ¢ª¨ ª ᮡá⢥®© í¥à£¨¨ ¨ ᮡá⢥®¬ã ¢¥ªâ®àã ¢® ¢â®à®¬ ¯®à浪¥ ¯®¢¥«¨ç¨¥ :(H^ 0 E0n)(2)n = F2;F2 = E2nn + E1n (1)nH^ 1(1)n:á«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠íâ¨å ãà ¢¥¨©, < njF2 >= 0, ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®¯à ¢ªã ª ã஢îí¥à£¨¨:E2n = < n jH^ 1 j(1)n > :DZ®¤áâ ®¢ª £® § ç¥¨ï ¢¥ªâ®à (1)n ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥X j < m jH^ 1 jn > j2E2n =:EEm6=n0n0m¥âà㤮 ¯®ª § âì, çâ® â ª¨¬ ¦¥ ®¡à §®¬ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¯®¯à ¢ª¨ «î¡®£® ¯®à浪 ¯® .
¦¤ë© à § ¡ã¤¥â ¯®«ãç âìáï ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (H^ 0 E0n)(k)n = Fk ;3¢ ª®â®à®¬ äãªæ¨ï Fk ᮤ¥à¦¨â ¢á¥£® «¨èì ¥¨§¢¥áâë© ¯ à ¬¥âà { § 票¥ í¥à£¨¨ Ekn. á«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨ï íâ®â ¯ à ¬¥âà 䨪á¨àã¥â, ¯®á«¥ 祣® 室¨âáï ¨ äãªæ¨ï (k)n. DZ «ãç © ¢ë஦¤¥®£® ᯥªâà £ ¬¨«ì⮨ H^0 âॡã¥â ¡®«¥¥ âé ⥫쮣® «¨§ . DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ®¤¨ ¨§ ¡ §¨á®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ á®áâ®ï¨© ®¡à §ãîâ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë í⮣® £ ¬¨«ì⮨ :H^0 n = E0nn; = 1; :::; sn:DZ®¤áâ ®¢ª ¢ ãà ¢¥¨¥(H^ 0 + H^ 1 )n = Enn¢ëà ¦¥¨©Enn¯à¨¢®¤¨â ª á®®â®è¥¨ï¬= E0n + E1n + O(2 );= n + (1)n + O(2 )^1 n(H^0 E0n)n + ((H^0 E0n)(1)n + HE1n n ) + O(2 )= 0:DZ॥¡à¥¦¥¬ á« £ ¥¬ë¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯® ¨ ¯à¨à ¢ï¥¬ ª ã«î ¯® ®â¤¥«ì®áâ¨á« £ ¥¬ë¥ ã«¥¢®£® ¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪®¢ ¯® .
¢ ãà ¢¥¨ï(H^0 E0n)n = 0¨(H^0 E0n)(1)H^ 1n;n = E1n nª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ¥¢ë஦¤¥®£® ᯥªâà , ¤®«¦ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®¯à ¢ª¨ ª ã஢ï¬í¥à£¨¨ ¨ ª ¢¥ªâ®à ¬ áâ 樮 àëå á®áâ®ï¨©. ¤ ª®, í⮬ è £¥ âॡã¥âáï¯à¥®¤®«¥âì ¥é¥ ®¤ã âà㤮áâì. á«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® ,< n jE1nn > = < n jH^ 1 jn >;¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¢ãâ॥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®, ¯®áª®«ìªã «¥¢ ï ç áâì à ¢¥á⢠¢á¥£¤ ¤¨ £® «ì ¯® ¨¤¥ªá ¬ ¨ , ¯à ¢ ï ç áâì ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ìëå à¥è¥¨©ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ¨ ¥¤¨ £® «ìë¥ á« £ ¥¬ë¥. â®¡ë ¨§¡¥¦ âì¯à®â¨¢®à¥ç¨ï, áä®à¬ã«¨à㥬 ¯à ¢¨«® ¢ë¡®à ¢¥ªâ®à®¢ n á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:¢¥ªâ®àë n ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬(H^0 E0n)n = 0;4¨< n jH^ 1 jn > = h Æ : DZ ä¥à¨ç¥áª¨¥ £ ମ¨ª¨ Ylm ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì á®®â®è¥¨ï¬¨^l3Ylm = mYlm;^lYlm = p(l m)(l m + 1)Yl;m1: ᫨ ^l ॠ«¨§ãîâáï ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë, â® íâ¨ à ¢¥á⢠¬®¦®¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ¯¥à¥áâ ®¢®çë¥ á®®â®è¥¨ï[^l3; Ylm ] = mYlm;p[^l; Ylm ] =(l m)(l m + 1)Yl;m1:⮬㠮¡à §æã á«¥¤ã¥â ®¯à¥¤¥«¨¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢.¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à à £ j { í⮠ᮢ®ªã¯®áâì 2j + 1 ®¯¥à â®à®¢T^jm ;j m j;㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[^j3; T^jm ] = mT^jm ;p[^j; T^jm ] =(j m)(j m + 1)T^j;m1 :¯à ¢¥¤«¨¢ë ¯à ¢¨« ®â¡®à :1)< 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j2 ; m2 > 6= 0; ¥á«¨ m1 6= m + m2 ;2)< 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j2 ; m2 > = < 1 ; j1 jTj j2 ; j2 >< j2 m2 jmjj2jj1 m1 >;£¤¥ < j2m2 jmjj2jj1m1 > { ª®íää¨æ¨¥âë «¥¡è -®à¤® { ᪠«ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ॠ«¨§ãî騥 à §«®¦¥¨¥ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à®¢ J12, J22, J 2, J3 ¯®á®¡áâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à ¬ ®¯¥à â®à®¢ J12, J13, J22, J23:jj1j2jm > =Xm1 m2jj1m1j2m2 >< j1m1j2m2jj1j2jm > :⨬ á®®â®è¥¨ï ¬®¦® ¯¥à¥äà §¨à®¢ âì â ª, çâ®¡ë ¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ª®íää¨æ¨¥âë «¥¡è {®à¤® .
DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à Q^ jm , ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ª®â®à®£® < 1; j1; m1 jQ^ jm j2; j2; m2 > ¥ à ¢ë ã«î. í⮬ á«ãç ¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« < 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j2 ; m2 > = C (1 ; 2 ; j1 ; j2 ) < 1 ; j1 ; m1 jQ^ jm j2 ; j2 ; m2 > :5ãé¥á⢥®, çâ® ¯®¤®¡ë¥ á®®â®è¥¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¨ ¤«ï ¤¥ª à⮢ëå á®áâ ¢«îé¨å ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢.¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à ã«¥¢®£® à £ T^ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J^; T^] = 0;ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à¨ïâë¬ à ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᪠«ïà .¥ª à⮢ë á®áâ ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®à A 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J; A ] = i A :ਠ¢¥«¨ç¨ëT^1; 1 = b(A^1 iA^2 );T^1;0 = dA^3 ;T^1;1 = c(A^1 + iA^2 )㤮¢«¥â¢®àïîâ ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J3; T^1m ] = mT^1m :å ¬®¦® áç¨â âì á®áâ ¢«ïî騬¨ ¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ⥧®à ¯¥à¢®£® à £ ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë á®®â®è¥¨ï[J^+; T^1;0] =d^Tc 1;1d(A^1 + iA^2 ) ==p(1 0)(1 + 0 + 1)T^1;1;pd^[J^+; T^1; 1] = 2ibA^3 =T1;0 =(1 + 1)(1 1 + 1)T^1;0:câ¨ à ¢¥á⢠¯®§¢®«ïîâ ᢥá⨠ª®íää¨æ¨¥âë b ¨ c ª d:T^1;1= pd (A^1 iA^2 );2T^1;0= dA^3 ;T^1;1=pd (A^1 + iA^2 ):2c®íää¨æ¨¥â d 㤮¡® ¢ë¡à âì â ª¨¬, ç⮡ë ä §ë ⥧®à®¢ T^1m ᮢ¯ «¨ á ä § ¬¨áä¥à¨ç¥áª¨å £ ମ¨ª Y1m .
¥¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ £ ମ¨ª¨ ¡ë«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë ä®à¬ã«®©Ylm (~n) =sm+2 m l 2l + 1 (l jmj)! ^jmjiPl (cos)eim ;( 1)4 (l + jmj)!jj¯®í⮬㠥áâ¥á⢥® ¢ë¡à âì ®¯à¥¤¥«¥¨¥= pi (A^1 iA^2 ); T^1;0 = iA^3 ; T^1;1 = pi (A^1 + iA^2 ):22c¥ª à⮢ ⥧®à ¢â®à®£® à £ ¬®¦® ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ¯®¢®à®â®¢ à §¡¨âì ᨬ¬¥âà¨çãî ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çãî ç áâ¨:1 (A + A ) + 1 (AA =2 2 A):6T^1;1â¨á¨¬¬¥âà¨ç ï ç áâì ᢮¤¨âáï ª ¢¥ªâ®àã, â.¥.
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥¯à¨¢®¤¨¬ë©â¥§®à ¯¥à¢®£® à £ . ¨¬¬¥âà¨çë© â¥§®à ¢â®à®£® à £ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ä®à¬¥11A = Æ T rA + A33 Æ T rA :DZ®áª®«ìªã á«¥¤ ⥧®à ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯®¢®à®â å, â® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᪠«ïà, ¢â®à®¥ { ᨬ¬¥âà¨çë© â¥§®à ¢â®à®£® ¯®à浪 á ã«¥¢ë¬á«¥¤®¬ { ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ïâìî ç¨á« ¬¨ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¤¥ª à⮢ ¥¯à¨¢®¤¨¬ë©â¥§®à ¢â®à®£® à £ . ¥âà㤮 ©â¨ ï¢ë¥ ä®à¬ã«ë, ¯¥à¥¢®¤ï騥 ¤¥ª à⮢ë á®áâ ¢«ïî騥 ¢ á®áâ ¢«ïî騥 T^2;m:T2;0 =r3 T ; T = (T iT ); T = 1 (T T 2iT ):13232;2122 33 2;12 11 22XT = T ;T = 0:⨠ᮮâ®è¥¨ï ®á®¡¥® 㤮¡ë, ¥á«¨ ⥧®à Q^ jm ¯®áâ஥ ¨§ á®áâ ¢«ïîé¨å®¯¥à â®à ¬®¬¥â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥¨ï.
DZ०¤¥ 祬 ¯à¨¢¥á⨠ï¢ë¥ ä®à¬ã«ë, § ¬¥â¨¬, çâ® ®¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë «¨èì ¯à¨ j1 = j2, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯à ¢ ïç áâì à ¢¥á⢠⮦¤¥á⢥® à ¢ ã«î (¢ ᨫ㠯¥à¥áâ ®¢®çëå á®®â®è¥¨©[J~2; J] = 0).1) ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à ã«¥¢®£® à £ T^ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J^; T^] = 0;ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à¨ïâë¬ à ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᪠«ïà . ª ç¥á⢥ ⥧®à Q^jm ¬®¦® ¢§ïâì ¥¤¨¨çë© ®¯¥à â®à E^ , ¯®í⮬ã< 1 ; j; m1 jT^j2 ; j; m2 > = C (1; 2 ; j ) < j; m1 jE^ jj; m2 > =7C (1; 2 ; j )Æm1 m2 :.