Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Лабораторная работа #4. МРПР

Лабораторная работа #4. МРПР (Лабораторные работы)

Описание файла

Файл "Лабораторная работа #4. МРПР" внутри архива находится в папке "Лабораторные работы". PDF-файл из архива "Лабораторные работы", который расположен в категории "лабораторные работы". Всё это находится в предмете "вычислительная гидрогазодинамика (численные методы мжг)" из девятого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лабораторные работы", в предмете "вычислительная гидрогазодинамика (численные методы мжг)" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Лабораторная работа №3Маршевый алгоритм линеаризованного метода ГодуноваМетод Годунова, так же называемый методом распада произвольногоразрыва представляет собой один из явных консервативных методов решениягазодинамических задач. Отличительной особенностью метода является то,что для аппроксимации значений параметров на границе между соседнимиячейкамииспользуетсяаналитическоерешениезадачиораспадепроизвольного разрыва []. Данный прием обеспечивает сравнительновысокую (для явных методов) устойчивость алгоритма.ОригинальныйметодГодуноваобладаетдостаточносложнымалгоритмом, однако для задач с умеренными перепадами параметров наразрыве (т.е.

в данном случае между двумя ячейками) может быть записанупрощенный – линеаризованный метод Годунова, отличающийся простотойи малой ресурсоемкостью, при этом практически не теряющий достоинствустойчивости полного метода для широкого спектра практических задач.Именно этот линеаризованный метод будет рассмотрен ниже.Рассмотрим задачу одномерного течения воздуха в трубопроводе.Физические константы воздуха можно принять равными:теплоемкость при постоянном давлении:cp = 1005,55 Дж/(кг·К);теплоемкость при постоянном объеме:сv = 718,25 Дж/(кг·К);газовая постоянная:R = 287,3 Дж/(кг·К);показатель адиабаты:k = 1,4.Для организации расчета трубу длиной L разбивают на m ячеек.Тогда шаг расчета по координате х, т.е. линейный размер x расчетнойячейки составитx L.m(%ф+1%)11Наряду сдискретизациейрасчетнойобластипопространствунеобходимо провести дискретизацию по времени, т.е.

выбрать шаг расчетапо времени t. Критерием выбора шага по времени является возможностьпроведения устойчивых вычислений. Для рассматриваемого алгоритма шагпо времени должен быть таким, чтобы значение сеточного числа Куранта непревосходило 0,5:Co  a t 0,5 ,x(%ф+2%)где а – скорость звука.Однако в зависимости от используемого метода, особенностейреализации алгоритма, специфики граничных условий и решаемой задачидиапазон устойчивой работы метода может отличаться, поэтому принаписании и отладке программы рекомендуется задаваться меньшимзначением числа Куранта в диапазоне 0,1 – 0,3.Расчетный алгоритм метода Годунова определяет способ нахожденияиз известных параметров газа в момент времени t, параметров на моментвремени t+Δt.

Повторяя его необходимое количество раз, может бытьполучен процесс развития течения во времени.Параметры газа представляют собой функции дискретного аргументаfi n , где нижний индекс i обозначает порядковый номер ячейки втрубопроводе, а верхний индекс n – номер шага по времени. Границы ячеекнумеруются дробными индексами, например, давление на правой границеячейки i будет обозначено как pi+1/2.Для организации расчета должны быть заданы начальные и граничныеусловия.В качестве начальных условий необходимо назначить распределениевсех расчетных параметров по всем ячейкам m первого временного ряда вмомент времени t = 0.Например: v01=... v0i ...= v0m = 0 м/с, р01=...

р0i ...= р0m = 100000 Па,Т01=... Т0i ...= Т0m = 300 К,  = p/RT = ρ01=... ρ0i ...= ρ0m = 1,160 кг/м3.12Граничные условия представляют собой соотношения, определяющиеизменения параметров газа в ячейках, не имеющих необходимого числасоседей, т.е. на границе расчетной области. В данной лабораторной работебудет рассмотрено простейшее граничное условие типа «закрытый конецтрубопровода».

Граничное условие, соответствующее открытому концубудет рассмотрено в следующей лабораторной работе.Расчет выполняется последовательно от 1 до m ячейки. Сначала длявсех ячеек определяются объемные параметры в исходный (начальный)момент времени t0 = 0: полная (т.е. не удельная) массаM i0   i0V ,(%ф+3%)полное количество движенияK i0  M i0 vi0 ,(%ф+4%)и полная энергияE i0  M i0 ei0 .(%ф+5%)В общем случае параметрыобъемные параметрыМ0i, К0i, Е0iv 0i ,р0i, Т0i , ρ0i и, соответственно,могут быть во всех ячейках рядаразличными, т.е. будем иметь дискретное распределение параметров подлине трубы.

Тогда труба может быть представлена в виде отдельныхобъемовΔх, заполненных газом с разными параметрами, и которые пограницам разделены перегородками (мембранами).Таким образом, имеющееся на практике гладкое распределениепараметров по длине заменяется разрывным, на каждой из границ имеетсяпроизвольный разрыв параметров.В каждый из расчетных моментов времениtn, в том числе и вначальный момент, когда tn = t0 = 0, происходит как бы мгновенноеразрушение всех мембран. В результате на границах между ячейками(дискретными объемами) происходят распады произвольных разрывов (РПР).На каждой из границ образуются две элементарных волны, фронты которыхраспространяются один —вдоль С+ -характеристики, идущей от точкиразрыва (границы) вправо вперед, другой —вдоль С- -характеристики,13идущей от точки разрыва влево назад (рисунок 2).Если, например, давление в i - ячейке в n - момент времени былобольше давления в i+1 - ячейке, а скорости были равны нулю, то в этотмомент времени от границы i+1/2 влево, внутрь ячейки i, пойдет волнаразрежения, а вправо, внутрь ячейки i+1, - волна сжатия.Рисунок 2 – Образование элементарных волн при РПРВ соответствии с теорией нестационарного течения, при переходахчерезфронтыэлементарныхволнвыполняютсязаконысохраненияинвариантов Римана.

Так при переходе через фронт, идущий слеванаправо, т.е. вдоль С+ характеристики, будет оставаться постоянныминвариант Римана r- с выполнением соотношенияdp  adv  0 .(%ф+5%)При переходе же через фронт, идущий справа налево, т.е. вдоль С- —характеристики, будет оставаться постоянным инвариант Римана r+ свыполнением соотношенияdp  adv  0 .(%ф+6%)В конечных разностях будем иметь соответственно:pin1  pi 1/ 2  a c vin1  vi 1 / 2   0 ;(%ф+7%)pi 1 / 2  pin  a c vi 1 / 2  vin   0 ,(%ф+8%)где14nnnna c  ai 1 i 1  ai  i -(%ф+9%)2осредненное значение произведения плотности и скорости звукаa  kRT  kp /  для решения задачи РПР на i+1/2 границе.Изсистемыуравнений(%ф+7%)-(%ф+8%)легковыразить«потоковые» давление и скорость через границу i+1/2 при РПР:pi 1 / 2 v i 1 / 2pin  pin1v n  vin1 (a ) c i;22(%ф+10%)vin  vin1 pin  pin1.22 ( a ) c(%ф+11%)Для определения потоковой плотности используются зависимости 1 p i 1 / 2   in 1   i 1n/ 2  1 k  piпри 1 p i 1 / 2   in1 1   i n1 / 2  1 k  p i 1приv i 1 / 2  0 ;(%ф+12%)vi 1 / 2  0 ,(%ф+13%)которые представляют собой линеаризацию адиабатных соотношений.Удельнаяполнаяэнергиянаграницесвязанасостальнымипараметрами газа через уравнение состояния.

Для всех границ междуячейками она может быть определена как2ei 1 / 2pi 1 / 2v i 1 / 2 .2(k  1)  i 1 / 2(%ф+14%)Для расчета на левой границе трубопровода из (%ф+7%) будем иметь:v1/ 2  v1n  ( p1n  p1/ 2 ) / a1n 1n .(%ф+15%)Это уравнение должно быть дополнено граничным условием. Длязакрытого конца трубопровода, очевидно, должно выполняться соотношениеv1/ 2  0 .(%ф+16%)Для расчета правой границы последняя ячейка расчетной области будетиметь индекс m, а узел непосредственно на границе - m+1/2.

При РПР наэтой границе налево вдоль С-- характеристики пойдет элементарная простая15волна, при переходе через фронт которой инвариант r+ остается постоянным,и из уравнения (%ф+8%) можно получить в конечных разностях:pm 1/ 2  pmn  a mn  mn vm 1/ 2  v mn   0 .(%ф+17%)Если конец трубы закрыт, то, очевидно, vm+1/2 = 0. Это положениепозволяет определить давление на границе:pm 1/ 2  pmn  a mn  mn vmn ,(%ф+18%)Затем: 1 p m 1/ 2   mn 1   m n1 / 2  1  . k  pm(%ф+19%)Здесь также можно отметить, что формула (%ф+17%) отражает тотфакт, что при подходе к закрытому концу волны сжатия (т.е.

когда в данномслучае vm > 0) давление на границе в результате РПР возрастает, а приподходе волны разрежения (vm < 0) упадет ниже первоначального рmn.Обратимся теперь к интегральным уравнениям для массы, количествадвижения и энергии в ячейке. Решая задачу без диссипативных членов, т.е.пренебрегая вязким трением и теплообменом для каждой ячейки можнозаписать:M in 1  M in  M i 1/ 2  M i 1/ 2 ;(%ф+20%)K in1  K in  K  I i 1 / 2  K  I i 1 / 2 ;(%ф+21%)Ein1  Ein  E  L i 1 / 2  E  L i1 / 2 .(%ф+22%)Эти уравнения показывают, что в трубе с постоянной площадьюпроходного сечения объемные параметры: полная масса газа, полноеколичество движения и полная энергия объеме i - ячейки за расчетный шагпо времени t, т.е.

между tn и tn+1 временным слоями численного расчетаизменяются за счет потоковых параметров на левой (i-1/2) и правой (i+1/2)границах ячейки. Т.е. при положительном значении скоростей через левуюграницу прибудет массаМi-1/2 = (ρv)i-1/2Δt·F, количество движения Кi-1/2 =(Мv)i-1/2 и энергия Еi-1/2 = (Ме)i-1/2, через правую границу произойдут16соответствующие вычитания Мi+1/2 = (ρv)i+1/2Δt·F, Кi+1/2 = (Мv)i+1/2 и Еi+1/2 =(Ме)i+1/2.Кроме этих составляющих на изменение количества движения посравнениюсисходнымзначениемокажетвлияниеположительноевоздействие импульса силы давления на левой границе Ii-1/2 = pi-1/2Δt·F иотрицательное - воздействие импульса силы давления на правой границе Ii+1/2= pi+1/2Δt·F.

На изменение энергии по сравнению с исходным значениемокажет влияние положительная работа, совершенная силой давления налевой границе Li-1/2 = (pv)i-1/2Δt·F,и отрицательная работа, совершеннаясилой давления на правой границе Li+1/2 = (pv)i+1/2Δt·F.После определения объемных параметров М, К и Е в n+1 моментможно определить и основные газодинамические параметры в этот момент:n 1iM in 1;F  xvin 1 Tin 1(%ф+23%)K in 1;M in 11cv(%ф+24%) Ein 1 vin 1 2  n 1 ;2  M i(%ф+25%)pin 1  R in 1Ti n 1 .Очевидно,из(%ф+26%)последнихдвухформулможновыразитьнепосредственно:pn 1i k  1n 1i Ein 1 vin 1 2  n 1 .2  M i(%ф+27%)После завершения расчета по всем i – ячейкам ряда, необходимоперейти к следующему временному слою, заменив верхние индексы n+1всех параметров на n, и так далее, переходя к последующим рядам вплоть доокончания назначенного расчетного времени.Расчет временного ряданачинаетсясопределенияпотоковыхпараметров при входе через левую границу (%ф+15%), (%ф+16%).

Далееследует расчет внутри расчетной области по формулам (%ф+9%)–(%ф+14%)17по всемi, наконец, правая граница (%ф+17%)–(%ф+19%).Затемопределение объемных параметров:M in  in  F  x ;(%ф+28%)K in  M invin ;(%ф+29%)Ein  M inein ,(%ф+30%)гдеnie  cvTiРасчетnv ni22.(%ф+31%)можетбытьорганизовантемпературы. Поскольку T pp,R cv (k  1) вообщебезиспользования 2p inv ine .(k  1)  in2ni(%ф+32%)Затем следует повторение балансовых расчетов (%ф+20%)-(%ф+22%).Задание 1.1.Инициализировать статические массивы для параметров газав ячейках и на границах ячеек.2.Задать начальные условия задачи: от левого конца трубы досередины – p=1,0 бар, Т=300 К, v=0 м/с; от середины доправого конца трубы - p=1,4 бар, Т=300 К, v=0 м/с.3.Исходя из числа Куранта 0,3 определить шаг по времени длярешения задачи.4.Задать цикл по времени продолжительностью 30 шагов.5.Внутри цикла по времени написать алгоритм расчетапараметров газа на границах между ячейками в соответствии ссоотношениями (%ф+9%)-(%ф+19%).6.Внутри цикла по времени написать алгоритм измененияпараметров газа в ячейках в соответствии с соотношениями(%ф+20%)-(%ф+22%).187.Вывести в файл поле давления в трубе на моменты времени,соответствующие 5, 15 и 30 шагу по времени.

Построитьсоответствующие графики.8.Вывести в файл изменения скорости в центральной ячейкетрубы от времени. Построить соответствующий график.19.