ДЗ №1 ТФКП (Условия ДЗ)

ДЗ № 1 «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО».Набор задач №1.Задача 1. Найти значения заданных выражений.Задача 2. Заштриховать на рисунке множество точек плоскости z, определяемоезаданными неравенствами. Границы множества, ему принадлежащие, вычертитьсплошными, линиями, а ему не принадлежащие, - пунктирными линиями.Задача 3. Вычислить значение функций при заданном значении аргумента.Задача 4. Проверить, будет ли регулярна заданная функция. Для регулярной функциинайти производную, используя формулуf ' z  u vix xx  z ; y 0Задача 5.

Установить, может ли данная функция служить вещественной или мнимойчастью некоторой регулярной функции, и если может, то восстановить эту регулярнуюфункцию в виде f  z  .Убедиться, что найденная функция регулярна и удовлетворяет заданному условию.В условии задачи: через u  x, y  обозначается вещественная, а через v  x, y  - мнимая частьискомой регулярной функции.Задача 6. Определить круг сходимости заданного степенного ряда. Сходится ли ряд взаданных точках z1 , z2 , z3 ? Сходится ли заданный степенной ряд в крайних левой, правой,верхней и нижней точках круга сходимости.

Если сходится, то как - абсолютно илиусловно? Сделать рис.Задача 7. Найти все разложения заданной функции по степеням заданной разности  z  a  .Указать области пригодности каждого из разложений.Задача 8. Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найтивычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно удаленная точка,и найти вычеты в ней.Задача 9.

В вар.1-15 вычислить интеграл при помощи теорем о вычетах.Варианты 16-30 задачи №9, заданные в таблице к этой задаче, использовать как условиезадачи №10 (см. ниже). В вар.16-30 вычислить интеграл при помощи формулы Коши илиее следствия.Задача 10. К своему номеру по журналу прибавляете число15. Полученное числосоответствует варианту (с 16 по 30) задачи 9; условие этого варианта и следует считатьусловием задачи №10. В вар.16-30 вычислить интеграл при помощи формулы Коши или ееследствия.1№ Вариант 1№ Вариант 21 z1  1  i  3; z2  3  i1 z1  1  i; z2  3  i223456z Найти: а) z1  z2 ; б)  1  ; в) 3 z2 z2  z  1  1 z  1  1tg   i  ; ln  2  3i 4 1f z 1 zu  x, y   sin y  ch x2 n 1 z  1 2n   n  ln n n 1z1  2i; z2  3i;z3  2  i789f z f z C1по степеням  z  1z  z  12ezz2dzz2 1222контур C : z  i  1Найти: а) z1  z2 ; б)2  z  2  2 z  4  432 i ch  2  i  ; e 32 4f  z   sin  z  45 v  x, y   cos y  ch x6   z  1  i 2n 3n n2  n ln n z1  0; z2  3  1  i;n 1z3  2  i7zf z  2по степеням  z  2 z  5z  48shzf z 2z2   29Cdz3z2 1контур C : z  1  1№ Вариант 3№ Вариант 41 z1  1  i  3; z2  2  i  31 z1  2  2i; z2  1  3iz12Найти: а) z1  z2 ; б) ; в) 3 z12z22  z 1  2   arg z 4 4Re z  33sin   2i  ; Ln  3  4i 34 f  z   ln 1  z 5 v  x, y   e x  ch yn6  z 1 i 2n   n  1  ln  n  1z1; в) 4 z12z22z Найти: а) z1  z2 ; б)  1  ; в) 3 z14 z2 2  z  2 1Re z  1.5Im z  0.5231 i  th 1  i  ; e 32 41f z 1 z5 u  x, y   e x  sin y2 n 16  z  2i  n  12 ln  n  1n 1n 1z1  0; z2  3  i; z3  1  3iz1  0; z2  3i; z3  1  2i278f z f z 9z2z2 2z  5по степеням  z  128sin z2z   z  1 dz контур C : z  2222793z 1№ Вариант 51 z1  3  2i; z2  2  2if z z2z2231z e dz контур C : z  4CCНайти: а) z1  z2 ; б)по степеням  z  4z 4chzsin zf z № Вариант 61 z1  7  i; z2  3  3i21z; в) 5 z24z2Найти: а) z1  z 22; б)2  z 1z 2  z 2 2 3Im z  03cos   i  ; ln  3  i 6 4 f  z   ch  z  2 5 v  x, y   e y  sin x2  z  1  1  Re zRe z  26( z  1  2i ) n 2n  (n  1)  ln 2 (n  1)n 1z1  0; z2  1  2i; z3  167f z 3 i sh 1   ; e0.5  i44 f  z   ln 1  z 5 u  x, y   e  y  cos xzпо степеням zz2  18cos zf ( z)  2( z   2 )3912 z  sh z dz контур C : z  2C№ Вариант 71 z1  5  5i; z2  2  in2n    ( z  1  i)53     n z1  0; z2  2  i;n 1n  sin2z3  1  i271f z по степеням  z  1z z2  1z2  4f ( z)  2( z  3 z  2) 291 z  cos z dz контур C : z  2C8№ Вариант 81 z1  4  4i; z2  4  3i2z Найти: а) z1  z ; б)  1  ; в) 4 z1 z2 2 z2  z2 2 3Re z  3Im z  022z1; в) 3 z22z2Найти: а) z1  z 2 ; б)z1; в) 5 z12z22 z2 2 z 1  1 z  3 1Im z  0335 u  x, y   e y  sh xn632n    ( z  2i )4   n  ln nn 17f z z38f ( z) 92z1  0; z2  2i;3 2z3   2 i 3 6 z 2  12 z z  122по степеням  z  2 2z  3z  2 z  1 dz z 1 0.5 i 2ch 1   ; e44 f  z   e1 z5 v  x, y   sh y  sin x6z4C79контур C : z  222n 2i    n  1  arctg n z1  0; z2  3i; z3  2  i23( z  i)nn 18i3ctg   i  ; ln  2  2i 3 4 f  z   sh  z  1f z f ( z) C1по степеням  z  1z  z  2ei zz2 2e z  dzz212контур C : z  1  12№ Вариант 9№ Вариант 101 z1  2  2i  3; z2  3  2i1 z1  2 3  2i; z2  1  i 32z Найти: а) z1  z2 2 ; б)  1  ; в) 3 z12 z2 2 z2  z2 2 30  arctg z 63sin   i  ; ln  5  12i 2 4 f  z   e z25 v  x, y   ch x  sh y6 ( z  1  2i ) 2 n (4i)n (n  1)n 1Найти: а) z1  z 22; б)2  z  i  1  Im z  02  Re z  2f ( z) 1i cth  1   ; e 334f  z   cos  z  45 u  x, y   sh x  sin y6 ( z  2  i )2 n1 3nln(n  1)8zпо степеням ( z  2)( z  4) 223f ( z)  z  e9C1z2eiz dzконтур C : z  2z2  1i3n 0z1  0; z2  1  2i; z3  17z2; в) 5 z13z1 (n  1)2 ln 2 (n  1)z1  0; z2  2  2i; z3  2  i73 11по степеням ( z  3)( z  2) 281f ( z )  z 3  cos 2z9ch zdz z 2   2 2 контур C : z   i  Cf ( z) 4№ Вариант 11№ Вариант 121 z1  4  4i; z2  3  2izНайти: а) z12  z2 ; б) 2 ; в) 5 z13z11 z1  3  3i; z2  2  i2  z  1  i  2Re z  Im z  12 z 2  z 2 2 z  1  1i31i sh  2   ; e 4241f z 1 z5 v  x, y   sh 2 x  cos 2 y3cos   3i  ; ln  4  3i 24f  z   e z 15 u  x, y   e2 x  sin 2 y6 ( z  1  2i ) nn 16(2i )n (n  1)3  2n ln nz1  0; z2  1  2i; z3  1  4i71f ( z) по степеням ( z  1)z ( z  2)81f ( z )  z 5  sin 2z9Cz12Найти: а) z2 ; б) ; в) 3 z1z23sin zdz2 2контур C : z 21z4 № Вариант 131 z1  4  3i; z2  1  7iНайти: а) z12  z2 б)7n3n   ( z  2i )282 n 1  sin n z1  1; z2  3  2i; z3  3 in 0f ( z) 1по степеням ( z  1)( z  1)( z  2)31z8e1 zln zdzf ( z) 9Cz212контур C : z  i 12№ Вариант 141 z1  5  12i; z2  2  2iz2; в) z1  z2z12 0  z  2  z  2  2 z  3  z  3  43tg   2i  ; ln  3  3i 64f  z   ln( z  1)5 v  x, y   ch 2 x  cos2 yНайти: а) z1  z 22; б)z1; в) 4 z232z22  z  i  Im z  1z2  z2 2 5Im z  2330.5  ii 4sh  2   ; e424 f  z   ez5 v  x, y   sh 3 x  sin 3 y56(2i ) n ( z  1) 2 n1ni3z1  0; z2  1 ; z3  227cos zf ( z) по степеням ( z  )4( z  )24811f ( z)  sin1 zz9ln( z  1)dz ( z 2  1)2 контур C : z  1  1Cn 1i n (3i  z ) n 3n (n2  1)n 1z1  0; z2  3  3i; z3  i7f ( z )  ( z  1) 2 sin 2n  1  arcsin№ Вариант 15167 24i; z2  5  5i5 5zНайти: а) z1  z2 2 ; б) 2 ; в) 3 z2z1z1 2 z 2  z 2 2 z  1  1  Re zIm z  03cos   3i  ; ln  2  4i 24 f  z   ( z  1) 25 u  x, y   e2 y  sin2 x6  (1)n ( z  1  i) 2 n889f ( z) C3 по степеням  z 34 3 z4 sin z11  z cos zdzz 2  ( z   )2№ Вариант 172e1zf ( z) 2z zНайти: а) z1  z2 ; б)  1  ; в) 3 22 z2 2  z  i  Im z  1arg z 4Im z  2130.1  i i e 2 ; cth 1  441f z 1z2 y5 v  x, y   e  cos 2 x6  ( z  2  2i )n4n n n  1z1  0; z2  3  i; z3  1  if ( z) 3n n3  1z1  0; z2  2  i ; z3  1  3in 137 sin z f ( z)   по степеням z z Воспользоваться тождеством:sin 3 z  3sin z  4sin 3 z8 1  1 ezf ( z)  2 1  z 29 z  a   e z  sin  zdz контур C : z  a  1zaC№ Вариант 18контур C : z    41по степеням ( z  1)z 111 sh1 zzz9e dz z ( z  1)3 контур C : z  1  2C№ Вариант 161 z1  3  4i; z2  4  4in 1761 z1  1  i 3; z2  2 3  2izНайти: а) z12  z2 б) 2 ; в) 3 z1  z2z11 z1  2 3  2i; z2  3  3i 32  z 2  1  1Re z  02  z 1  i  1 z 1  i  1 z 1  13i ch  2   ; e 2(1i )64 f z  1 z 33sin   i  ; ln  3  i 6 41f z z 15yu  x, y   arctgxn6(1) ( z  1  i )2 n 9n n  1n 1z1  0; z2  2  i; z3  1  2i78f ( z) 1по степеням zz ( z  2)11 sinzz 139z dz ( z  1)3  ( z  2) контур C : z  2  2Cf ( z) 2№ Вариант 191 z1  3 3  3i; z2  1  i 33zНайти: а) z1  z2 2 б) 2 ; в) 3 z12z12  z  1  1  Re z z  1  z  1  2 23 i 1 i th 1   ; ln 31 i 4f  z   sin  2 z  435 v  x, y   x  3 xy 26n 1( z  i 3)2 n133n (n  1)ln 2 (n  1)z1  0; z2  3(1  i ); z3  1Найти: а) z1  z2 ; б) z12; в) 4 z22z25 v  x, y    ln( x 2  y 2 )6n 1(i )n ( z  i 2) 2 n2n 3 n 2  n ln nz1  0; z2  2(1  i ); z3  17zf ( z) по степеням  z  132z 18z1 ch2z1 z29z  1 dz z 2 ( z  2)2 контур C : z  1C№ Вариант 201 z1  4  4i; z2  2  3if ( z) 2z Найти: а) z1  z22 ; б)  2  ; в) 5 z13 z1 2  z2  1  1 z  2  23(1i )sin(  2i ); e 224zf  z   lnz5yu  x, y   2x  y26  (1)n ( z  1  i ) 2 n1 2n (n  1)ln(n  1)n 1z1  0; z2  1  i; z3  1  2i7789f ( z) 1по степеням zz3  z7f ( z) z1coszz2  18Cz 3dz( z  1)3  ( z  2)контур C : z  1  291по степеням  z  2 z z2  4f ( z) f ( z) 11  z eiz dz 1  z2C2 sh1zконтур C : z  i  18№ Вариант 21№ Вариант 221 z1   2  i 2; z2  8  i 81 z1  4  3i; z2  3  4i21Найти: а) z  z22  z  i  1  Im z z  i 2  z  i 2  23 2i ch  2   i  ; ln 2i4f  z   z2  z25v  x, y  6xx  y22niiz12 2n (n  1) ln(n  1)n 13iz1  0; z2  1  i; z3  1 227sin 2 zf ( z) по степеням z 28z8811f ( z)  cos2z1  z eiz 1  z 2 dz2z б)  2  ; в) 3 z1  z2 z1 Найти: а) z1  z222 z  z  Re z 20  arg z 4 z 1  13 (1 2 i )ctg   2i  ; e 2441f z  z z5x2  y 2v  x, y  2x2  y 2 n92zб) 2 ; в) 3 z2 2z161 z№ Вариант 231 z1  7  24i; z2  24  7iCНайти: а) z1  z2 б)2  z  1  1  Re z z  1  z  1  2 231 i1  2ish; ln21  2i41f z  z zzz1; в) 5 1z2z2 4nn 0n( z  2  3i ) 2 n (n  1)  ln (n  1) 2z1  2  i; z2  4  3i; z3  1  2i789контур C : z  i  1 1f ( z) f ( z) C1по степеням z z  1 z 2  411  z sh z dzz2222 sin1zконтур C : z   i  № Вариант 241 z1  2  i; z2  1  2i2Найти: а) z1  z22z zб)  1  ; в) 4 2z1 z2 2  z i 5  z i 5  4arctg 2  arg z    arctg 2331  i  2icos; e 424 f z  z  z95678u  x, y   x2 y226( z  1  2i ) 2 n1 5n (n  1)ln 3 (n  1)n 1z1  0; z2  1  i; z3  1f ( z) cos 2 zпо степеням z C2 2z 4 2контур C : z (1)n ( z  2  2i )nn 13 1   nz1  0; z2  1  2i; z3  5  i71f ( z) по степеням z z  1 z 2  48821nsin 2 z dzn 1z 811f ( z)  cos2zz 1 z95 u  x, y   3 x 2 y  y 32 xy9f ( z) C11 ch2zz 1 ztg z dzz 43контур C : z 4 0.510.