Экзаменационная программа для ИБМ, МТ, РК

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММАпо курсу «Математический анализ»1 курс 1 семестр (для факультетов МТ, РК и ИБМ) 2011 -12.Модуль 1. Элементарные функции, пределы и непрерывность1. Множество R действительных чисел, Сформулировать аксиому полноты и принципвложенных отрезков. Промежутки; окрестности конечной точки и бесконечности.2. Ограниченные и неограниченные множества в R. Определение точных верхней и нижнейграней множества. Доказать их существование. Сформулировать теорему о точных гранях.Привести примеры.3. Функция и ее график. Понятия композиции функций и обратной функции. Привести примеры.Определение четных, нечетных и периодических функций, свойства их графиков.

Примеры.Определение функции: (а) монотонной; (б) ограниченной на данном промежутке.4. Основные (простейшие) элементарные функции, их свойства (области определения изначений, монотонность, четность-нечетность, периодичность) и графики. Класс элементарныхфункций. Примеры неэлементарных функций.5. Числовая последовательность. Определение предела последовательности, его геометрическаяинтерпретация.

Сходящиеся последовательности. Сформулировать основные свойства пределапоследовательности: предел постоянной, единственность предела, ограниченность сходящейсяпоследовательности (необходимое условие сходимости), теорема Вейерштрасса (достаточноеусловие сходимости последовательности). Доказать два из них.6. Определение числа «е» (сформулировать теорему о существовании соответствующего пределапоследовательности). Определение гиперболических функций, их простейшие свойства играфики. Основные тождества, связывающие гиперболические функции.7. Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента.Расшифровка определения и геометрическая интерпретация предела для случаев:x → a , x → a + , x → a − , x → ∞ , x → +∞ , x → −∞.

Связь между пределами функции приодносторонних и двустороннем стремлении аргумента.8. Сформулировать теоремы о пределе функции: (а) о единственности предела;(б) о замене переменной в пределе (о пределе сложной функции), доказать одну из них.9. Сформулировать теоремы о локальных свойствах предела функции: (а) о локальнойограниченности функции, имеющей предел; (б) о локальной знакоопределенности функции,имеющей предел, отличный от нуля (о сохранении функцией знака своего предела). Доказатьодну из них.10.

Сформулировать теоремы: (а) о предельном переходе в неравенстве; (б) о пределепромежуточной функции. Доказать одну из них.11. Определение бесконечно малой функции при данном стремлении аргумента, расшифровкадля конкретных стремлений. Доказать теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малойпри некотором стремлении аргумента.

Сформулировать свойства бесконечно малых функций.Доказать два из них: теорему о сумме бесконечно малых и теорему о произведении бесконечномалой на локально ограниченную.12. Сформулировать арифметические теоремы о пределах (предел суммы, произведения ичастного двух функций). Доказать две из них.13. Определение бесконечно большой функции при данном стремлении аргумента. Расшифровкаи геометрическая интерпретация для конкретных стремлений. Доказать теорему о связибесконечно большой и бесконечно малой функций.14. Доказать теорему о «первом замечательном пределе». Сформулировать ее следствия.Доказать два из них.15.

Сформулировать теорему о «втором замечательном пределе» и ее следствия. Доказать два изних.16. Сравнение функций при данном стремлении аргумента, определение отношений «~» «омалое» и «О-большое», примеры. Сформулировать теоремы об эквивалентных функциях(свойства отношения эквивалентности). Доказать две из них. Определение порядка малости (илиЭкзаменационная программа по математическому анализу. 1 курс, 1 семестр, 2011/12.2роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента. Привестипримеры.17. Записать и вывести эквивалентности (при x → 0 ) для функций: sin x, tg x, arcsin x , arctg x ,xa1 − cos x , a − 1, log a (1 + x ), (1 + x ) − 1, а также для многочлена P(x) при x → 0 и x → ∞ (т.е.

длякаждой из этих функций указать эквивалентную ей функцию вида C ⋅ x k ). Применениеэквивалентностей для вычисления пределов. Примеры.18. Определение непрерывности функции в точке, равносильные формулировки. Односторонняянепрерывность в точке, ее связь с (обычной) непрерывностью в точке. Доказать теорему опереходе к пределу под знаком непрерывной функции. Сформулировать теоремы онепрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Доказать одну изних. Доказать теорему о непрерывности композиции двух непрерывных функций.Сформулировать теорему о непрерывности основных элементарных функций и теорему онепрерывности элементарных функций. Доказать непрерывность многочлена и функции sin x.Сформулировать локальные свойства функции, непрерывной в точке х0: (а) локальнаяограниченность; (б) локальное знакопостоянство (если f ( x0 ) ≠ 0 ).

Доказать одно из них.19. Определение функции, непрерывной на интервале, полуинтервале, отрезке. Сформулироватьтеоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке. Привести примеры, иллюстрирующиесущественность условий в формулировках этих теорем. Сформулировать теорему онепрерывности функции, обратной к монотонной и непрерывной функции.20. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

Примеры.21. Определение асимптоты графика функции. Виды асимптот. Критерий существованиягоризонтальной и вертикальной асимптот. Вывести формулы для вычисления коэффициентовуравнения наклонной асимптоты.Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной22. Определение производной функции в точке, ее геометрический, механический (илиобщенаучный) и экономический (для факультета ИБМ) смысл. Определение касательной инормали к графику функции. Уравнения касательной и нормали. Определениедифференцируемости функции в точке.

Доказать теоремы о связи дифференцируемости и: (а)существования конечной производной; (б) непрерывности функции в точке.23. Односторонние производные. Связь односторонних производных с обычной (двусторонней).Определение бесконечной производной функции в точке и ее геометрическая интерпретация.24. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения и частного двухфункций. Доказать два из них. Доказать теоремы о производной: (а) сложной и (б) обратнойфункций. Вывести формулы для производных константы, показательной, логарифмической,степенной, тригонометрических и гиперболических функций.25. Определение эластичности одной экономической величины по отношению к другой, связь спроизводной (для факультета ИБМ).

Логарифмическое дифференцирование (предварительноеv( x )логарифмирование) и его применение. Нахождение производной функций вида ( u ( x ) ) .Дифференцирование произведений и дробей с большим числом сомножителей в числителе изнаменателе. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной.Дифференцирование функции, заданной неявно. Нахождение первой и второй производныхфункции, заданной параметрически.26. Определение дифференциала функции, его геометрический смысл.

Сформулировать правиланахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказать два изних. Доказать инвариантность формы первого дифференциала. Определение дифференциаловвысших порядков.27. Определение экстремума функции. Доказать теорему Ферма (необходимое условиеэкстремума). Определение критической и стационарной точек функции.28. Доказать теоремы Ролля и Лагранжа.

Геометрическая интерпретация этих теорем. Записатьтеорему Лагранжа в виде формулы конечных приращений. Доказать теорему Коши.Экзаменационная программа по математическому анализу. 1 курс, 1 семестр, 2011/12.329. Сформулировать правило Лопиталя-Бернулли и доказать его для случая неопределенности 00  .

Раскрытие неопределенностей других видов. Доказать теорему о сравнении ростапоказательной, степенной и логарифмической функций при x → +∞ .30. Определение многочлена Тейлора. Доказать теорему о нем (о равенстве значении функции иее производных в точке x0 значению многочлена Тейлора и его производных в этой точке).31. Сформулировать теоремы о представимости функции по формуле Тейлора с остаточнымчленом: (а) в форме Пеано; (б) в форме Лагранжа. Формула Маклорена, как частный случайxформулы Тейлора. Вывести разложения по формуле Маклорена функций: e , sin x, cos x ,ln(1 + x) , (1 + x) p . Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям (с оценкойпогрешности). Применение формул Маклорена к вычислению пределов.32.

Доказать достаточное условие и сформулировать необходимое условие монотонностидифференцируемой функции. Доказать достаточные признаки экстремума функции: первый (вкритической точке – по первой производной); второй (в стационарной точке – по второйпроизводной).33. Определение выпуклости функции (её графика) на промежутке. Доказать достаточноеусловие выпуклости графика.34. Определение точки перегиба графика. Доказать необходимое условие перегиба графика вданной точке. Доказать достаточное условие перегиба графика в точке.35.

Схема полного исследования функции и построения (эскиза) ее графика.36. Определение векторной функции скалярного аргумента как отображения из R в R2 или R3,годограф векторной функции. Определение предела и непрерывности векторной функции.Определение производной векторной функции, ее геометрический и механический смысл.Уравнения касательной к плоской и пространственной кривой, заданной параметрически.Правила дифференцирования векторной функции (вывод на усмотрение экзаменатора). Доказатьтеорему о производной векторной функции постоянной длины; ее геометрическаяинтерпретация.37. Определение длины дуги пространственной или плоской кривой. Написать формулу дляпроизводной и дифференциала длины дуги кривой, заданной параметрически.