О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14
Описание файла
PDF-файл из архива "О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "общая теория связи (отс)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГТУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГТУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Томский политехнический университет»О. С. ВадутовМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫОБРАБОТКИ СИГНАЛОВПрактикумУчебное пособиеИздательствоТомского политехнического университетаТомск 2007В12УДК 621. 372В 12Вадутов О.
С.Математические основы обработки сигналов. Практикум:учебное пособие / О. С. Вадутов – Томск: Изд-во Томскогополитехнического университета, 2007. – 100 с.Практикум содержит четырнадцать работ по спектральному анализу и цифровой обработке сигналов. Повсем работам приводится необходимый теоретический материал, методические указания, программа работы и контрольные вопросы. Все работы выполняются на персональном компьютере в среде программирования MathCAD.Практикум подготовлен на кафедре промышленной имедицинской электроники и предназначен для студентов,обучающихся по направлению 550700 «Электроника имикроэлектроника».УДК 621.
372Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советомТомского политехнического университетаРецензенты:Доктор технических наук,заместитель Главного конструктора ОАО «НПЦ «Полюс»,профессор Ю. М. КазанцевКандидат физико-математических наук,доцент кафедры медицинской и биологической кибернетикиГОУ ВПЩ СибГМУ Росздрава,В. А. Фокин© О. С. Вадутов, 2007© Томский политехнический университет, 2007© Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 20072Я слышу и забываю,я вижу и запоминаю,я делаю и понимаю.КонфуцийПРЕДИСЛОВИЕДля успешной работы в области цифровой обработки сигналов современный специалист по электронной технике должен обладать знаниями и навыками практической работы по следующим разделам наукии техники:• цифровая электроника и микропроцессорная техника;• теория сигналов и алгоритмы их цифровой обработки;• языки программирования для микроконтроллеров.Дисциплина «Математические основы обработки сигналов» имеетсвоей целью сформировать общие представления, первичные знания,умения и навыки студентов по основам теории сигналов и методам ихобработки.
В соответствии с учебным планом по направлению 550700«Электроника и микроэлектроника» данная дисциплина изучаетсяраньше, чем дисциплины по электронике и микропроцессорной технике.Этим в основном объясняется содержание самой дисциплины.Данное учебное пособие представляет практикум по дисциплине«Математические основы обработки сигналов».
Пособие содержит методические указания к четырнадцати работам, которые можно разделитьна две части. Первые шесть работ посвящены методам анализа и преобразования непрерывных сигналов. В остальных восьми работах рассматриваются методы анализа дискретных моделей и методы цифровойобработки сигналов. Целью работ является изучение математическихметодов анализа и преобразования сигналов.Методические указания к каждой работе включают теоретическийматериал, необходимый для выполнения работы, и указания по его использованию при выполнении программы работы.
По каждой работеданы контрольные вопросы, которые могут служить руководством приподготовке к ней и углублению знаний по рассматриваемому вопросу.В пособии приведен список литературы, которую рекомендуется использовать при подготовке к работам и выполнении отчетов по ним.3Все работы выполняются на персональном компьютере с помощьюсистемы программирования MathCAD. Ее популярность в научной среде обеспечены рядом достоинств:•сравнительной простотой за счет использования традиционныхдля математики способов записи функций и выражений;•отсутствием особых требований к пользователю как к программисту;•широким набором встроенных функций для решения любых математических задач и инструментами построения графиков различныхтипов;•возможностью создания текстовых комментариев и формирования отчетов, статей и докладов в текстовом редакторе.При формировании математических моделей исследуемых сигналов и алгоритмов цифровой обработки сигналов применяются стандартные функции и операторы, имеющиеся в системе MathCAD.Учебное пособие рекомендуется использовать для самостоятельного изучения соответствующих разделов и организации лабораторногопрактикума по дисциплине «Математические основы обработки сигналов».
При использовании пособия для проведения лабораторного практикума заключительным этапом работы является подготовка отчетаи его защита. Отчет по работе должен содержать:1) цель работы;2) результаты выполнения домашнего задания;3) основные формулы, таблицы с данными расчета, графики и выводы по всем пунктам задания;4) выводы и оценку результатов по работе в целом.Это пособие является вторым изданием. При подготовке к печатипособия устранены недостатки, выявленные в первом издании (2001 г.),и включены новые работы.Автор выражает искреннюю благодарность магистрам кафедрыпромышленной и медицинской электроники Виталию Алексеенко, Владимиру Денисову и Станиславу Торгаеву за помощь и практическуюпроверку работ в процессе подготовки учебного пособия к печати.4Работа 1ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ1.1.
Цель работыВ настоящее время при формировании математической моделисигнала наибольшее распространение получила система, в которой базис образуют ортогональные гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Это объясняется тем, что гармоническая функцияявляется единственной, которая сохраняет свою форму при прохождении через линейную электрическую цепь. Представление произвольногосигнала в виде суммы гармонических колебаний называют спектральным разложением этого сигнала в базисе гармонических функций,или гармоническим анализом сигнала.Целью работы является определение коэффициентов ряда Фурье ипостроение аппроксимирующей функции для периодического сигнала,образованного из импульсов заданной формы.1.2.
Основные понятия и расчетные формулыПусть исследуемый сигнал описывается периодической функциейвремени x(t ) , которая в пределах периода ее изменения T удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда функцию x(t ) можно представить в видеряда Фурье:a0 ∞⎛ 2π ⎞⎛ 2π ⎞x(t ) =(1.1)+ ∑ [an cos⎜ n t ⎟ + bn sin ⎜ n t ⎟] ,2 n =1⎝ T ⎠⎝ T ⎠коэффициенты которого определяются по формулам:2a0 =T2an =T2bn =Tt 0 +T∫ x(t )dt;(1.2)⎛ 2π ⎞x(t ) ⋅ cos⎜ n t ⎟dt ;⎝ T ⎠(1.3)⎛ 2π ⎞∫ x(t ) ⋅ sin⎜⎝ n T t ⎟⎠dt .(1.4)t 0 +T∫t0t0t 0 +Tt0Таким образом, в общем случае периодический сигнал x(t ) содержит в себе не зависящую от времени постоянную составляющую a0 / 2 и5бесконечный набор гармонических колебанийс частотамиωn = n 2π T ( n = 1,2,3,...) , кратными основной частоте ω1 = 2π / T периодического сигнала. Совокупности коэффициентов a n , bn (n = 1,2,...)разложения периодической функции x(t ) в ряд Фурье называют частотными спектрами этой функции.Распространена и другая форма записи ряда Фурье:A0 ∞⎛ 2π⎞x (t ) =(1.5)+ ∑ А n cos ⎜ n t + ϕn ⎟ ,2 n=1⎝ T⎠где амплитуды Аn и фазы ϕn гармонических составляющих вычисляютпо формулам:An = a n2 + bn2 ;ϕ n = arg(an − jbn ) .(1.6)Гармоническую составляющую⎛ 2π⎞x1 (t ) = A1 cos ⎜ t + ϕ 1 ⎟(1.7)⎝T⎠называют основной гармоникой , а гармоническую составляющую⎛ 2π⎞xn (t ) = A n cos ⎜ n t + ϕ n ⎟(1.8)⎝ T⎠– n -й гармоникой.Совокупности величин Аn и ϕn (n = 1,2,...) называют соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами сигнала или,иначе, спектром амплитуд и спектром фаз.
Частотные спектры являютсяфункциями, зависящими от номера гармоники n как независимой переменной. Графически частотные спектры изображают в виде отрезков Аnи ϕn , проведенных перпендикулярно к оси, на которую наносятся значения ω = n ω1 (рис. 1.1). Графическое изображение амплитудного и фазового частотных спектров принято называть амплитудной и фазовой спектральными диаграммами .Anаϕn0ω1 2 ω1 3ω1 4ω1 5ω1 6 ω1 ω0 ω1 2 ω1 3 ω1 4ω1 5ω1 6ω1 ωбРис. 1.1.
Амплитудная и фазовая спектральные диаграммыРяд Фурье обеспечивает наилучшее в смысле среднеквадратической погрешности приближение к исходной функции. Это означает, что6если число членов ряда Фурье ограничено и исходный сигнал x(t ) аппроксимирован функциейA0 N⎛ 2π⎞x∗N ( t ) =(1.9)+ ∑ А n cos ⎜ n t + ϕ n ⎟ ,2 n=1T⎝⎠то наименьшая средняя квадратическая ошибка2σ =t0 +T∫[ x(t ) − x ∗N (t )]2 d t(1.10)t0имеет место в том случае, когда коэффициенты ряда Фурье определеныпо формулам (1.2) – (1.4).При увеличении числа членов ряда Фурье до бесконечности средняя квадратическая ошибка (1.10) стремится к нулю. Однако это вовсене означает, что ряд точно стремится к функции при любом значениивремени t.
Например, если функция x(t ) имеет разрыв в точке t1 , то естьx(t1 − 0 ) ≠ x(t1 + 0) ,(1.11)то ряд Фурье в этой точке, согласно теореме Дирихле, сходится к среднеарифметическому значению:x(t − 0 ) + x(t1 + 0 ).(1.12)lim x ∗N (t1 ) = 12N →∞Таким образом, сходимость ряда Фурье во многом зависит от аналитических свойств разлагаемой функции. Более гладкой функции x(t )соответствует лучшая сходимость ее ряда Фурье.Средняя мощность периодического сигналаT1Pср = ∫ x 2(t ) d t ,(1.13)T 0если известен амплитудный спектр сигнала, может быть рассчитана, согласно теореме Парсеваля, по формулеA 02 1 ∞+ ∑ A n2 .(1.14)Pср =42 n=1Для сигнала, описываемого усеченным рядом Фурье, можно найтиприближенное значение средней мощностиA 02 1 N∗+ ∑ A n2 .(1.15)Pср =42 n=171.3. Методические указанияВ настоящей работе проводится гармонический анализ периодического сигнала, образованного из импульсов заданной формы (см.
приложение П.1). На рис. 1.2 для примера изображен график сигнала, полученного из треугольных импульсов.x-T-T+Tc 0Tc TT+T c 2TtРис. 1.2. Пример периодического сигналаПри расчете коэффициентов ряда Фурье требуется задать начальный момент t0 периода интегрирования в формулах (1.2) – (1.4).
Какправило, значение t0 выбирают из условия упрощения вычислений. Дляисследуемых в работе сигналов рекомендуем принять t 0 = 0 . При этомнижний и верхний пределы интегрирования в формулах (1.2) – (1.4) будут соответственно равны 0 и Tc .Обращаем внимание на то, что стандартная функция arctgx в системе программирования MatchCAD определяет главные значения, ограниченные пределами:ππ− ≤ arctg x ≤ .22Поэтому, если при определении фазы гармоники использовать рекомендуемую в литературе формулуbϕn = arg(an − jbn ) = −arctg n ,anможно получить неверные результаты.Чтобы получить правильные результаты при использовании функции arctg x , следует учесть знаки коэффициентов an , bn и внести необходимые поправки в расчетные формулы.При выполнении работы предлагаем использовать имеющуюся всистеме MatchCAD функциюϕ n = arg(an − jbn ) ,которая определяет значения ϕn от − π до π .81.4.