Дз пределы и непрерывность (Дз пределы и непрерывность подробно расписано)
Описание файла
PDF-файл из архива "Дз пределы и непрерывность подробно расписано", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Задача 1. Доказать, что lim an a определив для каждого 0 число N N ( ) такое,n что an a для всех n N ( ) . Заполнить таблицу0,1N ( )0,010,001Вариант 49 n31an ,a 321 2nРешение:Согласно определению предела последовательности an a для всех n N ( ) начинаяс какого-то числа N N ( ) . Подставим исходные данные в формулуan a 2 9 n3 1 2n39 n3 118 2n3 1 2n3an a 1 2n 3 22 1 2n3 2 1 2n3 192 1 2n3 192 1 2n3 191 2n3 19 3191 3 2 1 2n 12n 2 1 2 2 1 2n3 19 1 2n3 12n3 19 1 1191 2n3 2223212nЗнак в верхнем неравенстве был изменён при умножении навыражение отрицательное при всех значениях 0 .1 2n3, так как данное 319 1 319 1n 3 n 4 2 _4 2n3 19 1 3 _n 3 19 14 24 2Подготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityserviceТак как n 1 , то верхнее неравенство всегда выполняется, следовательно, егоможно убрать.
Окончательно условие примет видn319 14 2При 0,1n319 1 4 2333 27; 43 64;19119 10 1 3 3 47,4 0,1 242327 3 47 3 64; ближайшее меньшее целое равно 3n 3 47 N 3При 0, 01n319 1 4 2319119 100 1 3 3 424,5;4 0, 01 24273 343; 83 512; 343 3 424,5 512; ближайшее меньшее целое равно 7n 3 424,5 N 7При 0, 001n319 1 4 2319119 1000 1 3 3 4249,5;4 0, 001 242163 4096; 173 4913; 4096 3 4249,5 4913; ближайшее меньшее целое равно 16n 3 4249,5 N 16Ответ:N ( )0,130,017Подготовлено компанией UniversityService0,00116http://vk.com/universityserviceЗадача 2.
Вычислить пределы (а, б, в, г, д, е)Вариант 4а) limx 1x3 2 x 1;x2 x 1б) limx 2 x 2 3x 5x x 3 8x7 19 2x 5в) limx 83x 2; г) lim tg x x 0 4д) lim x 2 x 0 x 10cos;ctgx;ln x 13 x2;x25 5xе) limx 1Решение:x3 2 x 1а) lim 2x 1 x x 1limx 1x3 2 x 11 2 1 0 {подставляем 1} 021 1 1 1x x 1Ответ: 0б) limx 2 x 2 3x 5x x 3 8x7 1; {подставляем } x x x 3 8x7 1Выносим из числителя и из знаменателя наибольшую степень икса3 5 3 5 x2 2 2 2 2 22 x 3x 5x x x x lim lim lim 7 3 73x x 3 2 2 31x x 3 8 x 7 1 x 7 2x1x x 3 8 733x 7 8 7xx x3lim2 x 2 3x 5Подготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityservice003 5 2 2 x x limx 1 11x3 5 3 8 7 6xx3 5 2 2 x x limx 1 11x3 5 3 8 7 6xx0 limx 2130x 20Ответ: 09 2x 5в) limx 83x 29 2x 5limx 8x 23;0 {подставляем 8} 0умножим и числитель и знаменатель на выражение9 2x 5x2 3 x 2 43тогда в числителе будет формула разности квадратов, а в знаменателе – разности кубовlim9 2x 5x 8 lim3x 2lim9 2x 5 9 2 x 25 3 x 2 x 8 x 829 2x 53x 8Ответ:9 2x 5x2 3 x 2 4x2 3 x 2 43 3 x 2 49 2x 5x2 3 x 2 43 limx 8 lim 2 x 8 x 83 x 8 x 9 2x322 x x 2 4 2 9 2 x 5 25x2 3 x 2 49 2x 5 {подставляем 8} 123233 {сокращаем на x 8} 5125 г) lim tg x x 0 4 lim tg x x 0 4ctgx;ctgx {подставляем 0} 1 Раскрываем неопределённость, используя второй замечательный пределПодготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityservice lim tg x x 0 4ctgx lim 1 tg x 1x 04 ctgxформул тангенса разностиtg x y lim 1 tg x 1x 04 ctgxtg tgx4 lim 1 1x 0 1 tg tgx 4 1 tgx 1 tgx lim 1 x 01 tgxctgx2 tgx lim 1 x 0 1 tgx 2 tgx {при x 0 lim 1 x 0 1 tgx e 2tgx lim ctgx1 tgx x 0e 2tgxctgx lim 1 tgx x 0tgx tgy1 tgx tgy1 tgx2tgxctgxctgx {tg4 1} 1 tgx 2tgx ctgx2tgx 1 tgx 2 tgx lim 1 x 0 1 tgx e, второй замечательный предел} {tgx ctgx 1} e2 lim 1 tgx x 0 {подставляем 0} e 2Ответ: e 2д) lim x 2 x 0 x 10ln x 13 x2;найдём значениеln x 1 x 2 3 x2lim {подставим 0 в основание и в степень} x 0 x 10x2 1lim ,x 0 x 105ln x 1 0 lim x 03x 20для раскрытия неопределённости нижнего предела используем формулу эквивалентностиln 1 x limx 0ln x 13x2 limx 0x, при x 0x1 lim {подставляем 0} 2x03x3xтогда исходный предел равенПодготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityservice x2 lim x 0 x 10ln x 13 x21 5Ответ: cosе) limx 12 ;5 5xcoslimx 1xx2 {подставляем 1} 0 0 5 5xВведём подстановкуt x 1, x t 1, x 1 t 0, тогда t cos t 1 cos 2 lim2 2 2 limlimt 1x 1 5 5 xt 0t0555 5t 1cosxИспользуем формулу приведенияcos sin 2 t t cos sin 2 2 lim 2limtt 0t 05 5 15 5t 1Используем формулы эквивалентностейsin xx, a x 1x ln at t sin 2 lim2limt 05 5t 1 t 0 5 t ln 5 10 ln 5Ответ:10 ln 5Подготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityserviceЗадача 3.
1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми илибесконечно большими при указанном стремлении аргумента. 2) Для каждой функции fи g записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида C x x0 при x x0или Cx при x , указать их порядок малости (роста). 3) Сравнить f и g.Вариант 4f ( x) ln 2 x, g ( x) 3 x 1, x 1Решение:1) Найдём предел каждой функции при данном стремленииlim f ( x) lim ln 2 x 0 функция f ( x ) является бесконечно малой при x 1x 1x 1lim g ( x) lim x 3 1 0 функция g ( x) является бесконечно малой при x 1x 1x 12) Найдём главные части функций f и gf ( x) ln 2 x ln 2 1 x 1 x 12, при x 1Функция f имеет 2 порядок малости, её главная часть равна x 1g ( x) 3 x 1 3 x x 1x 1 x x 1 x x 1x 133223233231 x 1 , при x 13Функция g имеет 1 порядок малости, её главная часть равна1 x 13В последнем выражении была использована формула разности кубовa3 b3 a b a 2 ab b2 3) Сравним функции f и g, то есть найдём предел отношения при x 1 .
Так как главныечасти функций эквивалентны самим функциям, то достаточно сравнить их x 1f ( x)lim lim lim3 x 1 0 функция f более высокого порядка малости,x 1 g ( x)x 1 1x 1 x 132чем gПодготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityserviceОтвет: 1) lim f ( x) 0, lim g ( x) 0x 12) f ( x)x 1 x 12, g ( x)1 x 133) функция f более высокого порядка малости, чем gПодготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityserviceЗадача 4. Найти точки разрыва функции f(x) и определить их характер. Построитьфрагменты графика функции в окрестности каждой точки разрыва.Вариант 4 2x 1x23 x 2 x ,f ( x) ln x 1 , x2 x 2Решение:Предполагаемые точки разрыва функцииx 0, x 2Найдем пределы слева и справа для каждой точки и определим их характерx0x 1lim f ( x) lim 3x2 2 xlim f ( x) lim 3x2 2 xx 0 3x 0 x 1x 0 3x 0 12(0 )12(0 ) 3 0, x 0 точка разрыва 2-го рода 3 График функции в окрестности точки x 010987654321f ( x) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 012345x 1lim f ( x) lim 3 xx 2 0x2012xx2limРис.
122 xx 2 0ln x 1x2 limx201 3 2(0 ) 3 0ln 1 x 2 x2 {ln ( x) ( x), при ( x) 0} limПодготовлено компанией UniversityServicex 20x21x2http://vk.com/universityservicelim f ( x) 0, x 2 точка разрыва 1-го родаlim f ( x) 1 x 2 0x 20График функции в окрестности точки x 21098765f ( x)Рис. 2432110123456789102xОтвет: рис.1; рис.2P.S.: готовы ответить на любые вопросы. Желаем успехов и побед!UServiceПодготовлено компанией UniversityServicehttp://vk.com/universityservice.