ДУ задачи и вопросы к РК и экзу (Билеты)

Математический анализ1 курс 1 семестр факультет СМ (кроме СМ13), РК4, ФН4Рейтинговая система контроля освоения дисциплиныНеделя проведенияконтроля модуляСеместр 1ДЗ №1ДЗ №2Контроль по модулюПремиальные баллыМодуль 1КРДЗ №3Контроль по модулюПремиальные баллыМодуль 2Итоговый контрольИтоговый рейтингОценка за модуль в баллахМаксимальнаяМинимальная499912161717сессия48183331081633730100261202066120241660Контрольные мероприятия и сроки их проведенияМодуль 1.

Элементарные функции и пределы1. ДЗ №1 «Элементарные функции и их графики»Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи - 4 неделя1. ДЗ №2 «Пределы и непрерывность»Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи - 9 неделя2. Контроль по модулю №1 (РК №1) «Пределы и непрерывность».Срок проведения – 9 неделяМодуль 2. Дифференциальное исчисление функций одного переменного3. Контрольная работа «Техника дифференцирования».Срок проведения – 12 неделя4. ДЗ №3 «Исследование функций и построение графиков»Срок выдачи 9 неделя, срок сдачи - 16 неделя5. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Исследование функций и построение графиков»Срок проведения – 17 неделяТиповые задачи, используемые при формированиивариантов текущего контроляДомашнее задание №1 «Элементарные функции и их графики»x4.1  2xЗадача 2.

Исследовать функцию y  ctg(cos(tg x)) на четность (нечетность).Задача 1. Найти область определения функции y  lgЗадача 3. Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиковследующих функций:а) y   sin 2 x    1 , б), y  2  3 x  5  1 в) y  1  lg x  1 ,43 314г) y   2 2 x 1  , д) y  arctg( 2 x  3) .338 2Домашнее задание №2 «Пределы и непрерывность»2  3n 23и числа a   доказать, что254  5nlim an  a , определив для каждого   0 число N  N ( ) , такое, что a n  a   для всехЗадача 1.

Для заданной последовательности a n nn  N ( ) . Заполнить таблицу:0,1N ( )0,010,001Задача 2. Вычислить следующие пределы:а) limx 1x4 1;x 3  5x  4 sin x г) lim x  4 sin 41x4б) limx 2x 3  x 4 x 3  2x5  x3 3 x  2 32  ;в) lim 3x 11 x 1 x ;x;x 2  3  sin 2 xд) lim  arctg 3;x  0x1е) limx ln(1  tg x).sin 3xЗадача 3.1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми или бесконечнобольшими при указанном стремлении аргумента.2) Для каждой функции f и g записать главную часть (эквивалентную ей функцию) видаC ( x  x0 )  при x  x 0 , или C x  при x   , указать их порядки малости (роста).x 2  x 1.x2x3 xЗадача 4.

Найти точки разрыва функции f (x) и определить их характер. Построитьфрагменты графика функции в окрестности каждой точки разрыва:1arcctg e x , x  2;f ( x)  tg ,x  2. x3) Сравнить f и g при x   , если f ( x) x 3  x sin x, g ( x) Домашнее задание №3 «Исследование функций и построение графиков»Задача 1. Исследовать заданные функции и построить их графики:1) y x1  x2;2) y  3 x 2 ( x 2  3)2 ;3) y ex.xКонтрольная работа «Техника дифференцирования»Для заданных функций найти y  .1.

y  3x tg(3x  8) . 2. y  5 sin 2 (log3 x) .4. y arcsin x.xe x5. y  (1  ctg 4 x)ln x .3. y  arctg( x3  2)  x 2 x 16. y  arccos3 x.cos5 x7. Найти производную y xx функции y( x) , заданной параметрически: x  log 2 (1  t 3 ),4y  t .8. Найти производные y x , y xx в точке M (0;0) функции y( x) , заданной неявноуравнениемx2  y 2  6 xy  4 x  2 y  0 .9. Составить уравнение касательной и нормали к кривой x  4cos t , y  8sin t в точкеM 0 (2 3; 4) . Сделать чертеж.Контроль по модулю №11. Числовая последовательность.

Предел последовательности; сходящиеся и расходящиесяпоследовательности. Доказать теорему о единственности предела сходящейсяпоследовательности.2. Сформулировать определение по Коши для пределаlim f ( x)   . Привестиx a  0соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).Вычислить пределы:3. limx 16. limx 1x3  3x  2,x3  x 2  x  14. limx 2 x  5 x3  x xx3  x 6  x 3 xarctg(2 x  2).sin  x7. Найти точки разрыва функции f ( x) ,5. lim(1  sin x cos 2 x)ctg x ,3x 0x 1, исследовать их характер, построитьx  5x  42график функции в их окрестности.Контроль по модулю №2Задача 1.

Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке. Доказатьтеорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной.Задача 2. Исследовать функциюy1и построить ее график.x2  6 xЗадача 3. По графику производной построить график функции (представлен графикпроизводной в виде кусочно-линейной функции).Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзаменуМодуль 1 Элементарные функции и пределы1.

Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся ирасходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейсяпоследовательности (формулировка).2. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченностисходящейся числовой последовательности (с доказательством). Признак Вейерштрассасходимости монотонной последовательности (формулировка).3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и набесконечности. Односторонние пределы функции.

Определение предела функции поГейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с одностороннимипределами (с доказательством).4. Теорема о единственности предела функции (формулировка).5. Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальнойограниченности функции, имеющей конечный предел (формулировка).6. Бесконечно малые функции.

Теорема о связи функции, ее предела и бесконечномалой (с доказательством).7. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством).8. Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию (сдоказательством).9. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечнобольшой функций (с доказательством).10. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (формулировка).11.

Теорема о пределе сложной функции (формулировка).12. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел(формулировка).13. Теорема о предельном переходе в неравенстве (формулировка).14. Теорема о пределе промежуточной функции (формулировка).15. Первый замечательный предел (с выводом).

Второй замечательный предел (безвывода).16. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы обэквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством).17. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема онепрерывности сложной функции (формулировка).18. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функцииy  sin x .19. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке(формулировки соответствующих теорем).Модуль 2 Дифференциальное исчисление функций одного переменного20.

Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрическийсмысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.21. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемостифункции с существованием конечной производной (с доказательством). Связьдифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).22. Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисленияпроизводных суммы, произведения, частного.23.

Теорема о дифференцируемости сложной функции (формулировка).24. Теорема о дифференцируемости обратной функции (формулировка).25. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантностьформы записи дифференциала первого порядка (с доказательством)26. Формулировки теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.27.

Формулировка теоремы Бернулли – Лопиталя для предела отношения двухбесконечно малых функций.28. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной илогарифмических функций.29. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа(формулировка соответствующих теорем).30. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарныхфункций: e x , sin x , cos x , ln(1  x) , (1  x) .31. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемойфункции (формулировка).32. Понятиеэкстремума. Формулировка необходимого условия существованияэкстремума дифференцируемой функции.

Формулировка достаточного условиясуществования экстремума функции по ее первой производной. Формулировкадостаточного условия существования экстремума функции по ее второй производной.33. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции (ее графика). Формулировка достаточногоусловия выпуклости дважды дифференцируемой функции.34. Определение точек перегиба функции.

Формулировка необходимого и достаточногоусловий для точек перегиба функции.35. Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.Модуль 3 Итоговый контрольФормулировки определений и теорем, перечисленных выше в п. 1-35.Теоремы с изложением доказательства:1. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.2.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.3. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательстводля функций или последовательностей по выбору).4. Теорема о пределе сложной функции.5. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел.6. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функцийили последовательностей по выбору).7. Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций илипоследовательностей по выбору).8.