Семестр_3_Лекция_22_23 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекции 22-231Лекция 22-23. Дифракционная решётка.Многолучевая интерференция. Дифракционная решётка. Спектральные характеристики дифракционных решёток. Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа-Брэгга. Понятие о рентгеноструктурном анализе.Интерференционная картина, образующаяся при наложении нескольких когерентных волн называется многолучевой интерференцией.Рассмотрим интерференционную картину, получающуюся при дифракциисвета на системе параллельных одинаковых щелей. Пусть щели расположены водной плоскости.

Такая система реализуется в оптическомприборе – прозрачной дифракционной решётке. Ширинаbщели b, расстояние между серединами соседних щелей dназывается периодом дифракционной решётки.dЭкран, на котором формируется картина, расположенпараллельно и находится в фокальной плоскости собирающей линзы. Свет падаетна решётку нормально (т.е. перпендикулярно).bxϕd⋅sinϕ∆ϕПроведём рассуждения при поиске результирующей амплитуды для системы щелей аналогично рассуждениям для одной щели из предыдущей лекции.Только теперь будем учитывать сумму лучей от N щелей.

Во всех щелях выделимлуч на расстоянии x от левого края щели. Оптическая разность хода таких лучей всоседних щелях равна d sin ϕ . Поэтому результирующая амплитуда определяетсявкладом лучей от всех щелейСеместр 3. Лекции 22-232δAP = Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ ) ) + Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ + d sin ϕ ) ) +(+ Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ + 2d sin ϕ ) ) + ... + Ka0 cos ωt − k ( x sin ϕ + ( N − 1) d sin ϕ ))Для дальнейших вычислений можно воспользоваться формулой Эйлераeiα = cos ( α ) + i ⋅ sin ( α ) .где i 2 = −1 . (Эта формула является основной в теории комплексного анализа, ичасто применяется в теоретических расчётах).eiα + e− iαe iα − e − iαи sin ( α ) =.Отсюда, в частности, следует, что cos ( α ) =22iПоэтому можно записать())(δAP = Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ ) ) + ...

+ cos ωt − k ( x sin ϕ + ( N − 1) d sin ϕ ) =i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )− i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )  ei( ωt − k ( x sin ϕ)) + e − i( ωt − k ( x sin ϕ) )e+e== Ka0 + ... +22Ka0 i( ωt − k ( x sin ϕ) )i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )− i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )− i ωt − k ( x sin ϕ ) )=e+ ... + e+e (+ ... + e2()или, после перегруппировки:δAP =A0 i( ωt − k ( x sin ϕ))i − k ( N −1) d sin ϕ )− i ωt − k ( x sin ϕ ) )i − kd sin ϕ )ik N −1 d sin ϕe1+ e (+ ... + e (+e (1 + eikd sin ϕ + ... + e ( )2b(()()) .Используя формулы для частичной суммы геометрической прогрессии1 + q + q 2 + ... + q N −1 =получаем равенство 1 + ei( − kd sin ϕ) + ...

+ ei( − k ( N −1)d sin ϕ) =1+ qN,1− q1 − ei( − Nkd sin ϕ).1 − ei( − kd sin ϕ)Затем проводим преобразования1 − ei( − Nkd sin ϕ)i − kd sin ϕ )1− e ( i Nkd sin ϕ i ( − Nkd sin ϕ)  − i Nkd sin ϕ  i Nkd sin ϕ i ( − Nkd sin ϕ) 222 e 2 − e e e 2 − e 2i ( N −1) kd sin ϕ−i2=  kd sin ϕ=e.− kd sin ϕ )− kd sin ϕ )((kd sin ϕkd sin ϕ i −i iii e 2 − e 2  e 2 e 2 − e 2  2iСледовательно i Nkd sin ϕ i ( − Nkd sin ϕ) 2 e 2 − e 2i ( N −1) kd sin ϕ sin  Nkd sin ϕ  ( N −1) kd sin ϕ−i2i − k ( N −1) d sin ϕ ) e−i221 + ei( − kd sin ϕ) + ... + e (=  kd sin ϕe=− kd sin ϕ )(kdsinϕ iisin  e 2 − e 2  2i 2 Семестр 3. Лекции 22-23Аналогично1 + eikd sin ϕ + ...

+ eik ( N −1) d sin ϕ Nkd sin ϕ sin  i ( N −1) kd sin ϕ2e2=. kd sin ϕ sin 2 Тогда Nkd sin ϕ  Nkd sin ϕ sin sin ( N −1)kd sin ϕ( N −1)kd sin ϕ −iiKa0 i( ωt − k ( x sin ϕ) )22− i ωt − k ( x sin ϕ ) )ee22e,δAP =+e (2  kd sin ϕ  kd sin ϕ sin sin 2 2  Nkd sin ϕ   i ωt − k ( x sin ϕ) − ( N −1)kd sin ϕ  − i ωt − k ( x sin ϕ) − ( N −1) kd sin ϕ  sin 22  e  +e 2δAP = Ka0,2 kd sin ϕ  sin 2   Nkd sin ϕ sin 2 cos  ωt − k x sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ  .δAP = Ka0()2 kd sin ϕ sin 2 Тогда, учитывая, что Ka0 =A0dx , получаемb Nkd sin ϕ sin A2 cos  ωt − k x sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ  dx =AP = ∫ 0()b2 kd sin ϕ 0sin 2 Nkd sin ϕ bsin N − 1) kd sin ϕ A0(2=−sin  ωt − k ( x sin ϕ ) − =bk sin ϕ2 kd sin ϕ 0sin 2  Nkd sin ϕ sin  A02 sin ωt − kb sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ  − sin  ωt − ( N − 1) kd sin ϕ  =−  bk sin ϕ22 kd sin ϕ   sin 2 bТ.к.ππβ−α πβ+αβ−α β+αsin α − sin β = cos  α −  + cos  β +  = 2 cos +  cos  = −2 sin  cos 222 2 2  2  2 то3Семестр 3.

Лекции 22-234 Nkd sin ϕ sin A02 sin  kb sin ϕ  cos  ωt − kb sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ AP = 2bk sin ϕ2 22 kd sin ϕ sin 2 С учетом k =2πполучаем амплитуду колебания в точке наблюденияλ kb sin ϕ  Nkd sin ϕ ππsin sin  b sin ϕ  sin  Nd sin ϕ  sin 22λλ =AAN = 2 A00kdsinϕππkb sin ϕ sin   b sin ϕ sin  d sin ϕ 2λλ πsin  b sin ϕ λ , то амплиТак как амплитуда колебания от одной щели равна A1 = A0π   b sin ϕλπsin  Nd sin ϕ λ . Поэтому интенсивность света в дифракцитуда от N щелей AN = A1 πsin  d sin ϕ λонной картине2I N ,ϕгде I1,ϕ2πππ sin  λ b sin ϕ  sin  λ Nd sin ϕ   sin  λ Nd sin ϕ   = I  ,= I0 1,ϕ  π  b sin ϕ sin  π d sin ϕ   sin  π d sin ϕ     λλ λ   πsin 2  b sin ϕ λ - интенсивность от одной щели.= I02π b sin ϕ λИз этих формул следует, что интенсивность центрального максимума (ϕ=0)для системы из N щелей больше интенсивности центрального максимума от одной щели в N2 раз I N ,0 = I1,0 N 2Максимумы и минимумы дифракционной картины можно подразделить наглавные и вторичные.Главные максимумы выделяются условием I N ,ϕπsin  Nd sin ϕ λ = ±N .= I1,ϕ N 2 , т.е.πsin  d sin ϕ λСеместр 3.

Лекции 22-235IN,ϕ /I0N=416b/λ=114d/λ=5IN,ϕ /I012N2⋅I1,ϕ /I0108642ϕ-1,4-1-0,6-0,2 00,20,611,4Пусть α = m ⋅ π + β (m – целое число) и N - целое число, тогда справедливо приβ → 0:sin ( N ( m ⋅ π + β ) )sin ( m ⋅ π + β )= ( −1)определяются условием( N −1) msin ( N β )( N −1)m≈ N ⋅ ( −1).

Поэтому главные максимумыsin ( β )πd sin ϕ = mπ , т.е.λd sin ϕ = mλ .Целое число m называется номером главного максимума, или порядком спектра.Главные минимумы соответствуют условию минимума интенсивности отодной щели I1,ϕ = 0 , т.е. b sin ϕ = k λ , где k – целое число.Между главными максимумами находятся вторичные максимумы и миниπsin  Nd sin ϕ λ = 0 . Т.к. онимумы.

Вторичным минимумам соответствуют условияπsin  d sin ϕ λСеместр 3. Лекции 22-236находятся между соседними главными максимума с номерами m и m+1, то их положение можно определить из соотношения sin  Nd sin ϕ  = 0 при условииλπmλλn λ< sin ϕ < ( m + 1) . Это выполняется если sin ϕ =  m +  и 1 < n < N − 1 . ЦелоеddN dчисло n называется номером вторичного минимума. Следовательно, количествовторичных минимумов между любыми двумя главными максимумами на единицуменьше числа щелей N.Интенсивность вторичных максимумов значительно меньше интенсивностиглавных максимумов.Положение главных максимумов и минимумов определяется длиной волныпадающего света.

Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, тоесть она является спектральным прибором. Если свет немонохроматический, то вспектре будут наблюдаться главные максимумы разных длин волн. Но центральный максимум будет содержать все длины волн. Поэтому он наиболее яркий.При разложении белого света меньший угол у первого максимума фиолетового цвета, а больший – у красного. В этом смысле дифракционная решётка какспектральный прибор противоположна стеклянной призме в опыте Ньютона, вкоторой наибольшее отклонение испытывали лучи фиолетового цвета.Замечание. Интенсивность главных максимумов убывает с ростом номераm. Как правило, на практике количество достаточно различимых максимумов непревышает 3.Замечание. Если свет падает на дифракционную решетку под углом θ, тоположение главных максимумов определяется соотношениемd ( sin ϕ − sin θ ) = mλ .Спектральные характеристики дифракционных решёток.Угловая дисперсия Dϕ =δϕ, где δϕ - угловое расстояние между двумя главнымиδλмаксимумами одного порядка, соответствующим волнам, длины которых отлича-Семестр 3.

Лекции 22-237ются на величину δλ. Из формулы d sin ϕ = mλ получаем d cos ϕ ⋅ δϕ = m ⋅ δλ , откудаDϕ =δϕm=.δλ d cos ϕДисперсионная область. Если спектры соседних порядков перекрываются, тоспектральный прибор становится непригодным для исследования соответствующих участков спектра. Максимальная ширина спектрального интервала ∆λ, прикоторой еще не происходит перекрытия спектров, называется дисперсионной областью спектрального прибора. Для решетки из условия совпадения максимумовсоседних порядков для разных длин волнm ( λ + ∆λ ) = ( m + 1) λ , получаем, что должно быть ∆λ <λ.mКак правило, m≤3.