Семестр_3_Лекция_21 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекция 211Лекция 21. Дифракция света.Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Векторная диаграмма.Дифракция от круглого отверстия и круглого диска. Дифракция Фраунгофера отщели. Предельный переход от волновой оптики к геометрической.Дифракция – это явление отклонения от прямолинейного распространениясвета, если оно не может быть следствием отражения, преломления или изгибаниясветовых лучей, вызванным пространственным изменением показателя преломления. При этом отклонение от законов геометрической оптики тем меньше, чемменьше длина волны света.Замечание. Между дифракцией и интерференцией нет принципиального различия.Оба явления сопровождаются перераспределением светового потока в результатесуперпозиции волн.Примером дифракции может служить явление при падении света на непрозрачную перегородку с отверстием. В этом случае на экране за перегородкой вобласти границы геометрической тени наблюдается дифракционная картина.Принято различать два вида дифракции.

В случае, когда падающую на перегородку волну можно описать системой параллельных друг другу лучей (например, когда источник света находится достаточно далеко), то говорят о дифракцииФраунгофера или дифракции в параллельных лучах. В остальных случаях говорято дифракции Френеля или дифракции в расходящихся лучах.При описании явлений дифракции необходимо решить систему уравненийМаксвелла с соответствующими граничными и начальными условиями. Однако,нахождения такого решения в большинстве случаев является весьма затруднительным.

Поэтому, в оптике, часто применяют приближённые методы, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля или Кирхгофа.Принцип Гюйгенса.Формулировка принципа Гюйгенса. Каждая точка среды, до которой в некоторый момент времени t дошло волновое движение, служит источником вторичных волн.

Огибающая этих волн даёт положение фронта волны в следующийСеместр 3. Лекция 212близкий момент времени t+dt. Радиусы вторичных волны равны произведениюфазовой скорости света на интервал времени r = v ⋅ dt .Иллюстрация этого принципа на примере волны падающейВторичныена непрозрачную перегородку сволныотверстием показывает, что волнапроникает в область геометричеГраницыгеометрическойФронт волнытениской тени. Это является проявлением дифракции.Однако, принцип Гюйгенса не даёт оценок интенсивности волн,распространяющихся в различных направлениях.Принцип Гюйгенса-Френеля.Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн.

По амплитудам вторичных волн с учётом их фаз можно найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.Каждый малый элемент волновой поверхности является источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS, и уравнение которой вдоль луча имеет видdA = K ( θ ) ⋅a0 dScos ( ωt − kr + α )rздесь a0 - коэффициент, пропорциональный амплитуде колебаний точек на волновой поверхности dS, K ( θ ) - коэффициент, зависящий от угла θ лучом и векторомπdS , такой, что при θ = 0 он принимает максимальное значение, а при θ → - ми2нимальное (близкое к нулю).Результирующее колебание в некоторой точке наблюдения Р тогда определяется аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля, которое вывелКирхгоф:AP = ∫∫ K ( θ ) ⋅Sa0cos ( ωt − kr + α ) dSrСеместр 3.

Лекция 213Интеграл берётся по волновой поверхноdSсти, зафиксированной в некоторый моθмент времени. Для свободно распростра-лучняющейся волны значение интеграла независит от выбора поверхности интегрирования S.Явное вычисление по этой формуледовольно трудоёмкая процедура, поэтому на практике можно применять приближённые методы нахождения этого интеграла.Для нахождения амплитудыb+4 (λ/2)колебаний в точке наблюдения Pзона № 4b+3(λ/2)зона № 3зона № 2b+2(λ/2)зона № 1b+λ/2всю волновую поверхность S можноразбить на участки или зоны Френеля. Предположим, что мы наблюдаем дифракцию в расходящихся лу-и т.д.чах (дифракцию Френеля), т.е. расLPOarmсматриваем сферическую, распространяющуюся от некоторого источника L.

Пусть волна распростра-hmaняется в вакууме.bЗафиксируем волновую поверхность в некоторый момент вре-мени t. Пусть радиус этой поверхности равен a. Линия LP пересекает эту поверхность в точке О. Предположим, что расстояние между точками О и Р равно b. Отλ2точки Р последовательно откладываем сферы, радиусы которых Rm = b + m .

Двесоседние сферы «отсекают» на волновой поверхности кольцевые участки, называемые зонами Френеля. (Как известно, две сферы пересекаются по окружности,лежащей в плоскости, перпендикулярной прямой, на которой лежат центры этихСеместр 3. Лекция 214сфер). Найдём расстояние от точки О до границы зоны с номером m. Пусть радиусвнешней границы зоны Френеля равен rm.

Т.к. радиус поверхности равен a , то2rm2 = a 2 − ( a − hm ) = 2ahm − hm2 .22λλ2При этом одновременно, r =  b + m  − ( b + hm ) = mbλ +  m  − 2bhm − hm2 .2 22m2 λmbλ +  m 2λ 2 .Поэтому 2ahm − hm2 = mbλ +  m  − 2bhm − hm2 , откуда hm =2 (a + b) 2Для длин волн видимого диапазона и не очень больших значений номеров m2λможно пренебречь слагаемым  m  по сравнению с mλ. Следовательно, в этом 2случае hm =mbλи для квадрата радиуса получаем выражение2(a + b)2 mbλ mbλr = 2ahm − h = 2a− , в котором опять можно пренебречь последним2 ( a + b )  2 ( a + b ) 2m2mслагаемым. Тогда радиус m-й зоны Френеля (для дифракции в расходящихся лучах)rm = mabλ.( a + b)Следствие.

Для дифракции в параллельных лучах (дифракции Фраунгофера) радиус зон Френеля получается предельных переходом a→∞.rm = mbλ .Теперь сравним площади зон Френеля. Площадь сегмента сферической поверхности, лежащей внутри m-й зоны, как известно, равна S ( m ) = 2πahm . Зона с номером m заключена между границами зон с номерами m и m-1. Поэтому её площадь равна22λ  λ mbλ +  m  ( m − 1) bλ +  ( m − 1)  2  2 −S m = S ( m ) − S ( m − 1) = 2πa ( hm − hm −1 ) = 2πa . 2 (a + b)2 (a + b)Семестр 3. Лекция 2152λ bλ+2m−1()   2  .После преобразований выражение примет вид Sm = 2πa 2( a + b)Если пренебречь величиной( 2m − 1)  λ 2 , то из выражения 2( a + b)  2 Sm =πabλследу( a + b)ет, что при небольших номерах площадь зон не зависит от номера m.Нахождение результирующей амплитуды в точке производится следующимобразом.

Т.к. излучаемые вторичные волны являются когерентными и расстоянияот соседних границ до точки Р отличаются на половину длины волны, то разностьфаз колебаний от вторичных источников на этих границах, приходящих в точку Рравна π (как говорят, колебания приходят в противофазе). Аналогично, для любойточки какой-нибудь зоны обязательно найдётся точка в соседней зоне, колебанияот которой приходят в Р в противофазе.

Величина амплитуды волнового векторапропорциональна величине площади зоны AP ∼ K ( θ ) Sm . Но площади зон одинаковые, а с ростом номера m возрастает угол θ, поэтому величина K ( θ ) убывает. Поэтому можно записать упорядоченную последовательность амплитудA1 > A2 > A3 > ... > Am −1 > Am > Am +1 > ... . На амплитудно -векторной диаграмме с учётомразности фаз эта последовательность изображается противоположно направленными векторами, поэтомуb + n⋅∆зона № 1b+3⋅∆b+2⋅∆b+∆A1.3A1.2OPзона № 1.1зона № 1.2зона № 1.3зона № 1.n и т.д.A1.1A1.ΣδδСеместр 3. Лекция 216AP = A1 − A2 + A3 − ... ± Am −1 ∓ Am ± Am +1 ∓ ...Разобьем первую зону на большое количество N внутренних зон таким же,как и выше, образом, но теперь расстояния от границ двух соседних внутреннихзон до точки Р будут отличаться на малую величину ∆ =λ 2.

Поэтому разностьNфаз волн, приходящих волн в точку Р будет равна малой величине δ = k ∆L =2π∆.λНа амплитудно-векторной диаграмме вектор амплитуды от каждой из внутреннихзон будут повернут на малый угол δ относительно предыдущего, Поэтому амплитуде суммарного колебания от нескольких первых внутренних зон будет соответствовать вектор A1.Σ соединяющий начало и конец ломаной линии. При увеличении номера внутренней зоны суммарная разность фаз будет нарастать, и на границе первой зоны станет равной π. Это означает, вектор амплитуды от последнейвнутренней зоны A1.N направлен противоположно вектору амплитуды от первойвнутренней зоны A1.N . В пределе бесконечно большого числа внутренних зон эталоманая линия перейдет в часть спирали.Амплитуде колебаний от перA1A3вой зоны Френеля тогда будетFA∞соответствовать вектор A1 , отA2двух зон - A2 и т.д.

В случае,если между точкой Р и источником света нет никаких преград, из точки наблюдения будет видно бесконечное число зон, поэтому спираль будет навиваться наточку фокуса F. Поэтому свободной волне с интенсивностью I0 соответствуетвектор амплитуды A∞ , направленный в точку F.Из рисунка видно, что для амплитуды от первой зоны можно получить оценку A1 = 2 A∞ , поэтому интенсивность от первой зоны I1 = 4 I 0 - в 4 раза больше интенсивности падающей волны.

Равенство A1 = 2 A∞ можно трактовать и по-другому.Если для бесконечного числа открытых зон суммарную амплитуду записать в видеСеместр 3. Лекция 21A∞ =7A1  A1A  AA A A+  − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  + ... +  m −1 − Am + m +1  + ...2  22   22 2  2(m – четное число), то из A1 = 2 A∞ следует оценка Am ≈Am −1 + Am +1.2Замечание.

Если каким-то образом изменить фазы колебаний в точке Р от чётныхзон или нечётных на π, или закрыть чётные или нечётные зоны, то суммарная амплитуда увеличится по сравнению с амплитудой открытой волны. Таким свойством обладает зонная пластинка - плоскопараллельная стекляннаяпластинка с выгравированными концентрическими окружностями,радиус которых совпадает с радиусами зон Френеля. Зонная пластинка «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, что приводит к увеличению интенсивности света в точке наблюдения.Дифракция на круглом отверстии.Рассуждения, приведённые выше, позволяют сделать вывод, что амплитудаколебания в точке Р зависит от числа зон Френеля. Если для точки наблюденияоткрыто нечётное число зон Френеля, то в этой точке будет максимум интенсивности.

Если открыто чётное числозон – то минимум.Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихсясветлых и тёмных колец.При увеличении радиуса отверстия (иувеличения числа зон Френеля) чередование тёмных и светлых колец будет наблюдаться только вблизи границы геометрической тени, а внутри освещённостьпрактически не будет меняться.Дифракция на малом диске.Рассмотрим схему опыта, в котором на пути световой волны расположеннепрозрачный круглый диск, радиус которого соизмерим с радиусами первых зонФренеля.Для рассмотрения дифракционной картины помимо обычных зон построимдополнительные зоны от края диска.Семестр 3. Лекция 218b+3 (λ/2)b+2(λ/2)зона № 3зона № 2b+(λ/2)зона № 1bи т.д.LaOPЗоны Френеля от края диска будем строить по прежнему принципу - расстояния от границ двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половины длины волны.