Семестр_3_Лекция_16 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекция 16Лекция 16. Излучение электромагнитных волн.Излучение электромагнитных волн ускоренно движущимися зарядами и диполем.Векторные потенциалы.Рассмотрим систему уравнений Максвелла ∂D∂BdivD = ρ , rot E = −, divB = 0 , rot H = j +.∂t∂tВ вакууме B = µ 0 H , D = ε0 E .Т.к. всегда div B = 0 , то существует векторное поле A , такое, что выполняется равенст-( )( )( ) ∂A ∂B∂rotAво B = rotA , поэтому также выполняется rot E = −=−= −rot   .

Откуда∂t∂t ∂t  ∂A ∂A = grad ( f ) (т.к. rot ( grad ( f ) ) = 0 ).rot  E +  = 0 , следовательно E +∂t ∂t ∂A∂AОбозначим f = −ϕ , тогда E += − grad ϕ или E = − grad ϕ −.∂t∂t∂A Из теоремы Гаусса divD = ρ следует ε0 div  − grad ϕ −  = ρ , т.е.∂t  ∂A ρdiv ( grad ϕ ) = − − div   или, с учётом обозначения div ( gradϕ ) = ∆ϕε0 ∂t ( )∆ϕ = −ρ ∂−divA .ε 0 ∂t()∂∂A ∂EИз B = µ 0 H и µ 0 rot H = µ 0 j + µ0 ε 0следует rot rotA = µ 0 j + µ 0 ε 0  − grad ϕ −  или∂t∂t ∂t ∂ϕ ∂2 Agrad div A − ∆A = µ 0 j − grad  µ 0 ε 0 − µ 0 ε 0 2 , откуда∂t ∂t∂2 A∂ϕ −∆A = −µ 0 ε 0 2 + µ 0 j − grad  div A + µ 0 ε0.∂t∂t (( ))( ( ))( )Таким образом, исходную систему четырех уравнений с помощью введённых величин можнозаписать в виде системы двух уравнений∆ϕ = −ρ ∂−divA ,ε 0 ∂t()∂2 A∂ϕ −∆A = −µ 0 ε 0 2 + µ 0 j − grad  div A + µ 0 ε0.∂t∂t ( )Далее, необходимо наложить дополнительные условия на введённые величины.1Семестр 3.

Лекция 16Пусть выполняется условие калибровки Лоренца∂ϕdiv A + µ 0 ε 0= 0.∂t( )Тогда из первого уравнения следует, чтоρ ∂ρ ∂∂ϕ ρ∂ 2ϕ∆ϕ = − −divA = − −  −µ 0 ε0 = − + µ0 ε0 2 ,ε 0 ∂tε 0 ∂t ∂t ε0∂t()и получаем систему волновых уравненийµ 0 ε 0µ ε 0 0∂2 A−∆A= µ0 j2∂t.∂ 2ϕρ− ∆ϕ =∂t 2ε0Т.е. вектор A и функция ϕ одновременно являются решениями волновых уравнений.Решения этой системы имеют вид r − r′j t −c r − r′ r − r′ ρt − c A ( r ) = ∫∫∫dV ′ , ϕ ( r ) = ∫∫∫dV ′ , r − r′V′V′где r - радиус-вектор точек области, где определяются величины A и ϕ, r ′ - радиус-вектор точек области V ′ , где задано распределение вектора плотности тока j и объёмной плотности за r − r′ r − r′ ряда ρ.

Запись j  t − и ρt − означает, что указанные величины берутся с учёc c том времени запаздывания - времени распространения сигнала от точки, заданной радиусвектором r ′ до точки, заданной радиус-вектором r . Скорость распространения сигналас=1.ε0µ 0Замечание. Возможны и дальнейшие преобразования уравнений. Например, если предположитьдополнительно существование такого векторного поля Π , что выполняется система равенств∂Πϕ = − div Π , A = µ 0 ε 0, то условие калибровки Лоренца выполняется автоматически. Такое∂t( )векторное поле называется полем Герца.Замечание.

Условие калибровки Лоренца не является единственно возможным. Например, длясистемы уравнений∆ϕ = −2ρ ∂−divA ,ε 0 ∂t()Семестр 3. Лекция 16∂2 A∂ϕ −∆A = −µ 0 ε 0 2 + µ 0 j − grad  div A + µ 0 ε0∂t∂t ( )можно сформулировать кулоновское условие калибровки – считать, что div A = 0 . Тогда,( )функция ϕ приобретает смысл потенциала электростатического поля, т.к. для неё выполняетсяравенство (уравнение Пуассона)∆ϕ = −ρ.ε0Если ввести вектор плотности полного тока ∂ϕ jП = j − grad  ε 0, ∂t то получаем закон сохранения электрического заряда ∂ρ∂ ∂ϕ  div ( jП ) = div ( j ) − div  grad  ε 0= 0.  = div ( j ) − ε 0 div ( grad ( ϕ ) ) = div ( j ) +∂t∂t ∂t  И векторная величина A будет являться решением волнового уравнения∂2 A∆A = µ 0 ε 0 2 − µ 0 jП .∂tЗамечание.

Условие калибровки Лоренца удобно для записи системы уравнений Максвелла врелятивистки инвариантном виде.♣Излучение электромагнитных волн.Как показывает опыт, электрические заряды, движущиеся с ускорением, излучают электромагнитные волны.Ускоренное движение электрических зарядов наблюдается, например, при протеканиипеременного тока в проводниках. Следовательно, переменный электрический ток должен создавать в окружающем пространстве электромагнитные волны.Для создания (и приёма) электромагнитных волн используют, в частности устройства,содержащие колебательный контур, состоящий, как известно, из катушки индуктивности конденсатора.

Частота волны в этом случае равна частоте контура.Рассмотрим небольшой прямолинейный проводник с переменным током. Т.к. по проводнику протекает ток, то на концах проводника будут накапливаться положительный и отрицательный заряды. Но ток переменный, поэтому заряды тоже будут переменными. (Получаеманалогию с диполем, заряды которого меняются во времени.)3Семестр 3. Лекция 16Направление вектора напряжённости магнитного поля вблизи проводника согласовано снаправлением тока правилом правого винта. При этом вблизи проводника направление вектораH будет практически сразу реагировать на изменение направления тока. Но, т.к. скорость распространения изменения параметров электромагнитного поля равна скорости света, и поэтомуограничена, то на больших расстояниях направление H не сразу изменится и в данный моментвремени будет направлено по предыдущему направлению тока.

Аналогично для направлениявектора напряжённости E электрического поля. Таким образом, в окружающем пространствеE(R2)R1H(R2)П(R2)H(R2)R2I(t)H(R1)П(R1)H(R2)E(R1)E(R1)будут наблюдаться переменные магнитное и электрическое поля. На больших расстояниях вектор Пойнтинга у такого электромагнитного поля направлен наружу, т.е. поток энергии направлен наружу от проводника.Вибратор Герца (диполь Герца, антенна Герца) — простейшая система для полученияэлектромагнитных колебаний - электрический диполь, дипольный момент которого быстро изменяется во времени. Технический эквивалент — небольшая антенна, размер которой многоменьше длины волны.Назван по имени Генриха Герца (Генрих Рудольф Герц (1857 - 1894) — немецкий физик), который использовал подобное устройство в качестве излучающей и приёмной антенн всвоих опытах, подтвердивших существование электромагнитных волн.Рассмотрим колеблющийся диполь, у которого вектор электрического дипольного мо мента меняется во времени p = p ( t ) .

В этом случае решение системы уравнений Максвелла(записанных с помощью векторных потенциалов) показывает, что в окружающем пространствебудут создаваться электромагнитные волны. Диполь называется элементарным, если длин волны излучения λ много больше длины диполя l.При этом все пространство вокруг диполя можно условно разделить на две части –ближнюю и дальнюю (волновую) зоны. В ближней зоне картина излучения сложная, энергияпостоянно перекачивается от излучателя в окружающее пространство и обратно.4Семестр 3. Лекция 16Зоной излучения является волновая зона. Дляволновая поверхностьПHθrpEнеё r>>λ.

В волновой зоне волновой поверхностью является сфера. Вектор E направлен по касательной кмеридианам этой поверхности, а вектор H - по касательной к параллелям. , т.е. E ⊥ H , а вектор Пойнтин га Π = E × H направлен по радиусу наружу. Амплитуды векторов обратно пропорциональны расстоянию отосьдиполядиполя11sin θ , H 0 ∼ sin θrrгде θ - азимутальный угол (угол между осью диполя и радиус вектором r )E0 ∼Соотношения между амплитудами в сферической волне такие же как и для плоской волныE0µµ 0=.H0εε 0Величина вектора Пойнтинга Π ∼sin 2 θобратно пропорциональна квадрату расстояния.r2Следовательно, в направлении оси диполя (т.е. θ=0) нет излучения, а в перпендикулярном направлении (θ=900) излучение максимальное.Пример.

Найдём зависимость мощности излучения диполя от расстояния в волновой зоне.Мощность излучения равна потоку вектора Пойнтинга, например, через сферу радиуса R>>λ, внутри которой находится диполь N = ∫∫ Π ,dS .ПdS()SθНа поверхности сферы векторы dS и Π сонаправле-dθны в каждой точке. Т.к. Π ∼sin 2 θ, то при θ=const величинаR2П не меняется, поэтому на поверхности выделим тонкоекольцо, отсекаемое двумя конусами, выходящими из центрасферы под углами θ и θ+dθ к оси диполя.

Площадь этого кольца dS K = 2πR sin θ⋅ Rd θ , откудаππ sin 2 θN =Π,dS=ΠdS∼2πRsinθ⋅Rdθ,N∼−2π(1 − cos 2 θ ) d ( cos θ )  = 83 πK∫∫S∫∫S∫0 R 2∫0()т.е. поток вектора Пойнтинга через сферу, в центре которой находится диполь, не зависит от расстояния до диполя Π∫∫ ,dS = co nst .♣()S5Семестр 3. Лекция 16Следовательно, общая мощность излученной электромагнитной волны (в вакууме) неменяется с расстоянием – через любую замкнутую поверхность (в волновой зоне), охватывающую диполь, за равные промежутки времени проходит одинаковое количество энергии. Мощность излучения элементарного диполя определяется выражением 21 2  d2 p N= .4πε 0 3c 3  dt 2 В частности, когда один из зарядов покоится , а второй вращается вокруг него с угловой d 2 pd2 p22скоростью ω, получаем, что=−ωp.Ноp=ql,=−qωl, тогдаdt 2dt 21 2q 2 4 21 2q 2 2ωl =N=an ,4πε0 3c 34πε 0 3c 3где an = ω2l - нормальное ускорение вращающегося заряда.

Оказывается, что эту формулуможно обобщить. Мощность излучения (при небольших величинах ускорения а)N=1 2q 2 2a .4πε 0 3c 3При этом заряженная частица теряет энергию, поэтому на заряженную частицу действует сила,называемая силой радиационного трения, величина которой определяется производной от ускорения1 2q 2 daF=.4πε 0 3c 3 dtЗамечание. Механическая модель атома состоит из тяжёлого положительно заряженного ядра илёгких отрицательно заряженных электронов, вращающихся вокруг него. Следовательно, электроны в этой модели движутся с ускорением, поэтому атом должен терять энергию на излучение.

И, в конце концов, электроны должны упасть на ядро. Т.е. механическая модель атома является неустойчивой. В этом заключается неустранимая проблема классического описаниястроения атома. Данное противоречие отсутствует в квантовой механике.Эффект Вавилова-ЧеренковаИзлучение Вавилова-Черенкова возникает при равномерном движении заряда в среде соскоростью, превышающей фазовую скорость света v >θvcв этой среде. Часnтица теряет энергию и тормозится.