49472 (Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты), страница 2

2016-07-30СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "49472"

Текст 2 страницы из документа "49472"

2.3 Процедура вычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши

procedure right(t: real; var x,f: vector_n);

Процедура вычисляет правые части системы однородных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши по формуле (4):

(4)

Текст процедуры приведен в приложении А, а схема в приложение Б.

2.4 Процедура RK2

procedure RK2(t: real; h: real; var x: vector_n);

Укажем формальные параметры:

t – независимая переменная ;

h – шаг интегрирования;

x – массив решений. При входе в процедуру решение в текущем узле интегрирования, при выходе в следующем.

Процедура RK2 выполняет шаг интегрирования системы ОДУ методом Рунге-Кутты 2-ого порядка из соотношения (5):

(5)

где

(6)

Процедура обращается к процедуре вычисления правых частей right с различными параметрами для вычисления и (6). Затем с Божьей помощью (5) считает значение .

Текст процедуры приведен в приложении А, схема в приложение Б.

2.5 Процедура RK4

procedure RK4(t: real; h: real; var x_4: vector_n);

Формальные параметры:

t – независимая переменная ;

h – шаг интегрирования;

x – массив решений. При входе в процедуру решение в текущем узле интегрирования, при выходе в следующем.

Процедура RK4 выполняет шаг интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.2) методом Рунге-Кутты 4-ого порядка (7).

(7)

где

(8)

Процедура четыре раза обращается к процедуре вычисления правых частей right с разными параметрами для вычисления , , , (8). Затем с Божьей помощью (7) считает значение .

Текст процедуры приведен в приложении А, схема в приложение Б.

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3.1 Анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвертого порядков

Плоды деятельности на ПЭВМ приводятся в приложении В. Результат упорного труда программы представлены в графическом виде (рисунок 1).

Рисунок 1 – Зависимость оценки e2 от шага интегрирования

Рисунок 2 – Зависимость оценки e4 от шага интегрирования

На рисунках изображены зависимости оценки погрешности интегрирования от величины шага интегрирования для обоих методов. Из него видно, что практические результаты соответствуют теоретическим положениям, но не совсем.

При шаге от 0.1 до 1 бесспорно влияние погрешности интегрирования как в методе второго, так и в методе четвертого порядков. Ошибка на данном интервале начинает лавинообразно возрастать, что связано с нарушением устойчивости алгоритма.

С дальнейшим уменьшением шага до 0.1 – 0.001 величина погрешности уменьшается за компанию, и наблюдается достаточно большая точность вычислений.

Дальнейшее уменьшение шага (менее 0.001) вызывает увеличение полной ошибки, а также скверное её поведение. Это связано с возрастанием влияния ошибки вычислений из-за увеличения количества вычислений, необходимых для получения решения. На фоне уменьшения алгоритмической погрешности решающую роль играет погрешность вычислений, которая представляет собой сумму всех ошибок округления при реализации данного метода на конкретной ПЭВМ.

Из двух методов 2-го и 4-го порядков при одинаковых значениях шага точнее метод четвертого порядка, но при уменьшении шага, точность методов постепенно выравнивается.

3.2 Проверка гипотезы Рунге

Согласно гипотезе, суммарная погрешность алгоритма при интегрировании ДУ с постоянным шагом пропорциональна величине шага в степени, равной порядку метода.

(1)

Результаты вычислений на ПЭВМ приводятся в приложении В. Результат работы программы наглядно представлены в графическом виде (рисунок 2).

Рисунок 3 – Зависимость отношения оценки погрешности к величине шага интегрирования в степени, равной порядку метода от шага интегрирования

Гипотеза Рунге экспериментально подтверждается только при таких значениях шага (1-0.01), где погрешность вычисления ПЭВМ влияет на результат в благоразумных пределах. При дальнейшем уменьшении шага пропорциональность скрывается из виду. Это можно истолковать тем, что предположение Рунге не учитывает влияния ошибки вычисления ПЭВМ на полученный результат.

3.3 Исследование поведение ошибки интегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге-Кутты при различных значениях шага

Для проведения своих изысканий нам необходимо выбрать 3 значения шага в начале, середине и конце диапазона изменения шага и построить графические зависимости решений от независимой переменной и погрешностей интегрирования от независимой переменной.

Результаты вычислений на ЭВМ приводятся в приложении В. Результат работы программы наглядно представлены в графическом виде (рисунок 3 и 4).

Рисунок 4 – График точного и приближенных решений (h=0.001, 0.1, 0.5) дифференциального уравнения

На рисунке 3 слегка, но все-таки заметны отклонения приближённых решений при разной величине шага от точного, что подтверждает высокую точность получаемого приближенного решения относительно точного.

Рисунок 5 – График зависимости величины ошибки интегрирования от независимой переменной при h=0.001, 0.1, 0.5

При шаге, численно равном 0.5 из рисунка 5 очевидно, что различия между погрешностями методов 2-ого (E5) и 4-ого (E6) порядков довольно значительны, что объясняется более высокой точностью метода 4-ого порядка.

Разница ошибок интегрирования для обоих методов при шаге интегрирования 0.1 остается достаточно высокой, но следует подметить, что точность метода Рунге-Кутты 4-ого порядка при данном значении шага выше, чем при меньшем h=0.001 (это обусловлено тем, что алгоритмическая ошибка стремится к нулю, а вычислительная ещё не показывает свой отвратительный характер).

При величине шага интегрирования h=0.001 ошибки интегрирования (E1 и E2), равно как и при больших h возрастают с ростом независимой переменной, что слава Богу не противоречит теории, однако прослеживается скачкообразный характер графиков, что связано с внушительной лептой вычислительной ошибки в общую погрешность.

3.4 Сравнительный анализ эффективности методов Рунге-Кутты при различных требованиях к точности вычисления

Для анализа надлежит оценить затраты машинного времени на интегрирование ДУ в зависимости от величины погрешности интегрирования.

Так как для довольно непростых уравнений львиная доля времени уходит на вычисление правых частей уравнений, то в качестве оценки затрат машинного времени можно принять количество вычислений правых частей при нахождении решения на всём отрезке интегрирования, что есть произведение количества шагов интегрирования на порядок метода. Зависимость оценки ошибки интегрирования от количества шагов интегрирования определена.

Замечательные результаты вычислений на ПЭВМ приведены все в том же приложении В. Результат работы программы представлены графически (рисунок 5).

Рисунок 6 – График зависимости величины ошибки интегрирования от количества вычислений правой части

Из близлежащего графика практически определяется метод для различных требованиях к точности и времени работы нашей замечательной программы.
График наглядно демонстрирует, что наличествует такой предел шага, ниже которого программа гоняет свои байты зря, так как оценка погрешности растёт из-за ошибки вычисления ПЭВМ. Стало быть, на практике следует выбирать определенный промежуток шага, желательно в котором алгоритм устойчив.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При реализации на практике задания для курсовой работы, заключающегося в интегрирования ОДУ, была составлена и отлажена программа, приведенная в приложении А. С помощью данной программы проведена серия опытных исследований свойств методов Рунге-Кутты второго и четвёртого порядков.

При задании определенного интервала значений шага интегрирования ошибка интегрирования уменьшается с уменьшением шага. Подтверждение сего факта можно без труда найти в теории. Однако нельзя обойти вниманием тот труднооспоримый аргумент, что для довольно незначительных значений с уменьшением шага интегрирования ошибке свойственно увеличивается. Это связано с лавинообразным ростом числа требуемых для получения решения вычислений и c увеличением ошибки вычислений.

На заданном интервале значений (при условии, что на интервале ошибка вычислений велика не до безобразия), при одинаковых значениях шага интегрирования метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет достаточно малую ошибку вычисления относительно ошибки метода Рунге-Кутты второго порядка.

Следует отметить, что коэффициент (формула (1) раздела 3) для таких значений шага интегрирования, при которых можно скрипя сердцем считать его неизменным, имеет меньшее значение для метода Рунге-Кутты четвёртого, нежели второго порядка. Отсюда мораль: ошибка интегрирования с помощью метода Рунге-Кутты четвёртого порядка меньше ошибки интегрирования при использовании метода Рунге-Кутты второго порядка и обусловлено это не только тем, что она обратно пропорциональна величине шага в четвёртой, а не во второй степени, но и оттого, что коэффициент пропорциональности при этом существенно меньше.

Метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет значительно меньшую ошибку вычисления, нежели метод Рунге-Кутты второго порядка (при условии идентичных машинных затрат). При неизменной требуемой точности для метода Рунге-Кутты четвёртого порядка необходимы меньшие затраты машинного времени относительно метода Рунге-Кутты второго порядка, отчего при корректном выборе шага интегрирования метод Рунге-Кутты четвёртого порядка значительно результативнее, чем метод Рунге-Кутты второго порядка.

БИБЛИОГРАФИЯ

  1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы .М.: Наука, ГРФМЛ, 1989.- 432с.

  2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, ГРФМЛ,1987.-600 с.

  3. Ляшко И.И., Макаров В.Л. Интегральные методы вычислений. Киев, 1977, 408с.

  4. Мантуров О.В. Курс высшей математики М.:В.Ш.-1991.-448с.

  5. Маликов В.Т. Вычислительные методы и применение Киев: В.Ш.-1989.-213 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(Справочное)

Основная программа

program DU(input,output);

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5075
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее