48217 (Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами)

2016-07-30СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "информатика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "информатика, программирование" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "48217"

Текст из документа "48217"

Зміст

1. Короткі теоретичні відомості

2. Розробка алгоритму розв’язання задачі

3. Результати обчислень і оцінка похибки

Висновки

Література

Додаток

1. Короткі теоретичні відомості

Часто задачі техніки і природознавства математично зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови (задачі Коші). Про інтегрувати таке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. при цьому дістають здебільшого такий вигляд, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватись ним не зручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) диференціального рівняння

, (1.1)

який задовольняє початкову умову

( 1.2)

Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву y(x) рівняння (1.1), яка проходить через точку (x0,y0).

Задача Коші (1.1) – (1.2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні умови такої теореми.

Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику

з центром у точці (х0,у0) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що

( 1.3)

для будь-яких точок 11) і 22) , то існує єдина диференційована функція , яка є розв’язком диференціального рівняння (1.1). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [x0-h; x0+h], де

( 1.4)

Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розв’язок у точці хk+1=xk+h, досить знайти її розвязок в точці хk.

І оскільки розв’язок задачі в точці х0 відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу послідовно обчислити значення розв’язку в наступних точках х10+h, x2=x1+h,...

Окремим представником однокрокових чисельних методів є методи типу Ейлера. Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1.1) задовольняє умови теореми Пікара [1].

Метод Ейлера

Нехай на відрізку [x0,x0+l] треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші(1.1)-(1.2). Для цього відрізок [x0,x0+l] поділимо на n (для простоти) рівних частин точками

х0, х1, х2,..., хn=x0+l, де хk=x0+kh (k=0,1,2,...,n), .

Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1.1).

Розв’язати задачу (1.1)-(1.2) чисельно – це означає для заданої послідовності х0, х1,…, хn=b=x0+l незалежної змінної х та числа у0 знайти числову послідовність у1, у2,…, уn, тобто для заданої послідовності значень незалежної змінної xk=x0+kh (k=0, 1, ..., n) побудувати таблицю наближених значень шуканого розв’язку задачі Коші.

Якщо наближений розв’язок задачі (1.1)-(1.2) в точці хk відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від хk до хk+1, знайдемо його розв’язок в точці хk+1 за формулою:

(1.5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1.1) - (1.2). Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

(1.6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку О(h2), дістанемо розрахункову формулу:

(1.7)

яку називають формулою Ейлера. уk i y(xk) – відповідно наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1.1) і (1.2) у точці хk. Різницю уk-y(xk) називають похибкою наближеного значення уk у точці xk.

Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (xk,yk) матиме вигляд:

або

Звідси для ординати точки уk+1 перетину цієї дотичної з прямою х=хk+1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [xk,xk+1], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (xk,yk). Якщо в площині Оху позначити точки Мk(xk;yk), k=0, 1, 2,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1.1) – (1.2). У цьому і полягає геометричний зміст методу Ейлера (див. рис. 1)

у

l4

l3

l2

l1


у4


у1

у=f(x)



у0


х0

0

х

х1

х4

Рисунок 1.


Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку О(h2). Точність методу досить мала і переходом від точки xk до точки xk+1 її похибка систематично зростає.

Виправлений метод Ейлера.

Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою середніх прямокутників, тобто значення підінтегральної функції f(x,y(x)) обчислити в точці

, то знайдемо

(1.8)

Величину невідомого значення функції у( ) обчислимо за формулою (1.6) з кроком . Матимемо:

Підставивши це значення у( ) в (1.8), дістанемо

Відкинувши тут доданок пропорційний h3, матимемо

Розрахункові формули вдосконаленого методу Ейлера можна записати у вигляді

Отже, в удосконаленому методі Ейлера спочатку за метод Ейлера обчислюють наближений розв’язок у задачі (1.1)-(1.2) в точці а потім наближений розв’язок уk+1 у точці хk+1; на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі (у точках (хkk) і ( )).

Геометрично це означає, що на відрізку [xk,xk+1] графік інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) замінюється відрізком прямої, яка проходить через точку (xk,yk) і має кутовий коефіцієнт k= . Іншими словами, ця пряма утворює з додатним напрямом осі Ох кут .

М

l1

l2

y=f(x)

Yk

Yk+

Y

x

xk+1

xk+

xk

0


Yk+1


Рисунок 2.


Що ж до точки ( ), то це точка перетину дотичної до інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (хk,yk) з прямою Похибка на кожному кроці має порядок О(h3).

Модифікований метод Ейлера.

Якщо інтеграл в правій частині формули (1.5)обчислити за формулою трапеції, то матимемо

(1.11)

Невідоме значення у(хk+1), що входить до правої частини цієї рівності, можна обчислити за формулою (1.7). Підставивши його в праву частину рівності (1.11), дістанемо рівність:

Звідси для удосконаленого методу Ейлера-Коші матимемо такі розрахункові формули:

(1.12)

(1.13)

Отже, і в цьому методі на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі: спочатку за методом Ейлера (формула (1.12)) обчислюють наближене значення шуканого розв’язку у точці хk+1, яке потім уточнюють за формулою (1.13). Похибка методу на кожному кроці має порядок О(h3).

Така побудова наближеного розв’язку задачі (1.1)1(1.2) з геометричної точки зору означає, що на відрізку [xk,xk+1] графік інтегральної кривої наближають відрізком прямої, яка проходить через точку (xk,yk) і має кутовий коефіцієнт Тобто ця пряма утворює з додатним напрямком осі Ох кут

у

M


l1


l

l


yk

yk+1

k+1

l2


х

хk+1

хk

0


Рисунок 3.


Координати точки (xk+1, ) визначають як точку перетину дотичної у=уk+f(xk,yk)(x-xk) до графіка інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (xk,yk) з прямою х=хk [2].

2. Розробка алгоритму розв’язання задачі

Стандартний спосіб розв’язання задачі Коші чисельними однокроковими методами – це зведення диференціальних рівнянь n-го порядку до систем з n рівнянь 1-го порядку і подальшого розв’язання цієї системи стандартними однокроковими методами:

Для рівняння введемо заміну тоді для даного рівняння можна записати еквівалентну систему із двох рівнянь:

Запишемо для кожного з цих рівнянь ітераційне рівняння:

для модифікованого методу :Ейлера:

для виправленого методу Ейлера:

Таким чином знаходиться масив точок функції ymn з різними кроками тобто n1=(b-a)/0,1=10+1 раз з кроком 0,1 і n2=(b-a)/0,05 раз з кроком 0,05. Це необхідно для оперативного визначення похибки за методом Рунге (екстраполяції Рідчардсона) [3].

Загальний вигляд похибки для цих двох методів , де с визначається саме за методом Рунге , звідки с на кожному кроці обчислень знаходиться за формулою:

.

Знаючи с можна знайти локальну похибку і просумувавши її по всьому діапазону інтегрування визначити загальну похибку обчислень.

Мовою програмування було обрано Turbo C++. Вона виявилась найзручнішою із тих мов, в яких мені доводилось працювати.

Програма складається з трьох допоміжних функцій float f(x,y,z), void eylermod() i eylerisp(). eylermоd() реалізовує модифікований метод Ейлера, eylerisp() – виправлений метод, а функція f(x,y,z) повертає значення другої похідної рівняння.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее