Линейная алгебра (Кузнецов Л.А. - Сборник заданий по высшей математике)
Описание файла
Файл "Линейная алгебра" внутри архива находится в следующих папках: zadachnik-kuznecov, kuznecov.sbornik.zadanii.po.vyissheji.matematike. Документ из архива "Кузнецов Л.А. - Сборник заданий по высшей математике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Линейная алгебра"
Текст из документа "Линейная алгебра"
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
Baumanki.net
§ 10.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
-
Линейное пространство. Базис. Координаты.
-
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
-
Линейный оператор. Матрица оператора.
-
Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
-
Действия над линейными операторами.
-
Собственные векторы и собственные значения.
-
Евклидово пространство. Неравенство Коши—Буняковского.
-
Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.
-
Ортогональное преобразование; свойства; матрица.
10) Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
§ 10.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства пространства , если задано уравнением
-
Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.
Найти матрицу этого же оператора в базисе .
-
Найти ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.
-
Пусть и — собственные векторы линейного оператора , относящиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором оператора .
-
Доказать, что если матрица оператора А — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).
§ 10.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?
1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа; сумма , произведение .
2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .
3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей; сумма , произведение .
4. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма , произведение .
5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .
6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов ; сумма , произведение .
7. Множество всех функций , принимающих положительные значения; сумма , произведение .
8. Множество всех непрерывных функций , заданных на ; сумма , произведение .
9. Множество всех четных функций , заданных на ; сумма , произведение .
10. Множество всех нечетных функций , заданных на ; сумма , произведение .
11. Множество всех линейных функций , ; сумма , произведение .
12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной ; сумма , произведение .
13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных ;
14. Множество всех упорядоченных наборов из чисел , ;
15. Множество всех упорядоченных наборов из чисел
16. Множество всех сходящихся последовательностей , ;
17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной ;
18. Множество всех многочленов от одной переменной степени ;
19. Множество всех диагональных матриц
20. Множество всех невырожденных матриц
21. Множество всех квадратных матриц
22. Множество всех диагональных матриц , , ;
23. Множество всех прямоугольных матриц
24. Множество всех симметричных матриц
25. Множество всех целых чисел; сумма , произведение .
26. Множество всех действительных чисел; сумма , произведение .
27. Множество всех положительных чисел; сумма , произведение .
28. Множество всех отрицательных чисел; сумма , произведение .
29. Множество всех действительных чисел; сумма , произведение .
30. Множество всех дифференцируемых функций ; сумма , произведение .
31. Множество всех дифференцируемых функций ; сумма , произведение .
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
Задача 3. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
Задача 4. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .
1.
Задача 5. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования:
15.
16.
18.
Задача 7. Найти матрицу линейного оператора в базисе , где , если она задана в базисе .
Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе ), образ и ядро оператора:
2. Проектирования на плоскость .
4. Зеркального отражения относительно плоскости .
6. Проектирования на плоскость .
7. Зеркального отражения относительно плоскости .
8. Зеркального отражения относительно плоскости .
9. Проектирования на плоскость .
10. Проектирования на плоскость .
11. Проектирования на плоскость .
12. Зеркального отражения относительно плоскости .
13. Зеркального отражения относительно плоскости .
14. Поворота относительно оси на угол в положительном направлении.
15. проектирования на плоскость .
16. проектирования на плоскость .
17. зеркального отражения относительно плоскости .
18. зеркального отражения относительно плоскости .
19. проектирования на плоскость .
20. проектирования на плоскость .
21. зеркального отражения относительно плоскости .
22. поворота относительно оси в положительном направлении на угол .
23. проектирования на плоскость .
24. зеркального отражения относительно плоскости .
25. поворота в положительном направлении относительно оси на угол .
26. проектирования на плоскость .
27. проектирования на плоскость .
28. проектирования на плоскость .
29. проектирования на плоскость .
30. поворота относительно оси в положительном направлении на угол .
31. проектирования на плоскость .
Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
4.
Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.