Курс лекций 7 (Лекции)

2018-01-11СтудИзба

Описание файла

Файл "Курс лекций 7" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Курс лекций 7"

Текст из документа "Курс лекций 7"

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 7. Преобразование Лапласа.

Введение. Интегралы, зависящие от параметра.

Пусть С – кусочно гладкая, не ограниченная в одну сторону, кривая

Пусть f(z,) определена при zD ( некоторая область ) и С. Интеграл от параметра определяется по формуле

Этот интеграл называется сходящимся равномерно в D, если

Признак Вейерштрасса. Если

  1. для С,zD : |f(z,)| g() , g() действительно-значная функция,

  2. сходится,

то сходится равномерно на D.

§1 Преобразование Лапласа.

Определение. Комплекснозначная функция f(t), t(-,) называется оригиналом, если

  1. f(t)=0 при t<0

  2. в (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h) - f(t)| A|h|, для всех h,|h| h0, 1 на интервалах непрерывности функции

  1. M s t: |f(t)| Mest (*)

Число , S – множество тех s, для которых выполнено условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+i, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F f, f F.

Замечание. Отметим, что если f(t) оригинал, то и tkf(t) – также оригинал. Кроме того, интеграл будет сходиться равномерно по параметру в любом множестве Re p q > s0 .

Это следует из признака Вейерштрасса с учетом неравенств

|tk f(t)e-pt| Meteste-(Re p)t Meteste-q t M =Me- t,>0, где выбрано так, что |tk | Сet. Кроме того, | f(t)| B est , s+ < q.

Теорема 1. Для любого оригинала f(t) с показателем s0 , изображение F(p) определено в полуплоскости s=Re p > s0 , является в этой области аналитической функцией, стремящейся к 0 при s ( равномерно относительно arg p ). При этом

Доказательство.

Сходимость интегралов и следует из сделанного замечания. Обозначим , . Интегралы, полученные формальным дифференцированием

,

,

сходятся равномерно на любых отрезках изменения параметров (по параметру x отрезок, где имеет место равномерная сходимость должен лежать в области x > s0), поэтому исходные интегралы можно дифференцировать по параметру и выполнены условия Коши Римана. Далее при s = Re p > s1 > s0

Следствие.

Теорема 2. Если Ff (f – кусочно гладкая ), то в точках непрерывности f(t) имеет место равенство

, где интеграл берётся вдоль любой прямой Re p = const > s0, и интеграл берётся в смысле главного значения

без доказательства.

Теорема 3 ( Достаточные условия существования оригинала ). Если F(p) аналитична в { Re p > s0 } и при p, тогда интеграл

не зависит от a, является оригиналом и F(p)=L[f].

( только формулировка )

§2 Свойства преобразования Лапласа

В этом параграфе везде под f(t) понимается f(t)H(t) (H - функция Хевисайда ).

Отметим, что

  1. Линейность.

f(t)+g(t)F(p)+G(p)

2) Свойство подобия. При 0

3) Свойство запаздывания.

Для  f(t-)e-pF(p). Действительно

  1. Как уже отмечалось, F(n)(p)(-1)ntnf(t), откуда следует

  1. Дифференцирование оригинала

f(t)pF(p)-f(0),

действительно

Следствие. f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f(0)-…-f(n-1)(0)

Доказательство. F[f]=pF[f]-f(0),F[f]=pF[f]-f(0)=p(pF[f]-f(0))-f(0)

  1. Интегрирование изображения

Если f(t)F(p), Re p > s0 и - оригинал, то

Доказательство.

  1. Интегрирование оригинала.

Если f(t)F(p), Re p > s0, то

Доказательство. f(t)=g’(t)pG(p)-g(0)=pG(p) откуда F(p)=pG(p)

  1. Свертка оригиналов и умножение изображений.

Определение.

Отметим, что f*g=g*f, Сделать замену u = t - , d = -dt.

f*gF(p)G(p)

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.

  1. Умножение оригиналов, свёртка изображений

без доказательства.

  1. Свойство смещения

F(p-)etf(t)

Доказательство из определения.

  1. Первая теорема разложения (Теорема 1 Хевисайда).

Если F(p) аналитична в {R<|p|<} и

то оригиналом является

Доказательство.  - устранимая о.т.  |F(p)|<M,|p|R.Положим , аналитична в круге |q|<1/R, поэтому неравенство Коши даёт для коэффициентов |c-k|<MRk. Таким образом,

.

Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся степенным рядом в любом круге. В этом случае ряд можно почленно интегрировать

по свойству 4) при r

, поэтому

  1. Вторая теорема Хевисайда. Если

    1. F(p) мероморфна в некоторой полуплоскости Re p > s0 и F()=0

    2. F(p)0 при p равномерно относительно arg p

Тогда оригиналом для F служит ( умноженная на H(t) ) функция

по полюсам в порядке убывания их модулей функции F.

Доказательство. При сделанных предположениях для оригинала f(t)F(p) справедлива формула

(*)

Обозначим через Cn часть окружности Cn, расположенную слева от прямой Re p = a, через aibn точки пересечения Cn с этой прямой и через n контур, составленный из [a-ib,a_ib] и Cn, проходимый против часовой стрелки.

Так как по лемме Жордана при t < 0

то при t>0 вместо (*) можно писать

ч.т.д.

Следствие. Если функция дробно-рациональная и дробь правильная, то оригиналом ее служит функция

где pk

полюсы F(p), nk – из кратности, сумма берется по всем полюсам.

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее