Курс лекций 7 (Лекции)
Описание файла
Файл "Курс лекций 7" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Курс лекций 7"
Текст из документа "Курс лекций 7"
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 7. Преобразование Лапласа.
Введение. Интегралы, зависящие от параметра.
Пусть С – кусочно гладкая, не ограниченная в одну сторону, кривая
Пусть f(z,) определена при zD ( некоторая область ) и С. Интеграл от параметра определяется по формуле
Этот интеграл называется сходящимся равномерно в D, если
Признак Вейерштрасса. Если
§1 Преобразование Лапласа.
Определение. Комплекснозначная функция f(t), t(-,) называется оригиналом, если
-
f(t)=0 при t<0
-
в (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица
|f(t+h) - f(t)| A|h|, для всех h,|h| h0, 1 на интервалах непрерывности функции
-
M s t: |f(t)| Mest (*)
Число , S – множество тех s, для которых выполнено условие (*), называется показателем роста оригинала.
Пример. Функция Хевисайда
Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+i, определяемую равенством
Пишут F=L[f], F f, f F.
Замечание. Отметим, что если f(t) оригинал, то и tkf(t) – также оригинал. Кроме того, интеграл будет сходиться равномерно по параметру в любом множестве Re p q > s0 .
Это следует из признака Вейерштрасса с учетом неравенств
|tk f(t)e-pt| Meteste-(Re p)t Meteste-q t M =Me- t,>0, где выбрано так, что |tk | Сet. Кроме того, | f(t)| B est , s+ < q.
Теорема 1. Для любого оригинала f(t) с показателем s0 , изображение F(p) определено в полуплоскости s=Re p > s0 , является в этой области аналитической функцией, стремящейся к 0 при s ( равномерно относительно arg p ). При этом
Доказательство.
Сходимость интегралов и следует из сделанного замечания. Обозначим , . Интегралы, полученные формальным дифференцированием
сходятся равномерно на любых отрезках изменения параметров (по параметру x отрезок, где имеет место равномерная сходимость должен лежать в области x > s0), поэтому исходные интегралы можно дифференцировать по параметру и выполнены условия Коши Римана. Далее при s = Re p > s1 > s0
Теорема 2. Если Ff (f – кусочно гладкая ), то в точках непрерывности f(t) имеет место равенство
, где интеграл берётся вдоль любой прямой Re p = const > s0, и интеграл берётся в смысле главного значения
без доказательства.
Теорема 3 ( Достаточные условия существования оригинала ). Если F(p) аналитична в { Re p > s0 } и при p, тогда интеграл
не зависит от a, является оригиналом и F(p)=L[f].
( только формулировка )
§2 Свойства преобразования Лапласа
В этом параграфе везде под f(t) понимается f(t)H(t) (H - функция Хевисайда ).
-
Линейность.
f(t)+g(t)F(p)+G(p)
2) Свойство подобия. При 0
3) Свойство запаздывания.
Для f(t-)e-pF(p). Действительно
-
Дифференцирование оригинала
f(t)pF(p)-f(0),
Следствие. f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f(0)-…-f(n-1)(0)
Доказательство. F[f]=pF[f]-f(0),F[f]=pF[f]-f(0)=p(pF[f]-f(0))-f(0)
-
Интегрирование изображения
Если f(t)F(p), Re p > s0 и - оригинал, то
-
Интегрирование оригинала.
Если f(t)F(p), Re p > s0, то
Доказательство. f(t)=g’(t)pG(p)-g(0)=pG(p) откуда F(p)=pG(p)
-
Свертка оригиналов и умножение изображений.
Определение.
Отметим, что f*g=g*f, Сделать замену u = t - , d = -dt.
f*gF(p)G(p)
Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.
-
Умножение оригиналов, свёртка изображений
без доказательства.
-
Свойство смещения
F(p-)etf(t)
Доказательство из определения.
-
Первая теорема разложения (Теорема 1 Хевисайда).
Если F(p) аналитична в {R<|p|<} и
Доказательство. - устранимая о.т. |F(p)|<M,|p|R.Положим , аналитична в круге |q|<1/R, поэтому неравенство Коши даёт для коэффициентов |c-k|<MRk. Таким образом,
Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся степенным рядом в любом круге. В этом случае ряд можно почленно интегрировать
-
Вторая теорема Хевисайда. Если
Тогда оригиналом для F служит ( умноженная на H(t) ) функция
по полюсам в порядке убывания их модулей функции F.
Доказательство. При сделанных предположениях для оригинала f(t)F(p) справедлива формула
Обозначим через C’n часть окружности Cn, расположенную слева от прямой Re p = a, через aibn точки пересечения Cn с этой прямой и через n контур, составленный из [a-ib,a_ib] и C’n, проходимый против часовой стрелки.
Так как по лемме Жордана при t < 0
то при t>0 вместо (*) можно писать
ч.т.д.
Следствие. Если функция дробно-рациональная и дробь правильная, то оригиналом ее служит функция
где pk
полюсы F(p), nk – из кратности, сумма берется по всем полюсам.
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru