Курс лекций 6 (Лекции)

2018-01-11СтудИзба

Описание файла

Файл "Курс лекций 6" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Курс лекций 6"

Текст из документа "Курс лекций 6"

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 6. Элементы теории вычетов и их приложение к вычислению интегралов

§1 Вычеты

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке

a изолированная особая точка. По определению существует кольцо K={0<|z-a|<R}, где f – аналитическая функция.

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a называется величина

в положительном направлении.

Определение корректно.

По теореме Лорана

Откуда , таким образом

Пусть a – полюс порядка n

f(z) = c-n(z-a)-n+…+c-1(z-a)-1+c0+c1(z-a)+…,c-n0

тогда

(z-a)nf(z)=c-n+…+c-1(z-a)n-1+c0(z-a)n

. Таким образом,

(3)

Для полюса первого порядка

Пусть

, - аналитические, (a)0,(a)=0,(a)0.

Отметим, что при сделанных предположениях g(a )= ( a ) . Действительно, по условию (z)=(z-a)g (z), где g (a)0. Тогда, (z)=(z-a)g (z)+g(z), откуда следует, что g(a )= ( a ). Поэтому

(3)

2.Вычет в и.о.т. .

z= и.о.т. функции f, K={R<|z|<}, где f аналитична.

Определение . Вычетом функции f(z) в и.о.т. называется величина

,

- окружность с центром в начале координат, радиуса , проходимая по часовой стрелке.

Теорема Лорана , где

3.Теоремы о вычетах.

Основная теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа и.о.точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в DD. Тогда

Тероема о сумме вычитов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек a1,…,an, то

4. Принцип аргумента.

Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, k=1,…,n порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bkD кратностей k. Тогда

Доказательство. Выберем достаточно малые окрестности нулей и полюсов функции f(z). Объединение окружностей-границ этих кругов с положительной ориентацией обозначим (см. рисунок).

Область, полученная из D удалением этих окрестностей вместе с их границами, будет p+n+1 связной областью с границей DE-. В этой области функция аналитична.

Тогда

.

Первый интеграл в правой части этого равенства в силу аналитичности подинтегральной функции. Второй интеграл будет равен

.

В некоторой окрестности нуля b кратности

. Аналогично, в некоторой окрестности полюса

Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:

(D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, k=1,…,n порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bk кратностей k. ) Справедливо равенство

где - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы D ( обл. слева )

Основная теорема алгебра. В C всякий многочлен P(z)=Pn(z) имеет ровно n корней.

следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N.

, где (z) аналитична в {R1<|z|<}. Поэтому имеем разложение в ряд Лорана , тогда

, откуда следует .

§2. Вычисление интегралов

1.Определение несобственного интеграла

Особенности на концах. - кусочно гладкая, aC ( начало ),b ( конец ). F(z) непрерывна во всех конечных z на кроме быть может точки a. Любая окружность с центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.

Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей

2. Интегралы вида

Лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 }, кроме конечного числа и.о.т. ak{Im z > 0} и , то

Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] CR , СRверхняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все полюса ak . Тогда

=

Далее

.

Переходя к пределу в (*) при R получим требуемое равенство.

Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в { |z|R0, Im z > -a, a>0 } кроме конечного числа о.т. ak{Im z > 0}, на вещественной оси имеются только полюсы первого порядка bk и , то

Пример.

3. Интегралы вида

Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в { |z|R0, Im z > -a, a>0 } и (CR - верхняя полуокружность).

Тогда для любого >0.

Доказательство. На окружности радиуса R имеем . Тогда, учитывая неравенство , для окружности z(t)=Reit получим

= .

Следствие. При сделанных предположениях

§3Простейшие классы аналитических функций.

Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она аналитична в С. Целая функция называется целой рациональной, если её полюс. Целая функция называется целой трансцендентной, если существенно особая точка.

Примеры. ez, cos z, sin z, Pn(z).

Свойства целых функций

  1. устранимая о.т. целой f, то f есть константа.

Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z) ограничена в окрестности бесконечности, поэтому она постоянна по теореме Лиувиля.

  1. полюс кратности n, n>=1, то f есть полином степени n.

Доказательство.

, обозначим ,

Функция (z)=f(z)-Pn(z) будет, как разность двух целых функций, аналитической во всей комплексной плоскости и имеет в  устранимую особенность, следовательно она константа по т. Лиувиля.

Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом круге нет других о.т. кроме полюсов.

Свойства мероморфных функций.

  1. В любом круге лишь конечное число полюсов.

  2. Если - полюс для мероморфной функции, то она рациональна.

Доказательство. Так как  и.о.т., то в расширенной комплексной плоскости имеется лишь конечное число полюсов a0=, a1,…,an. Имеем ряды Лорана в окрестностях конечных точек

.

Разложение в окрестности  имеет вид

Фунции m, m=0,…,n – рациональные.

имеет точки a0,…,an своими устранимыми особыми точками, поэтому эта функция, после доопределения, будет ограниченной в С и следовательно константой.

Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена и простейших дробей вида . Это фактически доказано в предыдущей теореме.

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее