Курс лекций 2 (Лекции)

2018-01-11СтудИзба

Описание файла

Файл "Курс лекций 2" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Курс лекций 2"

Текст из документа "Курс лекций 2"

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.

§1 Аналитические функции

  1. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.

f(z) – однозначная функция в области DC, w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y), z = x + i y, z = x + iy, w = f = u + iv.

Определение. Моногенность или существование производной в точке. Существует конечный предел .

Замечание: Для существования f(z0) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности (проколотой) точки z0 имело место представление

w = A z + z, ( A = f(z0) ), - бесконечно малая.

Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z0 необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана

Необходимость: Возьмём z = x, тогда f(z0) = ux +ivx. Возьмём z = iy, тогда f(z0) = uy +i vy = vy -i uy. Сравнивая, получим требуемые соотношения.

Достаточность: В силу дифференцируемости w = u + i v = uxx + uyy +|z|+i(vxx + vyy) +i|z|= uxx + uyy +i(-uy x + ux y)+|z|= (ux -iuy) x + (ux -iuy )iy+|z|=(ux -iuy) z+|z||=(ux -iuy) z+ z=Az+z.

Замечание 1. Как это следует из доказательства в случае дифференцируемости u и v имеет место равенство

w = uxx + uyy +i(-uy x + ux y)+z

Замечание 2. Можно показать, что uxx + uyy +i(vxx + vyy) = . Действительно: x = ,y = , x= , y = , f=uxx+uyy+ i(vxx+vyy)+|z|, f=u( , )+iv( , ), поэтому

,

,

Замечание 3. Выполнение равенства и условий Коши-Римана эквивалентно равенству .

Замечание 4. Как видно из предыдущего, если функция f дифференцируема в смысле действительного анализа, то

Фиксируем z=|z| ei. Производная в этом направлении

существует и зависит от , если . Таким образом у моногенной функции производная не зависит от направления.

  1. Голоморфные функции. Аналитичность.

Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, дифференцируемая в некоторой окрестности точки z0 называется аналитической в точке z0.

Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D. Иногда говорят об аналитичности в области.

Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:

  1. сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и (f(z) + g(z))=f(z)+g(z)

  2. аналогичные свойства для произведения и частного (выписать формулы дифференцирования ), таблица производных.

В частности, многочлены и рациональные функции ( дать вначале определение рациональной или , что то же, дробно рациональной функции ).

  1. Сложная функция. Пусть w=g(),=f(z), g аналитична и однозначна в , а f аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.

Доказательство: Отметим вначале, что

,

для доказательства того, что радиус остаётся тем же

Пусть r=|z0|, выберем , удовлетворяющее условию r<<R, где R -радиус сходимости, |z|=|z-z0|<-r

Степенной ряд сходится абсолютно при z=, поэтому для заданного >0

: .

Для этого N выбираем <-r так, чтобы при |z-z0|< выполнялось неравенство ,

тогда при |z-z0|< будет выполнено неравенство . Действительно, имеем

< < + < < .

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое число раз.

Следствие 2. Если степенной ряд сходится в круге |z-z0|<R,R>0 к функции f(z), то Доказательство: дифференцировать нужное число раз и подставить z=z0.

Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд называется рядом Тейлора функции f(z). Как это видно из Следствия 2, ряд является рядом Тейлора своей суммы. Из Следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:

Теорема. Если два ряда и совпадают в круге |z-z0|<R,R>0, то ak=bk.

Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 если она определена в окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки

Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.

§2 Конформные отображения

  1. Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки

Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z0 и f(z0)0

w=f(z): в окрестности т. z0.

Существует обратная функция в некоторой окрестности точки w0=f(z0), z=f-1(w), причём .

  1. Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть -гладкая кривая Жордана, заданная уравнением z(t)=x(t)+iy(t),t[,],z’(t)0,t0(,).Обозначим образ кривой при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z0 функция и f(z0)0.

Имеем : w(t)=f[z(t)],w(t0)=f(z0)z(t0) и Arg f(z0) = arg w(t0) – arg z(t0)

arg z(t0) = , arg w(t0) = - главные значения аргументов, Arg f(z0)  - угол поворота кривой в точке z0 при отображении w = f(z), определяемой с точностью до 2k. Как видим, этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку. В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z1(t), z2(t), имеющие в точке пересечения главные значения аргументов 1, 2, а их образы при отображении w=f(z), соответственно углы 1, 2, то мы получим

2 - 2 =arg f(z0)+2k2, 1 - 1 =arg f(z0)+2k1, откуда, вычитая одно равенство из другого, получим 2 - 1 =2(k2- k1)+ 2 - 1. Полученное равенство позволяет сформулировать следующее

Следствие: При сделанных предположениях ( аналитичность в точке и неравенство нулю производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того сохраняется «порядок обхода». Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в плоскости w между образами этих кривых.

  1. Геометрический смысл модуля производной.

z=x+iy,w=u+iv

, dw=f(z0)dz,

Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от этой кривой и равен |f(z0)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z0.

  1. Конформные отображения.

Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимно однозначное отображение w=f(z) области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место

    1. свойство сохранения углов

    2. сохранение масштабов

в перечисленном выше смысле.

Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z0 и f(z0), то отображение w=f(z) конформно в некоторой окрестности точки z0.

Определение. Углом между кривыми z1(t), z2(t), в бесконечности ( предполагается, что ) называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении w=1/z, то есть между кривыми в т. 0. Изменение масштаба в  находится аналогичным образом, предварительно переведя в точку 0 отображением w=1/z.

Решение задач с преобразованиеv углов и масштабов при отображении w=f(z)

Задача

Решение

1. z0,f(z0) 

См. f(z0)

2. z0,f(z0) 

См. w1=f(1/w) в точке w0 0

3. z0,f(z0) 

См. в точке z0

4. z0,f(z0) 

См. в точке w0 0

Пример 1. Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и конформность следует из существования производной и не равенства её нулю.

В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.

Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю. При z= , w=, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию . Эта функция в точке =0 имеет производную не равную нулю.

Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении .

Пусть z1(t) и z2(t) выходят из точки 2i. Для первой кривой t1,1, для второй t2,2. Точка 2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми и в точках 1, 2, соответственно. Для этих кривых имеем , поэтому угол между образами wk в бесконечности будет равен:

Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее