КИ лекция 11 (Лекции по криволинейным интегралам)

2018-01-10СтудИзба

Описание файла

Файл "КИ лекция 11" внутри архива находится в папке "Лекции по криволинейным интегралам". Документ из архива "Лекции по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "КИ лекция 11"

Текст из документа "КИ лекция 11"

Лекция 11. Теорема Гаусса-Остроградского (доказательство для односвязной области) и ее применение для вычисления поверхностных интегралов. Дивергенция поля и ее физический смысл. Вывод формулы для вычисления дивергенции в декартовой системе координат.

ОЛ-1, гл. 6, 7; ОЛ-2, гл. 15; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Пространственную область V* назовем объемно односвязной, если для любой замкнутой поверхности, лежащей в V*, ограничиваемая этой поверхностью область также целиком лежит в V*. Объемно односвязными областями являются шар и внутренность тора (часто также называемая тором), в то время как полый шар (область между двумя концентрическими сферами) к объемно односвязным областям не относится.

Предположим, что замкнутая пространственная область V* может быть разделена на конечное число областей, правильных в направлении оси Ох. Пусть аналогичное свойство выполня­ется и в отношении двух других осей Оy и Оz. Такую область мы будем называть простой.

Теорема Гаусса − Остроградского. Если функции Р = Р(х, у, z), = Q(х, у, z), = R(x, у, z) непрерывно дифференцируемы в объемно односвязной области V*, то для любой простой замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью Ф, верна формула

где поверхностный интеграл второго рода вычисляется по внешней стороне поверхности Ф.

Доказательство. Формула Остроградского − Гаусса распадается на три самостоятельных равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям Р, Q и R. Эти три равенства доказываются схожим образом, и мы остановимся на одном из них, например на равенстве

Рассматриваемое равенство обладает свойством аддитивности. Это означает, что если замкнутая область V разбита на частичные области Vk, k = 1, ..., m, ограниченные кусочно-гладкими поверхностями Фk, и для этих замкнутых областей доказываемое равенство установлено, то это равенство будет выполняться и для самой области V. Действительно, пусть

, k = 1, ..., m

Просуммировав эти равенства, получим, что выражение в левой части равенства равно интегралу по поверхности Ф, так как по частям границ Фk частичных областей Vk, не входящим в поверхность Ф, интегрирование проводится дважды с выбором противоположных сторон поверхности, а такие интегралы взаимно уничтожаются.

Так как замкнутая область V является простой, ее можно разбить на частичные области Vk, = 1, ..., m, являющиеся правильными в направлении оси Оz. Таким образом, равенство достаточно доказать для случая замкнутой области, правильной в направлении оси Оz.

Итак, пусть замкнутая область является правильной в направлении оси Oz. Это значит, что она ограничена двумя поверхностями Ф1 и Ф2 вида z = z1(x, y) и = z2(xy), где функции z1(x, y) и z2(x, y) определены в замкнутой области Dxy на плоскости и удовлетворяют неравенству z1(x, y) ≤ z = z2(x, y), , а также цилиндрической поверхностью Ф3 с образующими, параллельными оси Oz. По правилу вычисления тройного интеграла по правильной области V имеем

Полученные двойные интегралы по области Dxy можно заменить равными им поверхностными интегралами второго рода по поверхностям Ф2 и Ф1 причем для учета знаков двойных интегралов для поверхности Ф2 нужно выбрать верхнюю сторону, а для поверхности Ф1 − нижнюю. К этим интегралам добавим равный нулю поверхностный интеграл по внешней стороне боковой поверхности Ф3 (цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz). В итоге получим

Формулу Остроградского − Гаусса можно также записать в виде

где , , − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности Ф.

Замечание. Формулу Остроградского − Гаусса можно распространить на произвольную ограниченную пространственную область V, граница Ф которой состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких поверхностей (область V в этом случае имеет полости). При этом в левой части формулы Остроградского − Гаусса поверхностный интеграл следует брать вдоль границы области V, т.е. необходимо суммировать поверхностные интегралы по всем поверхностям, составляющим границу, причем для внешней поверхности выбирается внешняя сторона, а для внутренних − внутренняя. Чтобы доказать такое обобщение формулы Остроградского − Гаусса, достаточно соединить произвольными гладкими поверхностями внешнюю часть границы области V с внутренними.

Следствие. Пусть V* объемно односвязная область в R3 и функции Р = Р(х, у, z), = Q(х, у, z), = R(x, у, z) непрерывно дифференцируемы в этой области. Для того чтобы поверхностный интеграл от функций Р, Q, R по любой замкнутой поверхности равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

,

Объем области V, ограниченной поверхностью Ф, можно найти при помощи поверхностного интеграла

Дивергенция. Рассмотрим поток векторного поля v(M) через замкнутую поверхность Ф. Векторное поле будем трактовать как поле скоростей течения жидкости. В этом случае положительное значение потока векторного поля через замкнутую поверхность Ф означает, что из области, ограниченной поверхностью Ф, вытекает жидкости больше, чем в нее втекает. Значит, в области имеются точки или подобласти, в которых жидкость образуется (например, происходит образование воды при таянии снега или льда). Точки такого рода называют источниками векторного поля. Аналогично отрицательное значение потока через поверхность Ф означает, что в область втекает жидкости больше, чем из нее вытекает. Значит, в области есть точки, в которых жидкость исчезает (например, испаряется или замерзает). Такие точки называют стоками векторного поля.

Остановимся на случае распределенных источников векторного поля G. Такие источники могут быть распределены по некоторой области пространства, по некоторой поверхности или линии. Если источники распределены по области V*, ограниченной замкнутой поверхностью Ф, то отношение потока Qs векторного поля через поверхность Ф к объему V области V* есть средняя плотность источников векторного поля в области V*. Зафиксировав некоторую точку М, полагая, что область V* содержит М, перейдем к пределу при ( диаметр области D).

Если этот предел существует, то его значение определяет интенсивность распределенного источника векторного поля в точке М. Этот предел аналогичен пределу, определяющему плотность вещества в точке.

Дивергенция векторного поля в заданной точке, как предел отношения потока векторного поля к объему, не связана с выбором системы координат. Однако вычисление дивергенции в конкретном случае скорее всего потребует использования какой-либо системы координат. Выясним, как дивергенция векторного поля записывается в прямоугольной системе координат.

Пусть векторное поле G(М) непрерывно дифференцируемо в пространственной области V*, т.е. в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz представлено непрерывно дифференцируемой векторной функцией

Выберем в области V* замкнутую поверхность Ф и определим единичный вектор внешней нормали к этой поверхности в точке М с помощью направляющих косинусов , , . Раскрывая скалярное произведение в ортонормированном базисе и применяя формулу Остроградского − Гаусса, для интеграла получим

Используя непрерывность частных производных в области V*, теорему о среднем значении для тройного интеграла и определение дивергенции векторного поля, в произвольной точке М находим

Свойства дивергенции векторных полей:

1)

2) (f(M) − дифференцируемое скалярное поле)

Формула Остроградского − Гаусса

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее