КИ лекция 11 (Лекции по криволинейным интегралам)
Описание файла
Файл "КИ лекция 11" внутри архива находится в папке "Лекции по криволинейным интегралам". Документ из архива "Лекции по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "КИ лекция 11"
Текст из документа "КИ лекция 11"
Лекция 11. Теорема Гаусса-Остроградского (доказательство для односвязной области) и ее применение для вычисления поверхностных интегралов. Дивергенция поля и ее физический смысл. Вывод формулы для вычисления дивергенции в декартовой системе координат.
ОЛ-1, гл. 6, 7; ОЛ-2, гл. 15; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.
Пространственную область V* назовем объемно односвязной, если для любой замкнутой поверхности, лежащей в V*, ограничиваемая этой поверхностью область также целиком лежит в V*. Объемно односвязными областями являются шар и внутренность тора (часто также называемая тором), в то время как полый шар (область между двумя концентрическими сферами) к объемно односвязным областям не относится.
Предположим, что замкнутая пространственная область V* может быть разделена на конечное число областей, правильных в направлении оси Ох. Пусть аналогичное свойство выполняется и в отношении двух других осей Оy и Оz. Такую область мы будем называть простой.
Теорема Гаусса − Остроградского. Если функции Р = Р(х, у, z), Q = Q(х, у, z), R = R(x, у, z) непрерывно дифференцируемы в объемно односвязной области V*, то для любой простой замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью Ф, верна формула
где поверхностный интеграл второго рода вычисляется по внешней стороне поверхности Ф.
Доказательство. Формула Остроградского − Гаусса распадается на три самостоятельных равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям Р, Q и R. Эти три равенства доказываются схожим образом, и мы остановимся на одном из них, например на равенстве
Рассматриваемое равенство обладает свойством аддитивности. Это означает, что если замкнутая область V разбита на частичные области Vk, k = 1, ..., m, ограниченные кусочно-гладкими поверхностями Фk, и для этих замкнутых областей доказываемое равенство установлено, то это равенство будет выполняться и для самой области V. Действительно, пусть
Просуммировав эти равенства, получим, что выражение в левой части равенства равно интегралу по поверхности Ф, так как по частям границ Фk частичных областей Vk, не входящим в поверхность Ф, интегрирование проводится дважды с выбором противоположных сторон поверхности, а такие интегралы взаимно уничтожаются.
Так как замкнутая область V является простой, ее можно разбить на частичные области Vk, k = 1, ..., m, являющиеся правильными в направлении оси Оz. Таким образом, равенство достаточно доказать для случая замкнутой области, правильной в направлении оси Оz.
Итак, пусть замкнутая область является правильной в направлении оси Oz. Это значит, что она ограничена двумя поверхностями Ф1 и Ф2 вида z = z1(x, y) и z = z2(x, y), где функции z1(x, y) и z2(x, y) определены в замкнутой области Dxy на плоскости и удовлетворяют неравенству z1(x, y) ≤ z = z2(x, y), , а также цилиндрической поверхностью Ф3 с образующими, параллельными оси Oz. По правилу вычисления тройного интеграла по правильной области V имеем
Полученные двойные интегралы по области Dxy можно заменить равными им поверхностными интегралами второго рода по поверхностям Ф2 и Ф1 причем для учета знаков двойных интегралов для поверхности Ф2 нужно выбрать верхнюю сторону, а для поверхности Ф1 − нижнюю. К этим интегралам добавим равный нулю поверхностный интеграл по внешней стороне боковой поверхности Ф3 (цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz). В итоге получим
Формулу Остроградского − Гаусса можно также записать в виде
где , , − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности Ф.
Замечание. Формулу Остроградского − Гаусса можно распространить на произвольную ограниченную пространственную область V, граница Ф которой состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких поверхностей (область V в этом случае имеет полости). При этом в левой части формулы Остроградского − Гаусса поверхностный интеграл следует брать вдоль границы области V, т.е. необходимо суммировать поверхностные интегралы по всем поверхностям, составляющим границу, причем для внешней поверхности выбирается внешняя сторона, а для внутренних − внутренняя. Чтобы доказать такое обобщение формулы Остроградского − Гаусса, достаточно соединить произвольными гладкими поверхностями внешнюю часть границы области V с внутренними.
Следствие. Пусть V* − объемно односвязная область в R3 и функции Р = Р(х, у, z), Q = Q(х, у, z), R = R(x, у, z) непрерывно дифференцируемы в этой области. Для того чтобы поверхностный интеграл от функций Р, Q, R по любой замкнутой поверхности равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Объем области V, ограниченной поверхностью Ф, можно найти при помощи поверхностного интеграла
Дивергенция. Рассмотрим поток векторного поля v(M) через замкнутую поверхность Ф. Векторное поле будем трактовать как поле скоростей течения жидкости. В этом случае положительное значение потока векторного поля через замкнутую поверхность Ф означает, что из области, ограниченной поверхностью Ф, вытекает жидкости больше, чем в нее втекает. Значит, в области имеются точки или подобласти, в которых жидкость образуется (например, происходит образование воды при таянии снега или льда). Точки такого рода называют источниками векторного поля. Аналогично отрицательное значение потока через поверхность Ф означает, что в область втекает жидкости больше, чем из нее вытекает. Значит, в области есть точки, в которых жидкость исчезает (например, испаряется или замерзает). Такие точки называют стоками векторного поля.
Остановимся на случае распределенных источников векторного поля G. Такие источники могут быть распределены по некоторой области пространства, по некоторой поверхности или линии. Если источники распределены по области V*, ограниченной замкнутой поверхностью Ф, то отношение потока Qs векторного поля через поверхность Ф к объему V области V* есть средняя плотность источников векторного поля в области V*. Зафиксировав некоторую точку М, полагая, что область V* содержит М, перейдем к пределу при ( − диаметр области D).
Если этот предел существует, то его значение определяет интенсивность распределенного источника векторного поля в точке М. Этот предел аналогичен пределу, определяющему плотность вещества в точке.
Дивергенция векторного поля в заданной точке, как предел отношения потока векторного поля к объему, не связана с выбором системы координат. Однако вычисление дивергенции в конкретном случае скорее всего потребует использования какой-либо системы координат. Выясним, как дивергенция векторного поля записывается в прямоугольной системе координат.
Пусть векторное поле G(М) непрерывно дифференцируемо в пространственной области V*, т.е. в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz представлено непрерывно дифференцируемой векторной функцией
Выберем в области V* замкнутую поверхность Ф и определим единичный вектор внешней нормали к этой поверхности в точке М с помощью направляющих косинусов , , . Раскрывая скалярное произведение в ортонормированном базисе и применяя формулу Остроградского − Гаусса, для интеграла получим
Используя непрерывность частных производных в области V*, теорему о среднем значении для тройного интеграла и определение дивергенции векторного поля, в произвольной точке М находим
Свойства дивергенции векторных полей:
2) (f(M) − дифференцируемое скалярное поле)
Формула Остроградского − Гаусса