50

II.2. Метод угловых коэффициентов

II.2.1. Основные понятия

Проводимость вакуумных систем в целом и их элементов (клапанов, затворов, участков трубопроводов), коэффициенты захвата различных устройств (насосов, ловушек и др.), а также распределение молекул по поверхностям вакуумной системы или отдельных ее участков можно рассчитать с помощью угловых коэффициентов, используемых для определения теплообмена излучением.

В общем случае элементарную площадку площадью dF_i поверхности площадью F_i (далее поверхность F_i) вакуумной системы покидает поток молекул, плотность которого

, (2.1)

где – плотность потока молекул, испускаемых элементарной площадкой dF_i (например, в результате газовыделения поверхности);  – коэффициент поглощения молекул газа площадкой dF_i; – плотность потока, молекул, падающих на площадку dF_i.

На элементарную площадку dF_i падает поток молекул со всех поверхностей вакуумной системы, видимых из центра площадки и образующих замкнутую систему. Полная плотность падающего потока

, (2.2)

где – плотность потока молекул, покидающих площадку ; – вероятность попадания молекул газа с элементарной площадки поверхности F_j на площадку поверхности F_i.

Вероятность зависит от закона отражения и испускания частиц поверхностью и взаимной ориентации площадок. Величина называется дифференциальным или элементарным угловым коэффициентом, и в случае диффузного закона отражения

, (2.3)

где – угол между нормалью к площадке и линией, соединяющей центры площадок и ; – угол между нормалью к площадке и линией, соединяющей центры площадок и ; r – расстояние между центрами площадок и .

Вероятность попадания молекул газа с элементарной площадки dF_j на всю поверхность площадью F_i называют локальным угловым коэффициентом:

. (2.4)

Вероятность попадания молекул газа с поверхности F_j на поверхность F_i при постоянстве q_j по всей поверхности F_j называют средним угловым коэффициентом:

. (2.5)

Угловые коэффициенты обладают свойствами:

замкнутости: ,

взаимности: ,

аддитивности: , . Свойство аддитивности угловых коэффициентов заключается в том, что угловой коэффициент между поверхностями F_j и F_i равен сумме коэффициентов между поверхностью F_j и всеми частями F_ik поверхности F_i ,из которых она состоит.

II.2.2. Расчет угловых коэффициентов

Угловой коэффициент является основной расчетной величиной. Он может быть найден аналитическим, графоаналитическим методами. Методом поточной алгебры и численно при помощи ЭВМ. Первые три метода изложены в [1, 4]. Рассмотрим подробно аналитический метод определения угловых коэффициентов.

Аналитический метод основан на непосредственном интегрировании математического выражения для элементарного углового коэффициента. Рассмотрим в качестве примера систему, приведенную на рис. 2.1, если тела имеют диффузное отражение.

Рис. 2.1. Элемент плоскости и перпендикулярный ему круглый диск

Найдем значения величин, входящих в зависимость . Эти величины, входящие в это выражение, определяются следующим образом:

.

Тогда

;

. (2.6)

Вычислим интеграл =

При и . Полученное выражение можно записать как

Пусть , тогда будем иметь

=

.

Далее обозначим первый интеграл последнего выражения через I₁, а второй через I₂. Для вычисления интеграла I₂ воспользуемся рекуррентной формулой . Получим

.

С учетом полученных соотношений продолжим вычисления:

.

После преобразования будем иметь

Обозначив через V₁ и V₂ соответственные члены последнего выражения , проведем вычисления далее:

;

=

=

.

В итоге получим

=

.

Теперь вычислим второй интеграл:

Подставив в это выражение будем иметь

.

При получим

.

Обозначив интегралы последнего выражения соответственно через A₁ и A₂, преобразуем их (первый при , второй при

):

;

. С учетом преобразований получим

.

При будем иметь

.

Пусть , тогда последнее соотношение будет иметь вид

Так как при интегрировании по  мы взяли интеграл на участке от 0 до , а реально необходимо интегрировать от 0 до 2, то полученное выражение необходимо умножить на 2.

Следовательно,

. (2.7)

Теперь рассмотрим пример расчета углового коэффициента для системы, состоящей из двух соосных круглых дисков (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Два параллельных соосных диска

Определим все величины, входящие в зависимость

.

Первоначально вычислим . Для этого раскроем подынтегральное выражение. На рис. 2.3. изображена система, состоящая из круглого диска радиусом R₀ и параллельного ей элемента плоскости dF₁. Из рисунка видно, что r²=s²+a²+R²+2aRcos; cos₁=cos₂=s/r; dF₂=RdRd.

Рис. II.3. Круглый диск и параллельный ему элемент плоскости

Следовательно, .

Этот интеграл вычисляется аналогично интегралу (2.6).

. (2.8)

Далее вычислим , но при этом в (2.8) вместо a подставим R₁, а вместо R₀ возьмем R₂₀, и с учетом того, что , получим

=

.

При последнее выражение будет иметь вид

. Если обозначим , то далее получим =

=

=

.

В итоге получим, что для двух соосных параллельных дисков радиусами R₁ и R₂ угловой коэффициент

. (2.9)

Далее в табл. 2.1 приведем формулы для определения угловых коэффициентов для наиболее часто встречающихся комбинаций поверхностей.

Таблица 2.1. Расчетные формулы угловых коэффициентов.

2.2.3. Примеры решения задач методом угловых коэффициентов

Пример 1. Расчет коэффициента Клаузинга для цилиндрического трубопровода (рис. 2.4).

Обозначим входное сечение трубопровода цифрой 1, выходное сечение – 2 и боковую поверхность – 3. В сечение 1 входит поток газа Q_д1, десорбция газа с боковой поверхности отсутствует. Боковая поверхность трубопровода имеет коэффициент отражения ₃=1, а поверхности 1 и 2, так как представляют собой сквозные отверстия, имеют коэффициенты отражения ₁_=0. Для нахождения коэффициента Клаузинга необходимо определить, какая доля потока Q_д1 дойдет до выходного сечения 2. Запишем уравнение (2.1.) для каждой поверхности:

Таким образом, нам необходимо решить данную систему относительно Q_1, Q_2, Q_3.

Рис. 2.4. Цилиндрический трубопровод

Определим угловые коэффициенты, входящие в эту систему. По формуле (2.9) рассчитаем _ при R₁=R₂=R, S=2R, _= 0,172. Для любой плоской поверхности , следовательно, _= 0. Из свойства замкнутости (___) получим, что _  0,828. _  _  0,172, _  _  ; _  _  0,828.

Из свойства взаимности (_F₃_F₁) получим так как , то __0,207. Из свойства замкнутости определим, что ___=0,586.

Так как на поверхности 3 отсутствует десорбция молекул, а в сечение 2 не входит внешний поток, то Q_д2= 0, Q_д3= 0. Получим, что Q_= Q_д, Q_= 0, Q_= _Q_+_Q_, или .

Поток, падающий на i-ю поверхность , следовательно .

Определим коэффициент Клаузинга для трубопровода:

.

Решив данную задачу при , получим: а .

Этот результат является неверным, так как при коэффициент Клаузинга трубопровода стремится к нулю: . Поэтому применение метода угловых коэффициентов в таком виде при L/R > 4 дает большую погрешность. Если L/R = 4, то коэффициент Клаузинга, рассчитанный методом угловых коэффициентов, отличается от действительного примерно на 40%. Для получения более точного результата применяют метод угловых коэффициентов с разбиением.