Общий случай нагружения тонкостенного стержня

Общий случай нагружения тонкостенного стержня.

Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­костенного бруса можно представить в виде следующего выраже­ния:

,                                                                                                         (15.8)

где  ,   и   характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y;   удельный угол закручивания относительно продоль­ной оси z,    эпюра главнойсекториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

.                                                                (15.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений , при­мут вид:

                                                     (15.10)

Здесь через B_ обозначена новая силовая характеристика, назы­ваемая бимоментом, размерность которой будет кНм².

В результате совместного рассмотрения (15.9) и (15.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

.                                                                                              (15.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изме­нения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фак­тором и по методу сечений не может быть определен. Следова­тельно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопре­делимой. Например, если на­грузить стержень двутаврово­го сечения четырьмя равны­ми силами Р (рис.15.5), бимо­мент в торцевом сечении бу­дет равен:

,                                                                                                                                     (15.12)

где    значение секториаль­ной площади для точки при­ложения силы P_i, т.е.:

.

Рис.15.5

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты M_x , M_y  равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

.                                                                                                                (15.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Q_x, Q_y поперечные силы, от касательных напряжений _x, _y ; M_x, M_y изгибающие моменты, от нормальных напряжений _z ; M_z  кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений _; B_  бимомент от действующих нормальных напряжений _, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; M_  изгиб­нокрутящий момент от дополнительных касательных напря­жений _.

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 15.1, где приняты следующие обозначения: u, v  перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y;   соответственно, статические моменты относитель­но координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция (z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

.                                                                                                                       (15.14)

Подставляя в (15.14) значения  и   из табл. 15.1, получим:

.                                                                                                      (15.15)

Дифференцируя (15.15) по z, имеем:

,                                                                                                (15.16)

или         

,                                                                                                               (15.17)

где   изгибнокрутиль­ная характеристика поперечного сечения стержня;  распре­деленный крутящий момент.

                                                                                                                                                                                      Таблица 15.1