модуль 2 (Вся теория для 1 курса в ворде !!)
Описание файла
Документ из архива "Вся теория для 1 курса в ворде !!", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "модуль 2"
Текст из документа "модуль 2"
вопрос 32 Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции (формулировки и доказательства)
Теорема 1.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
Доказательство. Возьмем x1 < x2 из интервала (a, b). Для функции f(x) на интервале [x1 , x2] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому
f(x2 ) - f(x1 ) = (x2 - x1 )f '(x0 ),
где x0 лежит в интервале (x1 , x2), а следовательно, и в интервале (a, b). По условию f '(x0 ) 0 и x2 > x1, следовательно,
f(x2 ) - f(x1 ) 0,
или
f(x2 ) f(x1 ) при x2 > x1 ,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и другая теорема.
Теорема 2. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.
Аналогично теорема справедлива и в отношении убывающих функций. Надо только в условиях теоремы неотрицательность производной заменить на неположительность.
вопрос 27
Теормема Ролля Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
геом смысл Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
док-во
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
теорема логранджа Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что
д-во Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:
Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:
КОШИ Теорема. Пусть функции и непрерывны в замкнутом промежутке ; дифференцируемы в открытом промежутке ; в открытом промежутке . Тогда существует такая точка , что
|
| (15) |
|
Доказательство. Заметим, что . В противном случае – согласно теореме Ролля – производная обратилась бы в нуль в некоторой точке .
Рассмотрим вспомогательную функцию
которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка :
Тогда существует точка , в которой
что и требовалось доказать.
вопрос 22
Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:
Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.
По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)
,
где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.
Перепишем это равенство в виде:
Δy= y 'uΔu+α·Δu.
Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx
.
По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е.
y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).
вопрос 23
Теорема (о дифференцируемости обратной функции)
Если непрерывна и строго монотонна на и если (обратное к ) дифференцируемо в точке , причём
Доказательство:
По теореме об обратной функции функция имеет обратную , , – строго монотонна и непрерывна.
вопрос 25
Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y=f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Пусть функция y=y(x) задана в параметрической форме, то есть в виде:
где функции x=x(t) и y=y(x) определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:
Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:
Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:
Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.
Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.
вопрос 26
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,