Teoria_polnostyu_33 (друг кинул) (Вся теория для 1 курса в ворде !!)
Описание файла
Документ из архива "Вся теория для 1 курса в ворде !!", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Teoria_polnostyu_33 (друг кинул)"
Текст из документа "Teoria_polnostyu_33 (друг кинул)"
1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности. [Л. 4]
ε = (a – b) / 3
2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности. [Л. 4]
3. Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел. [Л. 5]
4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела. [Л. 5]
ε = A / 2.
5. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве. [Л. 5]
ε = (b – a) / 2.
6. Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции. [Л. 5]
7. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций. [Л. 6]
8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции. [Л. 6]
9. Докажите, что limx→0 sin x/x= 1. [Л. 6]
10. Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой. [Л. 7]
11. Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную. [Л. 7]
Пусть f(x) < c, для g(x) существует такое δ, что при |x| < δ, g(x) < ε/(c+1). при |x| < δ, f(x) * g(x) < ε.
12. Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой. [Л. 7]
Возьмём ε < 1/E, где Е – беск. большое число. |g(x)| < ε => |f(x)| = |1/g(x)| > 1/ε = E.
13. Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела. [Л. 8]
14. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых. [Л. 8]
f(x) / g(x) = 1 + ε(x) => (f(x) – g(x)) / g(x) = ε(x)
15. Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков. [Л. 8]
(f1(x0) + f2(x0) + … + fn(x0)) / f1(x0) = 1 + o(f1(x0)) , если f1(x0) – бмф наименьшего порядка малости.
16. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций. [Л. 9]
17. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции. [Л. 9]
18. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки. [Л. 9]
19. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функции y = sin x. [Л. 9]
sinx <= x, sinx – sinx0 <= x – x0 < δ = ε => sinx – sinx0 < ε => функция непрерывна
20. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке. [Л. 10]
21. Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва. [Л. 9]
Функция непрерывна в точке a если:
1)Определена в окрестности a
2)Ǝ конечный lim f(x) x a = A
3)A = f(a)
В противном случае а называется точкой разрыва:
1)Устранимого разрыва, если Ǝ конечный lim f(x) x a = A, но либо функция не определена в а, либо f(a) ≠ A;
2)Разрыва 1 рода, если правый и левый пределы в точка а конечны, но не равны между собой.
3)Разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов в точке а не существует или бесконечен.
22. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты. [Л. 10]
23. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. [Л. 11]
24. Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции. [Л. 11]
25. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций. [Л. 11]
26. Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций. [Л. 11]
27. Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции. [Л. 11]
28. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции. [Л. 11]
29. Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка. [Л. 12]
35. Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности. [Л. 13]
Показательная ах при а > 1 растёт быстрее степенной xa, степенная быстрее логарифмической любой степени logabx.
43. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции. [Л. 15]
44. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции. [Л. 15]
Можно доказать аналогичную теорему и для не возрастающей функции f(x); в этом случае (при выполнении прочих условий теоремы) надо потребовать, чтобы производная f’(x) была неположительной всюду, где она определена.
45. Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции. [Л. 15]
46. Сформулируйте и докажите достаточное условие убывания дифференцируемой функции. [Л. 15]
Аналогично теорема справедлива и в отношении убывающих функций. Надо только в условиях теоремы неотрицательность производной заменить на неположительность.
47. Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной). [Л. 15]
48. Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной). [Л. 15]
49. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции. [Л. 16]
50. Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба. [Л. 16]
51. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба. [Л. 16]
30. Сформулируйте и докажите теорему Ферма. [Л. 13]
31. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. [Л. 13]
32. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. [Л. 13]
33. Сформулируйте и докажите теорему Коши. [Л. 13]
34. Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя – Бернулли для предела
отношения двух бесконечно малых функций. [Л. 13]
36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. [Л. 14]
37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. [Л. 14]
38. Выведите формулу Маклорена для функции y = ex с остаточным членом
в форме Лагранжа. [Л. 14]
!!! Rn = f(n+1)(ßx) * xn+1 / (n+1)!
ex = 1 + х/1! + х2/2! + х3/3! + х4/4! + … + xn/n! + eßx*xn+1/(n+1)!
39. Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом
в форме Лагранжа. [Л. 14]
40. Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом
в формеЛагранжа. [Л. 14]
41. Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным
членом в форме Лагранжа. [Л. 14]
42. Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)α с остаточным
членом в форме Лагранжа. [Л. 14]
| Числовая последовательность Пусть Сходящиеся и расходящиеся последовательности Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества Предел последовательности Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу. Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной. Признак Вейештрасса: Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Предел функции по Коши Гейне Односторонний предел lim x→a-0( f(x))= A ϵR V Ɛ>0 Ǝδ(Ɛ)>0, Vx a-δ<x<a => |f(x)-A|<Ɛ (слева) lim x→a+0( f(x))= A ϵR V Ɛ>0 Ǝδ(Ɛ)>0, V a<x<a+δ => |f(x)-A|<Ɛ (справа) Ограниченная функция Функция f(x) называется локально ограниченной в точке х=а, если существует такая окрестность точка а, в которой значения функции удовлетворяют неравенству m≤f(x)≤M, где m,Mϵℝ Из определения по Коши Бесконечно малые функции f(x) – б.м при x Бесконечно большие функции f(x) – б.б при x Функция непрерывная в т. f(x) непрер. на отрезке если |
=a v ε >0 Ǝ Δ = Δ(ε)>0: v xϵ D(f) 0<|x-x0|<Δ=>|f(x)-a|<ε
=x0=>
=a
Пусть Ɛ=1, тогда 
что и означает ограниченность функции
limf(x)=0 или 
)ǀ<E или если f(x) опред. в U(a) и в т. а; ∃ lim(x
a)f(x)=f(a) и он существует вообще
Определения 2 модуль
